谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

由一道课本习题想到的

著名数学家G·波利亚说:“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好象通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.”课本中的许多例题、习题都是我们解决一些疑难问题的“原型”.所以我们在平时的教学中不能就题论题,而要进行深入的研究和探索,把它们挖掘出来.这样就有助于学生掌握知识,提高解决问题的能力.下面就以教材中一道解析几何习题为例加以说明,以激发学生研究课本习题的兴趣.原题:求证两椭圆b2x2+a2y2-a2b2=0,a2x2+b2y2-a2b2=0的交点在以原点为中心的圆…     

对两道课本习题的探究性设计

题1(课本96页第4题)△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在的斜率之积等于-49,求顶点C的轨迹方程.(答案:x236+y216=1(x≠±6))题2(课本108页第1题)△ABC边的两端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是49,求顶点A的轨迹方程.(答案:y236-x281=1(x≠0))以上两道题看似简单,但却蕴藏着一定的联系与规律,引导学生对它们进行深入探索,必能有所发现、有所收获,从而能极大地调动学生的积极性,提高学生的探究能力和创新意识.1对习题的探究提出问题上面两道习题的结论是否具有一般性?什么情况下轨迹为椭圆?什么…     

借题发挥 纵联横拓

现行试验修订本教材中不少例题和习题 ,题中概念少 ,难度不大 .但往往蕴含着丰富的内容 .教学中若引导学生重视钻研这些例题和习题 ,不但能帮助学生全面掌握基础知识和基本技能 ,而且能培养学生的研究能力 .下举一例 ,以供欣赏 .题 :已知圆的方程是 x2 + y2 =r2 ,求经过圆上一点 M(x0 ,y0 )的切线方程 .(见现行人教版试验修订本教材第二册上 75页例 2 )本例题求解方法很多 (结果为 x0 x + y0 y =r2 ) ,在此不再赘述 ,下面从三个方面进行引申 :引申 1 :若圆的方程是 (x + a) 2 + (y + b) 2= r2 ,那么经过圆上一点 M(x0 ,y0 )的切线方程还是 …     

适时追问 回归本原

<正>一、对例习题的适时追问在《等比性质》的教学中,我们常常安排如下例、习题:例题已知x+y/z=x+z/y=y+z/x=k,且x+y+z≠0,求k.本题来自课本习题,属于基础题,主要是巩固等比性质,增强应用意识.学生解法如下:解法1直接运用等比性质,求出     

体育竞技中的抛物线问题赏析

生活中处处有数学,在体育竞技中也不例外,本文特选了几例在体育竞技中与抛物线有关的问题,以飨读者. 一、铅球例1 如图,一男生推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是(1)画出函数的图象;(2)观察图象,说出铅球推出的距离     

一道课本例题的演变

例题和习题是课本的重要组成部分 ,具有一定的示范性、导向性和启发性 ,经验丰富的教师和勤于思考的学生都十分注意对课本例题和习题的挖掘。本文是笔者在《四边形》一章的复习课中引导学生对课本例题作变式探求的一点收获 ,供教学时参考。一、例题已知 : ABCD中 ,E、F分别是边 AD、BC的中点 (如图 1)。　　求证 :EB=DF。(九年义务教材初中《几何》第二册第 141页 )二、变换探求演变 1:如果连结对角线 AC,分别与 BE、FD相交 ,则此题变成如下的一道课本习题 :已知 :M、N分别是 ABCD中的 AB、CD边的中点 ,CM交BD于 E,AN交 BD…     

让学生由三次函数图象“之美”感悟到学习“之乐”

正我在上关于《极大值与极小值》的新课时,讲解课本例2求y=13x3-4x+13的极值时是运用求函数极值的方法讲得很透,由于时间不够该例题的图象没有讲.在学习后的关于三次函数的练习中以及考试中发现许多学生掌握得不好,通过和学生进行交流知道几乎没有学生对该例题的图象进行过关注.在高三数学教学中发现许多关于导数的例题和习题若借助该例题的图象去讲、去分析会让学生掌握得更容易.于是我决定在第二轮复习中运用一节课的时间师生一起研讨三次函数的图象以及由图象得到三次函数的性质.一、案例描述师:把苏教版1—1翻到第78页.     

对课本一道习题的反思

课本习题一般是编者为了让同学们对新知识得到进一步的巩固而编拟的,具有一定的代表性、典型性.因而在学习中,我们要善于研究它们,发挥课本习题的价值.注意一题多解,比较方法;一题多样,推而广之;一题多改,突而破之.新教材苏教版选修2-1中第47页的第8题是下面的原问题.图1原问题如图1,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,O是坐标原点,求证:OA⊥OB.分析此问题涉及到抛物线的弦对其顶点张角的问题,学生多数用纯解析几何知识来解的.也可以用平面向量的知识来解决题.1问题的另解证明设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-2代入y2=2x,得x2-6x+4=0.由韦达定理得x1+x2=6,x1x2=4,y1y2=(x2-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-4.OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)则OA·OB==x1x2+y1y2=0,OA⊥OB,即OA⊥OB.2问题的推广原问题中,直线AB与x轴的交点(2,0)的横坐标恰好是抛物线的参数p的两倍,将其推广为一般.变题1若直线l过定点(2p,0)且与抛物线y2=2px(p>0)交于两点,求证:OA⊥OB.证明设A(x1,y1),B...     

向量与平移对应关系的探讨

人民教育出版社《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 )·数学》中 ,第五章用向量的知识 ,导出了点的平移公式 ,从而 ,使初中二次函数图象的平移与高中三角函数图象的平移法则得到统一 ,并达到新的理论高度 ,使学生对此类问题的理解、掌握更深刻、更全面 但许多参考书中出现的一个结论 ,很容易使学生产生误解 ,值得探讨 ,这就是 :每一个图形的平移都是一个向量 先看课本P12 4 习题 5 8中的第 4题 :例 1　函数y =x2 6x 11的图象经过怎样的一次平移 ,可以得到y =x2 的图象 ?解法 1　因为x2 6x 11=(x 3 ) 2 2 ,所以将y=x2 6x 11…     

运用数学思想,“多”解“条件最值”

已知f(x,y)=0,求g(x,y)的最值,这是高中数学新教材中常见的一类“条件最值”题.这类题在高考中常出现,其解法由于教材中没有系统论述,且思维灵活性较强,同学们往往难以入手.本文试通过一道课本习题,多层面探究其解法,并总结出解这类题的若干数学思想,然后通过相关习题运用数学思想,体验“最值”解法,以达到灵活应用的目的. 一、一题多解,体现数学思想例1已知x2+y2=16,求x+y的最大值和最小值.(选自人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)P89第6题)     

让课本题目的价值在探究中深化和推广

在数学教学中 ,如何开发课本题目的价值 ?如何引导学生寻求课本例题、习题的内在变化规律及其之间的联系 ,从而进行类比、联想、发散、深化和推广 .本文结合人教版全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )《数学》第二册 (上 )第八章“圆锥曲线方程”中 ,有关抛物线焦点弦、定点弦性质的例题、习题探究过程 ,谈谈这方面的问题 .1　多题一组 ,形成题链 ,加强题与题之间的横向整合 ,在反思探究中深化和推广如下三道题 :题 1　 (第 119页第 7题 )过抛物线 y2 =2 px(p>0 )的焦点的一条直线和此抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为 y1、y2 ,求…     

多法并举 有效突破——一道中考数学试题的多种解法

<正>一次函数知识历年来都是中考数学考查的热点与重点.2015年江苏省泰州市中考数学试题的第26题,以一次函数为背景,研究一次函数图象上的点到两坐标轴距离之和的有关问题,立意新颖、综合性强.其中第(3)问的解法多样,有助于激发不同考生的思维.以下浅析此题的几种不同解法,供参考.一、原题呈现已知一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数的图象     

两类似是而非的对称问题

首先请看如下两道题:例1函数y=f(x)满足f(1 x)=f(1-x),则f(x)的图象关于直线()(A)y=0对称.(B)x=0对称.(C)y=1对称.(D)x=1对称.例2函数y=f(1 x)与y=f(1-x)的图象关于直线()(A)y=0对称.(B)x=0对称.(C)y=1对称.(D)x=1对称.这两道题貌似接近,实则相去甚远,它们代表了本质上完全不同     

一道课本习题的教学价值

课本中的例题和习题是所有教学材料中的精品,其教学价值是潜在的和不易被发现的.因此,教师要以一种超预期的、反思的眼光去理解这些例题和习题,只有这样才能充分、科学的发挥其教学价值.人教A版数学必修4第126页B组第3题:已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点A逆时针方向旋     

正弦平方差公式及其变形的应用

我们把结构优美的三角公式sin(x y)sin(x-y)=sin2x-sin2y叫做正弦平方差公式.它是人教版高中数学课本第一册(下)习题4.6第7题的第(4)题,它和它的变式具有广泛的应用.一、原式的应用例1(湖南高考题)已知sin(π4 2x)sin(4π-2x)=41,x∈(4π,2π),y=2sin2x tanx-cotx-1,则y=.解:可     

正弦平方差公式及其变形的应用

我们把结构优美的三角公式sin（x＋y）sin（x-Y）=sin^2x-sin^2y叫做正弦平方差公式．它是人教版原高中数学课本第一册（下）习题4．6第7题的第（4）题,它和它的变式具有广泛的应用．     

一道教材课后习题的推广与应用

<正>1课本习题2019年人教A版《数学必修第一册》第87页第13题如下：我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．     

函数单调性的判断与定义证明

单调性是函数重要的性质,判断函数单调性应看函数的图象.从左向右,若图象上升,则函数递增;若图象下降,则函数递减.用定义证明函数单调性的方法是作差比较法,要在证明的区间内设任意x10;(2)a<0.(此题为高中课本习题)分析:投石问路,取a=1时,函数y=x3的图象如右图,观察图象知,在R内x增大y增大.猜测当a>0时,函数y=ax3在R上是增函数.(1)证法1:设任意-∞相似文献   

质疑背后的奥秘

<正>在学完《单项式乘以多项式》后,作为知识的巩固和应用,现行华东师大版八年级数学上册配套使用的练习册第29页有这样一道习题(第8题):如果3x2y(A+2y-3y2)=15x2y+6x2y2+B,那么多项式A=,B=.在课堂交流中引发学生质疑,激发学生完成了一次探究之旅.师:你是如何解答的呢?学生甲:等式整理为:3Ax2y+6x2y2-9x2y3=