适时追问 回归本原

<正>一、对例习题的适时追问在《等比性质》的教学中,我们常常安排如下例、习题:例题已知x+y/z=x+z/y=y+z/x=k,且x+y+z≠0,求k.本题来自课本习题,属于基础题,主要是巩固等比性质,增强应用意识.学生解法如下:解法1直接运用等比性质,求出     

2013年湖北高考数学试题理科13题

题目 设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=____. 本题言简意赅,内涵朴实、解法多样,思想鲜活,是一道难得一见的好题,下面提供6种解法,供同行参考. 解法1 (柯西不等式法)由柯西不等式得:     

2001年春季高考中一道题目的探索

题目　已知 z7=1 (z∈ C,且 z≠ 1 ) ,( )证明1 z z2 z3 z4 z5 z6=0 ;( )设 z的辐角为 α,求 cosα cos2 α cos4 α的值 .这是 2 0 0 1年春季高考数学试题中文理共有的一道题目 ,主要考查复数的基本概念和基本运算 ,考查综合运用复数的知识解决问题的能力 ,题目活而不偏 ,难而适度 ,源于课本 ,高于课本 ,紧扣考试说明 ,是一道具有较高水平的中档题 ,本文就此题作一点简单探索 .先看解法 :解　 ( )由 z(1 z z2 z3 z4 z5 z6) =1 z z2 z3 z4 z5 z6,得 (z- 1 ) (1 z z2 z3 z4 z5 z6) =0 .因为 z≠ 1 ,z- 1≠ …     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

用“刚体运动”解一类轨迹与最值问题

我们先看一个例题 :例 1　已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x…     

例谈数学范围题解法

范围题是高考常考的一种题型,这类题涉及面广、综合性强。常用解法如下:一、判别式法利用一元二次方程的判别式,结合其根的分布的充要条件来确定参数范围的一种方法。例1 实数 x、y、z 满足 x~2 y~2-2y=0,x y z=0,求 z 的取值范围。解:由 x y z=0得 x=-y-z,代入 X~2 y~2-2y=0并整理得     

到底那种解法对?——剖析一道题目的两种解法

(数学通报》第1052号题提供了如下一道题目:求一了(零一3), ‘,一2,, V‘,=长5士厕)时‘达到最小值. 兮的最小值.该刊1997年第2期给出了如下解答(下称解法①):t= 1、十万沪艺2 一一1一2 之2 了谬哥}护_}.尹.1~}万一J}’万十百‘ 同一个题目,两种不同的解法,得出了不同的答案,到底哪一种解法是正确的?这引起了我的兴趣,经过分析,我发现解法②是不正确的,下面予以分析. 解法②正确与否,关键是看不等式!z:} }z:}》}z: z2}的等号能否取到.首先应该明确复数不等式}z,} }z:})}z,十z:}取等号的条件,设二;==x: 夕;i,z:=xZ yZi,x:、y:、x2、y2都…     

解一元一次不等式的若干技巧

一元一次不等式的解法除了掌握基本的解法外,还应学会如何根据题目的特征灵活运用一些技巧. 一、不要急于去分母 例1 解不等式等+等>寺. 分析与解:注意右边的未知项移到左边合并后。z的系数为1.故不去分母反而简便. 解:移项·得等一号>一音’...z>一_暑I. 二、先去括号看一看 例2解不等式 _詈-【导z+e)<丢c,一2T,+导. 分析与解:注意括号前的数与括号内的系数的关系,先去括号,得 z+4<÷一z+昔,移项、合并同类项.得 2z<一2..’.z<一1. 三、利用整体合并 例3 解不等式3(3—2z)+2(2z一3)<3(2z一3). 分析与解:注意题目两次出现2z一3.又3～2z是2z…     

挖掘“十字相乘法”的作用 提高学生分解因式的能力

在初中《代数》第二册第7.5节分组分解法中第120页上的例1,给出了如下解法: 例1 把a~2-ab ac-bc分解因式。解:a~2-ab ac-bc =(a~2-3b) (ac-bc) =a(a-b) c(a-b) =(a-b)(a c) 当然,此例还可有其它不同的分组分解方法。但学生往往容易产生这样一种错觉:此例除了采用分组分解法之外,别无它法。然而事实上并非如此。此例还可以用课本7.6节要讲的“十字相乘法”求解(但7.6节中并无这样的例子)。具体解法如下: 解:a~2-ab ac-bc =a~2 (c-b)a-bc (看成关于a的二次三项式) =(a-b)(a c) 一般来说,凡适合分组分解法进行因式分解的多项式,如能整理成某个字母的二次三项式,则均可采用“十字相乘法”进行因式分解。例如课本第122～123页上的例4～6,把m~2 5n-mn-5m,x~2-y~2 ax ay,a~2-2ab b~2-c2分解因式,实际     

例谈图示法解题

例谈图示法解题汪德铮，谭惠新图示法解题应注意两点，其一是利用函数图象．其二是利用几何意义，如二者应用得当，就能充分发挥直观作用，使解题过程简捷明了。下面三个例子，皆选自中学课本，每例都给出两种解法，解法一摘于课本．解法二则利用图示法，通过比较，可看出...     

微探不等式的证明机理

不等式的证明方法有很多,课本中只介绍了几种常用的方法,随着学习的深入,题目综合性的不断提高,比较法、综合法和分析法越来越不能满足解题的需要,丰富与扩充不等式的证法已迫在眉睫,本文以学生常做的一道复习题为例, 引入并解剖一些证明方法的证题机理. 题目设x+y+z=a,x2+y2+z2=a2/2,a>0,求证:x,y,z都不小于零     

对一道复数方程题的解法分析

贵刊文（*）中例2是一道复数方程题:已知复数z的模|z|=1,且z~(11) Z=1,求Z.(1988年苏州竞赛题)文（*）所给解法如下:由条件得z~(11)=1-z,两边取模得|z~(11)|=|1-z|.∵|z|=1,∴|z~(11)|=1,于是|z|~2=|1-Z|~2,即zz=(1-z)(1-z）=1-z-z zz,∴z z=1.令z=a bi代入上式,得 a=1/2,由 a~2 b~2=1,得b=±(3~1/2)/2,∴z=1/2±(3~1/2)/2i.文对这种解法进行了概括:“此例采用复数取模,使复数转化为实数,又在新层次上将实数转化为复数”.     

借助图象形象解决问题

【例1】集合A={α｜α=2π3 2kπ,k∈z},集合B={α｜α=π6 kπ2,k∈z},判断集合A为集合B的真子集.代数解法:当k=4m 1时,α=π6 4m 12π=π6 π2 2mπ=2π3 2mπ(m∈z),∴A B.又∵π6∈B,但π6A,∴集合A为集合B的真子集.代数解法具有推理严谨的优点,但是晦涩难懂,对比图象解法.图象解法:图1表示集合A,集合A的角之间相差2π.图2表示集合B,集合B的角之间相差π2.所以,集合A为集合B的真子集.图1图2练习:1.已知集合A={α｜α=4kπ,k∈z},B={α｜α=2kπ,k∈z},C={α｜α=kπ,k∈z},D={α｜α=12kπ,k∈z},判断集合A,B,C,D之间的关系.2…     

一道美国数学月刊征解题的新解与推广

题目设x,y,z∈(0,+∞)且2 2 2x+y+z=1,求函数f=x+y+z xyz的值域.这是一道《美国数学月刊》征解题,文[1]运用三角代换及导数给出了此题的一个解法,文[2]给出求f上界的抽屉原则的解法,文[3]给出了幂平均不等式的解法.此题运用初等数学的知识来解难度都比较大,下面以高等数学中的拉格朗日乘数法为突破口,给出此题的一个简单解法.解设拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=x+y+z2 2 2xyzλ(x+y+z 1),对L求偏导数,并令它们都等于0,则有1 2 01 2 0L yz x x L xz yλλ====,,2 1(1)yz xλ+=,,     

全国高考数学理（18）题解法探析

题目 :已知复数 z1 =i( 1 - i) 3,( )求 argz1 及 | z1 | ;( )当复数 z满足 | z| =1 ,求 | z- z1 |的最大值 .上述第 ( )题比较直观 ,可直接求得 .z1 =i( - 2 - 2 i) =2 - 2 i=2 2 ( cos7π4 isin7π4) ,从而 argz1 =7π4,| z1 | =2 2 .而第 ( )题则是复数模的最值问题 ,本文对其分析探究 ,给出下面六种解法 :解法 1　 (代数法 )设 z=a bi,( a,b∈R) ,则由条件知 a2 b2 =1 ,∴ | z - z1 | =( a- 2 ) 2 ( b 2 ) 2 =9- 4 a 4 b.令 y=- 4 a 4 b,与 a2 b2 =1联立并消去 a,可得 32 b2 - 8yb y2 - 1 6 =0 ,则由题意有 Δ=6 4y2 -…     

巧用“实数平方非负”求极值

今天,数学兴趣小组的活动由Z老师作中心发言,题目是《从一道竞赛题解法的改进谈起》.这是一道2004年全国初中数学竞赛题:实数x、y、z满足x y z=5,xy yz zx=3,求z的最大值.[1]提供的解法是:由于x y=5-z,xy=3-z(x y)=3-z(5-z)=z2-5z 3,因此x、y是关于t的一元二次方程t2-(5-z)t z2     

漫谈用换元法分解因式

我们知道，因式分解的基本方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法．除此之外，还可用换元法分解因式．用换元法分解因式，关键在于把多项式的某一个部分看作一个整体，并用新的变元代替它，从而将多项式简化，使之能用基本方法分解因式．例1分解因式：（x-2y）2－4（x-2y）－5．解设x-2y＝z，则原式＝z2－4z－5＝（z－5）（z十1）．将X一X一如代入上式，得原式一（x一如一5）（X一如十I）．例2分解因式：什’－3X）’－2（X‘－3X）一民。分析若展开后再用分组分解法分解因式，则变形相当困难；若把（X‘－3X）看作一个整…     

一道课本习题的几种思考视角

<正>有时一道题目可用多种方法解答,平时做题不应只着眼于做出这道题,而要尝试用多种解法解答.尝试从多个角度解题,可以拓宽思路,在遇到其他类型的题目时会有意外收获.下面我们就以课本的一道题对一题多解相关问题作思考.人教版A版选修4—5《不等式选讲》第41页第5题:已知2x+3y-4z=10,求x2+y2+z2的最小值.命题意图:主要考查柯西不等式的知识,考查运算求解能     

一题六法,各有特色(高二、高三)

第12届“希望杯”高二第2试17题是:复数z满足z+z·|z|3=0,则z=____.本文从不同角度给出六种解法,繁简有别,各有特色,体现了求解复数方程的方法. 解法1 用复数的代数形式令z=a+bi(a,b∈R),则     

活用条件|z|=1解题

本文把高中代数下册(人民教育出版社,1990年版,以下简称课本)、《高三数学教学与测试上册》(苏州大学《中学数学》编辑部,1995年版,以下简称教学与测试)和高考题中一些含条件|z|=1的复数问题串连起来,旨在提醒学生注重条件、用活条件,以提高运算能力。 1 从课本两道习题谈起 课本在复数一章有两个习题: (1)求证:(cosθ isinθ)/1=cosθ-isinθ (第216页习题二十八,10(1)) (2)求证:|z|=1(z∈C)的充要条件是1/z=(?)(第222页复习参考题八.15) (1),(2)两题形异实同,它们是关系式z·z=|z|~2=|z|~2 (课本第194页)当|z|=1时的特例,也是联系虚数与实数的纽带,针对实际问题,实施题(1),(2)的转换,既拓宽了复数问题的解题思路,又进一步沟通了