中考数学“因式分解”、“分式”考点分析

☆考点l因式分解 例l(1997年扬州市中考题)分解因式护一4二一;尸y一x少~ 答:x(二+2)(二一2);xy(x十y)(x一y). 例2(1998年河北省中考题)分解因式丫一l的结果是()‘ (A)(xZ一1)(之2+1)(B)(x+1)“(工一1)2 (C)(x一1)(了+1)(xZ+l)(D)(x一1)(J+1)3 答:C. 评注(1)重点考查提取公因式法、平方差法.(2)注意了+1不能再分解成整式乘积的形式. 例3(1998年吉林省中考题)分解因式矿一矿一2。一 答:。(。+1)(a一2). 评注(1)本题考查提取会因式、十字相乘法.(2)注意“2一a一2一(a+1)(“一2),各个因式中的符号不能弄错. 例4(2000年南通市中考题)分解因式…     

因式分解常见的八个错误(初二、初三)

1.部分分解 例1把扩一4犷 3xy分解因式. 错解原式一(x 2户(x一2户十3xy. 分析错在仅对多项式中的部分项进行因式分解.因式分解的结果应该是积的形式. 正解原式一(x一y)(x 4户. 2.乱去分母例2错解分析把1十m十军分解因丸 任 6.分解不彻底 例6把(扩十1)2一4扩分解因式. 错解原式一(扩 1 Zx)(扩 1一Zx). 分析括号内的两个因式扩十1 Zx,xZ十1一Zx还能继续分解,要分解到“每个因式都不能再分解”. 正解原式一(扩十1十Zx)(扩十1一Zx) =(x 1)2(x一1)’. 7.分组错误原式一4十4m十、2一(2 m)2.不应由1十m十牟去分母得到 伙例7错解 1,.‘。,、‘.一…     

因式分解常用的方法与技巧

一、配方法例1分解因式:2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z解:原式=(2x3-4x2y+2xy2)-(x2z-2xyz+y2z)=2x(x2-2xy+y2)-z(x2-2xy+y2)=(x2-2xy+y2)(2x-z)=(x-y)2(2x-z)·二、拆项法例2分解因式:x3-3x+2·解:原式=x3-3x-1+3=(x3-1)-(3x-3)=(x-1)(x2+x+1)-3(x-1)=(x-1)(x2+x-2)·注:本题是通过拆常数项分解的,还可通过拆一次项或拆三次项分解,读者不妨一试·三、添项法例3分解因式:x5+x+1·解:原式=(x5-x2)+x2+x+1=x2(x3-1)+(x2+x+1)=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x3-x2+1)·四、主元法例4分解因式:2a2-b2-ab+bc+2ac·解:以a为主元,将原式整理成关…     

多项式x~3 y~3 z~3-3xyz的分解及其应用

多项式护 y“十z“一3xyz分解方法如下: x“ y3=(x Jr)3一3xy(x y) (x y)3 23=(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕 故有x3 y3 23一3xyz=(x y)3一3xy(x y) 23一3xyz =(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕一3xy(x y z) =(x y z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 即:x3七y3 23一3xyz=(x 了 z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 如在复数范围内还可继续分解为: x3 y3 23一3xyz=(x y z)(x 。y 。22)(x 。Zy 。z) .。是1的三次虚根(1)式是个很重要的公式,应用广泛,现仅举几例说明之。 1.因式分解 公式(1)中如果x y z=0,则(1)式变为 x3 y3 23二3xyz(3)式说明:任意三数之和如为0…     

因式分解容易错(初二)

1.符号出错 例1分解因式一4m3+z6mZ一26m. 解原式-一Zm(2,2+sm一13). 2.系数出错 例2分解因式(2x十4)2一(护+Zx). 解原式一2(x十2)2一x(x+2) 一(x+2)(x十4). 3.指数出错 例3分解因式p3m一尸m. 解原式一尸,(尸3一1) 一尸‘(尸一1)(PZ+P+1). 4.有公因式不提 例4分解因式16一36护. 解原式一(4+6x)(4一6x). 5.提公因式不尽 例5分解因式4x一9护. 解原式一x(4一16xZ) 一x(2+4x)(2一4x). 6.书写结果不规范 例6分解因式(3a一4b)(7a一sb)+(1 la一12b)(7a一sb). 解原式一(7a一sb)·2·(7a一sb). 7.结果不是整式的积 例7分解因式a卜3+了.解原式一(去…     

因式分解的若干方法与技巧

一、配方法例 1　分解因式 :2 x3- x2 z- 4 x2 y 2 xyz 2 xy2- y2 z。解 :原式 =(2 x3- 4 x2 y 2 xy2 ) - (x2 z- 2 xyz y2 z) =2 x(x2 - 2 xy y2 ) - z(x2 - 2 xy y2 ) =(x2 -2 xy y2 ) (2 x- z) =(x- y) 2 (2 x- z)。二、拆项法例 2　分解因式 :x3- 3x 2。解 :原式 =x3- 3x- 1 3=(x3- 1 ) - (3x- 3)= (x- 1 ) (x2 x 1 ) - 3(x- 1 ) =(x- 1 ) 2 (x 2 )。注 :本题是通过拆常数项分解的 ,还可通过拆一次项或拆三次项分解 ,读者不妨一试。三、添项法例 3　分解因式 :x5 x 1。解 :原式 =(x5 - x2 ) x2 x 1 =x2 (x3- 1 ) (x2 x 1 ) =x2 (…     

Schur不等式的加强及其应用

1.&hur不等式的加强及其等价形式 schur不等式指的是,设x、y、z任R十,则 x(x一y)(x一z)十y(y一z)(y一x)十z(z一x)(z一夕))0(1) (1)式可简记为名x(x一y)(x一z))0. 这里首先把Sch“r不等式加强为: 定理:设x,y,z为非负实数,则名x(x-y)(x一z))0(2). 证明:不妨设x)y)z》O,则 艺x(x一y)(x一z)二习x3一艺xy(x十夕)+3‘U探 二(x3十y3十Zxyz一xZy一xyZ一xZ:-yZ二)十(23十xyz一xzZ一yzZ) 二(x一y)2(x+y一z)十z〔x一z)(y一z))0. 其中等号成立当且仅当x二y=z或x,y,z中有两个相等,另一个为零. 不难验证(2)有下面的等价形式: 习x3一习xZ(夕+z)+3谬)o(…     

例说换元法分解因式

对于比较复杂的多项式分解因式,运用换元法可使多项式中的数或式的关系明朗化,使问题化难为易、简洁清晰.例1 分解因式(x~2+x+3)(x~2-6x+3)+12x~2.解设 x~2+3=y,则原式=(y+z)(y-6x)+12x~2=y~2-5xy+6x~2=(y-2x)(y-3x)=(x~2-2x+3)(x~2-3x+3).例2 分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120.解由于(x-1)(x-4)=x~2-5x+4,(x-2)(x-3)=x~2-5x+6,     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法。就是将代数式中的某一部分用一个新字母(元)来替换。此法用于多项式的因式分解,能使隐含的因式比较明朗地显示出来,从而为合理分组、运用公式等提供条件,使问题化难为易。例1分解因式(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)。解:设x2+y2=a,xy=b,则原式=(a+b)2-4ab=(a-b)2=(x2-xy+y2)2。例2分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2。解:设x+y=a,xy=b,则原式=(a-2b)(a-2)+(b-1)2=a2-2ab-2a+4b+b2-2b+1=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2=〔(1-y)(x-1)〕2=(y-1)2(x-1)2。例3分解因式(x2-4x+3)(x2-4x-12)+56。解:设x2-4x=y,…     

巧构数列 妙解赛题(高二、高三)

1.构造等差中项 例1若(x 了xZ 1)(夕十侧夕2 1)=l,求证x y一0.(第31届西班牙数学奥赛) 证明令x y二Za,视a为x,y的等差中项,则可设x一a一d,y一a d.因为(x 丫护 l)(y 丫少 l)一1,最大值为2涯,最小值为2. 3.构造等比数列【}q}<1)的各项和 例3已知x,y都在区间(一2,2)内,且xy _.49.,,二L。-一l,则u“一十二--下的最小值是() 4一x乙’9一y乙’,一’一一‘12一5 D12一7 C7一n Bco一5 A所以x构辱再万~ ly十丫yZ十1~了少 1一y,(03年全国联赛)x2即x十y一了少 1一了xZ 1.解由x,y任(一2,2),得琴,答任(0,1) 任沙两端平方整理得1一xy一了(x“十1)(少 1…     

二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

一元二次方程

矗基础篇矗课时一一元二次方程及其解法了万.+2,x2一v/范一一2.竺64诊断练习一、填空题1.方程扩一4x=o的根是2.若分式xZ一x一6 x一3的值为。,则x二=0.二0,二0 3.已知2是关于x根,则668a+1=_ 二、选择题的方程音XZ一2。一0的一个四、(x+韧一静从一奋n疑难解析例1解方程(xZ一x一l)(xZ一x一3)十1解:(扩一x)z一4(扩一x)+4(xZ一x一2)2~0,xZ一x一2xl-一1,xZ二2.1.下列方程中是一元二次方程的是( -一_、。1又八)zx十1=U.气”,厂~诬 (C)扩+y=0.(D)(l一x)2~4. 2.关于x的方程(mZ一l)扩+3x一1“o是一元二次方程,则一定有(飞 (A)m笋1.(B)m笋一1. (C…     

怎样才能学好分式(初二)

学习分式需要注意以下几个方面. 1.正确运用分式的基本性质 例1 错解 化简 亨之一y 了~~~. 了之十y a(b e)=ab ac, 但除法却不存在以下的对应的分配律 a十(b c)一a十b a十c. 5.分式通分后别忘了分母 原式一 (韶一,)·2 (静 ,)·5 例5计算。2一。 1一共. “门片l x一Zy x sy’ 分析分式的基本性质是“分式的分子与 分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式, 分式的值不变”.而此题分子乘以2,分母乘以 5,违反了分式的基本性质. 2.分数线的括号作用 错解原式=(a 1)(aZ一a 1)一a3 =(a3十1)一a3=1. 分析上面解法中把分式通分与解方程中 的去分母…     

根式运算中的常值换元技巧

在根式的化简、求值运算中．若根据数字特征作灵活代换．往往使问题巧妙获解．现举例说明例1化简（1992年山东省初中教学竞赛题）例2（1992年“勤奋杯”全国数学邀请赛初二试题）解发设解设，则xy＝1.∴原式＝（x3＋y3）＋（x＋y）－（x－y）2＝（x2－xy＋y2）－（x－y）2＝xy＝1例4　　　化简的结果是．（1991年湖北黄冈地区初中数学竞赛题）（答案：1．－9；2.选择（C））（1994年《祖冲之杯》数学邀请赛初二试题）根式运算中的常值换元技巧@雷力智$吉林通榆县七中@司秀珍$吉林通榆县七中…     

因式分解中的变换技巧

因式分解的方法较多,同学们除了牢固掌握课本上介绍的提公因式法,运用公式法,分组分解法和十字相乘法四种基本方法外,还可以学习如下几种变换技巧.一、拆项变换例1分解因式:3x3+7x2-4.分析:先将7x2拆成两个同类项3x2和4x2,然后再用分组分解法分解.解:原式=(3x3+3x2)+(4x2-4)=3x2(x+1)+4(x2-1)=3x2(x+1)+4(x+1)(x-1)=(x+1)(3x2+4x-4)=(x+1)(x+2)(3x-2)二、添项变换例2分解因式:x4+y4+(x+y)4.分析:此式是关于x、y的对称式,故可通过添项把原式化为仅含x+y和xy的式子.解:原式=x4+2x2y2+y4-2x2y2+(x+y)4=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=[(x+y)2-2xy]2-2x2…     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

构造函数 巧证赛题

笔者探究发现,下面几道数学竞赛题都可以通过构造函数 f(t)=(t-x)(t-y)(t-z) =t~3-t~2(x y z) t(xy yz zx)-xyz得以解决。 例1.若x,y,z满足x y z=1且为非负实数,证明:0≤xy yz zx-2xyz≤7/(27)。     

灵活换元 巧妙解题

换元是初中代数学习中非常重要的一种解题方法 ,它指的是在解题过程中有意识地把一个代数式看成一个整体 ,用字母表示。灵活地应用这种方法 ,可使解题简易、迅捷。一、分解因式例 1.分解因式 (x2 - x) 2 - 8x2 + 8x+ 12。解 :设 x2 - x=z,那么原式 =(x2 - x) 2 - 8(x2 - x) + 12=z2 - 8z+ 12 =(z- 2 ) (z- 6 )=(x2 - x- 2 ) (x2 - x- 6 )=(x- 2 ) (x+ 1) (x- 3) (x+ 2 )。二、化简二次根式例 2 .化简 x z - z xx z + z x-z x + x zz x - x z。解 :设 x =a,z =b,那么 x=a2 ,z=b2 。原式 =a2 b- ab2a2 b+ ab2 - ab2 + a2 bab2 - a2 b=a- ba+ b…     

提取公因式易犯的八种错误

■一、有公因式不提例1 分解因式8x3 - 32xy.错解:原式=x(8x2- 32y).例2 分解因式4x2yz + 16y2.错解:原式=4(x2yz+ 4y2).评析:提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项系数的最大公约数,因为公因式包括公因数,否则,都是不正确的.正解:1.原式=8x(x2- 4y).2.原式= 4y(x2z + 4y).■二、公因式提不尽例3 分解因式3x(m - n) - 6y(n - m).错解:原式=3[x(m -n) - 2y(n - m)]=3(mx - nx - 2ny + 2my).评析:公因式既可以是单项式也可以是多项式,n - m可变形为- (m - n),因此,上题中的公因式应为3(m - n).正解:原式=3x(m - n) + 6y( …