巧用“规划”释疑难

题目 :已知f(x) =ax2 -c,且 -4 ≤f( 1)≤-1,-1≤f( 2 ) ≤ 5 ,求f( 3 )的取值范围 .解法 1　由 a-c =f( 1) ,4a -c=f( 2 ) ,可得a =13 [f( 2 ) -f( 1) ] ,-c =43 f( 1) -13 f( 2 ) .∴f( 3 ) =9a -c=83 f( 2 ) -53 f( 1) ,∵ -83 <83 f( 2 )≤ 403 ,　 53 ≤ -53 f( 1) ≤ 2 03 ,∴ -1≤ f( 3 )≤ 2 0 .解法 2　由 -4 ≤ f( 1)≤ -1,得-4≤a-c≤-1. ①由 -1≤ f( 2 )≤ 5 ,得-1≤ 4a -c≤ 5 . ②由① ,得 1≤ -a+c≤ 4,③由③ +② ,得 0 ≤a≤ 3 ,④③ +④ ,得 1≤c≤ 7,⑤即　　 -7≤ -c≤ -1.∵f( 3 ) =9a -c,∴ -7≤ f( 3 )≤ 2 6.剖析…     

不等式问题中的五种常见错误

一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax~2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得(1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②)由①+②得3/2≤a≤3.又由①式得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤3/2.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.     

数学思维的反思性

一、概述数学思维的反思性表现在善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、不轻信,在解决问题时能不断地验证所拟定的假设,获得独特的解决问题的方法.它和创造性思维高度相关.本讲重点加强同学们思维的严密性的训练,培养创造性思维.二、思维训练实例(1)检查思路是否正确,注意发现其中的错误例1已知f(x)=ax+bx,若-3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6,求f(3)的范围.错误解法由条件得-3≤a+b≤0①3≤2a+2b≤6"②②×2-①得3≤a≤4……③①×2-②得-2≤3b≤-34……④③×3+④得7≤3a+b3≤332,即7≤f(3)≤323.错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:…     

一类容易做错的题

一、一类计算题解法剖析例1 设f(x)=ax~2+bx。且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4。求f(-2)的范围。(选自文[1]) 解1 学生们对此题最易想到的解法是由题设得(2)+(1)得3/2≤a≤3,(2)-(1)得0≤b≤3/2,故 3≤4a-2b≤12,即3≤f(-2)≤12。剖析满足不等式 (1)的区域是介于平行直线a-b-2=0和a-b-1=0之间的平面带包括边界。满足不等式 (2)的区域是介于平行直线a+6-2=0和a+b-4=0之间的平面带包括边界。故不等式组Ⅰ的解区域为图1中有阴影的矩形。而不等式组     

不等式问题中的五种常见错误

一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②由①+②得32≤a≤3.又由①得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤23.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.即得f(-2)的取值范围是[3,12].错因分析本题从①+②到②+③,再到得出f(-2)的取值范围这一过程中,多次重复应用了不等式的可加性,而每次的“=”号不一定同时成立,从而使取值范围扩大.正解设f(-2)=m f(-1)+nf(1)(m,n待定),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b.∴m+n=4,m-n=2.解之得mn==13,.∴f(-2)=…     

一个值得探讨的题目

1983年省市自治区联合数学竞赛第5小题:已知函数f(x)=ax~2-c,满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么f(3)应满足: (A)7≤f(3)≤26;(B)-4≤f(3)≤15; (C)-1≤f(3)≤20;(D)-28/3≤f(3)≤35/3标准答案是(C)。下面提供见到的几种解答。对其中的错误,指出错误所在。目的是使大家对此类题目的解法有个较全面的认识。解法一∵f(1)=a-c,f(2)=4a-c ∴ (Ⅰ) (Ⅱ)     

约束条件错误转换的分析

以下做法是否正确？ 例1 （2010年江苏卷第12题） 设实数x,y满足3≤xy2≤8①,4≤x2/y≤9②,则x3/y4的最 大值是______.解 ②式平方乘①式,得3×24≤x5≤23×34.③②式除以x2后再4次方,得28/x8≤1/y4≤38/x8.④④式乘x3,再将③式代入,得25/34≤x3/y4≤37/24.因此x2/y4的最大值是37/24 例2 已知函数f(x)=ax2 -c,满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.     

参考答案

复习训练题 (一 )一、选择题题号 1 2 3 45 67891 0答案ＡＢＣＤＢＣＡＡＣＣ　　二、填空题1 .1 ≤ａ≤ 3　 2 .-1 2　 3 .2 -2　 4.(-∞ ,-1 ]∪ (2 ,3 ) ∪ {0 ,1 }　 5 .13 　 6.2 0　 7.ｘ 6ｙ =08.33 6ａ2 π　 9.1 54　 1 0 .(ｘ 5 ) 25 ｙ2 =1 .三、解答题1 .解 :ｙ=ｘ 4 5 -ｘ2 ①　由①两端平方整理得 :2ｘ2 2 (4 -ｙ)ｘ ｙ2 -8ｙ 1 1 =0　②由△ ≥0得ｙ2 -8ｙ 6≤ 0 4-1 0 ≤ｙ≤ 4 1 0　④ ,但 5 -ｘ2 ≥ 0 -5≤ｘ ≤ 5　当ｘ =-5代入①得 :ｙｍｉｎ =4-5⑤ .由④、⑤可知 :4-5≤ｙ ≤ 4 1 0 .2 .解 :如图 ,在ＥＦ上任…     

一道流行题的错解分析

问题不等式21≤ax2x+23+x1+b≤121对一切x∈R恒成立,求a、b的值.这是许多数学资料都选为范例或典型练习的一道题,主要解法如下:设y=f(x)=ax2+3x+bx2+1,则21≤y≤121,即函数y=f(x)的值域是[21,121].将y=f(x)变形整理得:(y-a)x2-3x+(y-b)=0,由于原不等式对任意x∈R恒成立,则这个关于x的方程必有实根,Δ≥0,即9-4(y-a)(y-b)≥0,亦即4y2-4(a+b)y+(4ab-9)≤0(※),这个不等式的解为:12≤y≤121,则y1=21,y2=121是方程(※)的两个根,则由韦达定理,得a+b=64ab-94=141ba==15,或ba==15.,这个解法是错误的,举一个反例:取a=b=3,则y=f(x)=3x2x+23+x1+3=3+3…     

一些特殊方程组的解法

<正>一、叠乘法例1解方程组:ab=1,①bc=2,②cd=3,③de=4,④ae=6.⑤解由①×②×③×④×⑤,得a2b2c2d2e2=144.∴abcde=12,⑥abcde=-12.⑦将①、③分别代入⑥、⑦,得e1=4,e2=-4.同理可得a1=32,a2=-32,b1=23,b2=-23,c1=3,c2=-3,d1=1,d2=-1.     

解题教学应是“想法”展示的教学

正一、案例分析题目:已知二次函数f(x)=ax~2+bx+c的图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤1/2(1+x~2)对一切x∈R都成立?此题不仅在辅导资料上流传甚广,而且它有一种奇妙的解法也比较流行,那就是:对于不等式x≤f(x)≤1/2(1+x~2),令x=1,得到1≤f(1)≤1,从而知f(1)=1,即a+b+c=1①;然后根据二次函数f(x)=ax~2+bx+c的图像过点(-1,0),知a-b+c=0②,由①、②知b=1/2,a+c=     

习题小箩筐

].①软驱(参硬盘⑨内存④键盘⑤中央处理器⑥光盘a.①、②、③、⑤C.①、④、⑤、⑥b.②、③、④、⑤d.②、③、⑤、⑥a.nU^L].①软驱(参硬盘⑨内存④键盘⑤中央处理器⑥光盘a.①、②、③、⑤C.①、④、⑤、⑥b.②、③、④、⑤d.②、③、⑤、⑥a.nU^L].①软驱(参硬盘⑨内存④键盘⑤中央处理器⑥光盘a.①、②、③、⑤C.①、④、⑤、⑥b.②、③、④、⑤d.②、③、⑤、⑥a.nU^L].①软驱(参硬盘⑨内存④键盘⑤中央处理器⑥光盘a.①、②、③、⑤C.①、④、⑤、⑥b.②、③、④、⑤d.②、③、⑤、⑥a.nU^L].①软驱(参硬盘⑨内存④键盘⑤中央处…     

用化归思想与数形结合思想解题一例

例 设A={x|1相似文献   

中考题精选参考答案

常用仪器与基本操作 (一)1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D 7.B、D (二)8.①d②c③a④b⑤e⑥f 9.(1)先用稀盐酸溶解,再用水冲洗(2)再过滤一次(3)先把玻璃管用水湿润     

函数周期性和对称性的关系

1问题的发现命题:定义在R上的函数f(x)符合下列3个条件:①f(x 4)=f(x);②f(2 x)=f(2-x);③对于0≤x1相似文献   

代数自我检测题

(友情提醒:时间120分,做完后参照答案给自己评分,总分150分)一、选择题(每小题只有1个选项正确,每小题5分,共40分)1.给出下列式子:①{1}∈{0,1,2},②{1,-3}={-3,1},③{0,1,2,}{1,0,2},④∈{0,1,2},⑤∈{0},⑥{}.其中错误式子的个数为().A5;B4;C3;D22.不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是().A{x|1≤x≤a};B{x|a≤x≤1};C{x|1≤x≤a或a≤x≤1};D当a<1时,解集为{x|a≤x≤1},当a≥1时,解集为{x|1≤x≤a}3.已知f(x)=-4-x2的反函数为f-1(x)=4-x2,则f(x)的定义域为().A(-2,0);B[-2,2];C[-2,0];D[0,2]4.设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-1)与y…     

变换角度 一题四解(高一、高二、高三)

这是一道容易做错的题,本文变换角度,得出四种方法介绍给同学们,希望有参考价值,题目是: 已知②,试求2a-β的取值范围. 解法1 用不等式的性质(①+②)÷2,得-(n/6)≤a≤n/2 ③②+③,得-5/6n≤2a-β≤n/6,     

一个数学问题的研究性学习

1　问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2　转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知　a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ …     

2007年数学模拟试题

一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.集合A={x|1≤|x-21≤3,x∈N}和集合B={x|x2(x 3)x-3≤0,x∈N},若全集U=N,则UA∩B=().A[-1,1];B{-1,1};C{-1,0,1};D{-3,-2,2}2.若(1-x)n的二项展开式中系数最大的项是第5项,则(1-i)n(其中i为虚数单位)等于()A16;B10;C32i;D-4 4i3.已知A=B={1,2,3,4,5},从A到B的映射满足:(1)f(1)≤f(2)≤…≤f(5);(2)A中元素在B中的像有且仅有2个,则符合条件的映射f的个数为().A40;B30;C20;D104.已知实数a、b满足等式log2a=log3b,下列5个关系式:①1相似文献   

吴伟得了多少分

[题目]某次数学竞赛共有五道题,赵军做对了①、②、③、④四道题,得26分；钱广做对了①、②、③、⑤四道题,得25分；孙悦做对了①、②、④、⑤四道题,得26分；李彤做对了①、③、④、⑤四道题,得27分；周泉做对了②、③、④、⑤四道题,得28分；吴伟把五道题都做对了,问吴伟得了多少分?