平均数、方差、标准差的两个性质

平均数、方差和标准差是初中代数最后一章《统计初步》中几个重要的基础概念,它有两个简单、易懂而又非常有用的性质：若x个数据xl、12、…、2n的平均数2,万差为S’,标准差为S,则：（）n个新数据x;＋a、x。＋。、…、xn＋a的平均数为x＋。,而方差和标准差不变;（2）l个新数据kxl＼forZ、…、for。的平均数为kZ,方差为k‘S‘,标准差为he．证明这两个性质并不难．此明‘”xl、xZ、…、xn的平均数、方差、标准差分别为Z、SZ和S,这就是说：（1）设n个新数据xl＋。、12十2、…、x。＋2的平均数、方差、标准差分别为z’、S’‘、S…     

简单随机抽样的方法与应用(Ⅰ)

一 基本概念 从N个单位的总体中抽取一n个单位的样本,则共有(C_N)~n种不同的抽法,即共有C_N~n个不同的样本,如果这些样本每一个被抽中的机会或概率都相等,则这种抽样方法就是简单随机抽样。实用中,一个简单随机样本是逐个单位抽取的。如对由N个学生组成的一个总体,把这N个学生从1到N编好号码,然后从1到N中逐个抽取n个随机数字(这可用随机数字表或     

方差简化公式的记忆及应用

我们知道方差公式 S2=1/n[(x1-(-x))2+…+(xn-(-x))2]① 可以简化为 S2=1/n[(x12+x22+…+xn2)-n(-x)2]② 一、公式的记忆 利用公式②,只要直接计算各个数据的平方,而不必计算各个数据与样本平均数的差的平方,这样就少了一个步骤,有时比较方便.但记住公式②有一定难度.笔者在教学过程中发现,公式②可稍作变形为     

Weisenbck不等式的推广

命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时,     

平均数、方差、标准差的两个性质

平均数、方差和标准差是“统计初步”中几个重要概念,它有两个简单、易懂的性质: 若n个数据x_1、x_2、…、x_n的平均数为x,方差为s~2,标准差为s,那么:     

非常规方法四例

例1 解方程:(2-x)~(1/2) (x 3y-5)~(1/2) (y 2)~(1/2)=(12y-3)~(1/2)．分析题中有多个根式,若按一般思路, 不易去掉根号,联想到方差公式: S2=1/n[(x12 x22 … xn2)]-n(?)2], 当S2=0时,x1=x2=…=xn, 可把题中的根号去掉．     

谈猜想假设思想在解题中的运用

假设是真理的基石 ,是创造的源泉 .对事物进行大胆猜想 ,然后加以探索 ,这是发现事物的一种重要手段 .在中学数学教学中 ,若能有意识地对学生开展假设思想的教育 ,无疑有利于发展学生的创新能力 .本文旨在如何利用假设来思考和解决问题作些探索 .例 1　判断n+ 1- n和n- n- 1　 (n∈N+)的大小 .解　假设n + 1-n≥n -n - 1成立则　n+ 1- n ≥ n- n- 1 n+ 1+ n- 1≥ 2 n n2 - 1≥n　 (n∈N+) n2 - 1≥n2 - 1≥ 0 .显然 - 1≥ 0不成立 ,因而假设错误 ,所以必有n + 1-n 相似文献   

《数学通报》问题173的证明

《数学通报》1 997年第 7期的征解问题是 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n ,n≥ 3 ) ,证明或否定 (记S =x1 x2 … xn) (aij=xixj) :a2 1(S -x1-x2 ) a3 2 (S -x2 -x3 ) … a1n(S -xn-x1)≥ (n -2 )S .①该刊 1 999年第 1 2期刊出一个“证明” ,但陶兴模著文 (《中学数学教学参考》2 0 0 3年第 1 1期 )指出其错误 .现用归纳法给出一个证明 :①式可化为a1nx1 a2 1x2 … an ,n -1xn ≤ (a1n a2 1 … an ,n -1-n 1 )S .②易见 ,n =3时 ,②式成立 ,现设②式对n -1成立 .不妨设x1是xi(i=1 ,…n)中最大的 ,那么②式左边 =(a1nx1 a2 1x2 -a2nx2 ) …     

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)模拟卷

参考公式: 锥体的体积公式:V=1/3Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高. 球的表面积公式:S=4πR2,体积公式:V=4/3πR3,其中R为球的半径. 样本数据x1,x2,…xn的标准差s=√1/n[(x1--x)2+(x2--x)2+…+(xn--x)2],其中-x为样本平均数. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式:(b)=n∑i=1xiyi-n-x·-y/n∑i=1x2i-n-x2,(a)=-y-b-x. 一、选择题 1.已知全集U=R,集合A={x|x=2n,n∈N}与B={x|x=2n,n∈N},则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是().     

cos~n(A/2) cos~n(B/2) sin~n(C/2)的上下界

引理 函数u=sin~nx cos~nx(n∈N,n≥2,x∈(0,π/2))的最小值是2~[(2-n)/2]。 注:当n=2时,u1=2~[(2-2)/2];当n≥3时,由文[1]例2知u的最小值是2~[(2-n)/2],故引理成立。 命题 在△ABC中,设u_n=cos~n(A/2)     

两个三角形不等式

常庚哲和彭家贵的一个不等式可推广为 定理1 a,b,c和△分别为△ABC的三边和面积,n∈N,以a~2~(-n),b~2~(-n),c~2~(-n)为边可构成三角形,以△_n表示其面积,有     

统计初步知识

一、知识要点1．总体和样本总体所考察对象的全体．个体总体中的每一个考察对象．样本从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．样本容量样本中个体的数目叫做样本客量．2．平均数计算公式（1）3．众数和中位数众数在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数把一组数据按从小到大的顺序排列,处在最中间位置上的一个数据（或是最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．4方差和标准差样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差;方差的算术平方根叫做样本标准差．方差计算公式：s。一L［（x;－x…     

《概率与统计》《图形的认识与全等》知识训练

基础练习1.掌握平均数、中位数、众数等概念;会根据所给的样本数据绘制频数分布直方图;会用样本方差、标准方差估计总体的方差、标准差.2.了解概率的意义,了解计算一类事件发生的可能性的方法,并能进行简单计算.     

统计初步

【知识归纳】基本概念1.总体2.个体3.样本4.样本容量反映集中趋势的数据x=x1 x2 … xnnx=(x1-a) … (xn-a)n ax=x1f1 x2f2 … xnfnn众数一组数据中出现次数最多的数据.注:众数可能不止一个.一组数据按大小依次排列后,位于中间的数据(或中间两个数据的平均数).反映波动大小的数据平均数x中位数方差S2标准差s=S2√求频率分布的步骤(1)求最大与最小值的差(2)决定组距与组数(3)决定分点(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图S2=(x1-x)2 (x2-x)2 … (xn-x)2nS2=(x21 x22 … x2n)-nxnS2=(x21 x22 … x2n)-nxn'22【例题分析】例1.为了检查一批零…     

统计初步与中考题

(一)复习要点1郾总体和样本所要考察对象的全体叫做______;总体中的每一个考察对象叫做______;从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个______;样本中个体的数目叫做____________.2郾平均数①x=1n(x1+x2+…+xn);②x=x'+a;③x=1n(x1f1+x2f2+…+xkfk)(其中f1+f2+…+fk=n).3郾众数和中位数(1)在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的______.(2)将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的________.4郾方差和标准差(1)样本中各数据与样本平均数的______的平方和的________叫做样本方…     

样本方差的期望和方差

在具体应用中,计算样本均值珔X与样本方差S2的期望和方差、Xi-珔X与Xj-珔X协方差以及相关系数是很有必要的,本文给出了相应的计算公式,从而提供了一些简便的计算方法。     

剖析错解 拓展思维

f(x)=(ax-a-x)/2,若a>1,n∈N*且n≥2,试比较f(n)与nf(1)的大小,并证明你的结论.(2006年江苏省高三调研试题)1剖析错误释疑解惑生1解法:f(n)-nf(1)=1/2(an-a-n na-1-na)=1/(2a~n)(a2n-nan 1 nan-1-1).视n为主变元,令F(n)=a2n-nan 1 nan-1-1,则F′(n)=2na2n-1-n(n 1)an n(n-1)an-2,F″(n)=2n(2n-1)a2n-2-n2(n 1)an-1 n(n-1)(n-2)an-3=nan-3[2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2)].令g(n)=2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2),g′(n)=2(2n-1)(n 1)an-2n(n 1)a=2(n 1)a[(2n-1)an-1-n]>2(n 1)a[(2n-1)-n]>0,g(n)为单调增函数,且g(2)>0,所以F″(n)>0,知…     

利用导数解决不等式问题

笔者在解决一些不等式问题时,经常遇到题目条件难以放缩或不等关系等,而应用导数常可以使问题简单许多. 1用导数降低原不等式次幂 例1设x为非负实数,n为正整数证明:n∑k=1xk2/k≥xn(n+1)/2. 证明 设f(x)=n∑k=1xk2/k-xn(n+1)/2.则f'(x)=n∑k=1kxk2-1-n(n+1)/...     

全国数学竞赛命题有奖比赛获奖题目选登

13.已知A,儿任N,n>1,求证:A=4 .n二2或(广东省茂名市一中王梦阳)」 1,,n任N(仁幻表示的是不超过x护一Al r.J !犯 n一一 且A/P.B压的最大整数,N是自然数集). (湖北省随州市职业教育中心齐家晖) 14.求证:是否存在四边形PQRS’,满足四边形P口RS内接于△ABC(如图),且S,=S:=S。=S一/     

上教版高三数学教材中样本标准差公式合理性初探

上教版高三数学教材中给出的样本方差、样本标准差的计算公式不同于其他版本的教材,给学生学习带来困扰.本文从用样本标准差评价总体标准差时需遵守的三大标准:无偏性、有效性、一致性出发,说明上教版样本标准差s=(((x_1-)²+(x_2-)2+(x_2-)²+…+(x_n-))2+…+(x_n-))²/(n-1))2/(n-1))^(1/2)作为总体标准差的点估计值的合理性.