绝对值几何意义的应用

初中阶段对实数绝对值的几何意义描述如下:a为实数,│a│表示数轴上代表实数a的点到原点O的距离,(如图1)即线段OA的长或A点到O的距离。图1这一描述体现了代数与几何之间的数形联系。代数问题几何化,更能使同学们通过直观图形理解抽象的代数知识。几何问题代数化,可将某些直观图形抽象归纳为代数表达式。另外,我们可以将绝对值的几何意义进行推广:│a-b│表示数轴上代表实数a和b的两点A、B之间的距离│AB│(如图2)。图2现举例说明绝对值几何意义的应用。例1在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站p,使这n…     

复数的三种形式和解题的四种思路

在中学,复数 z 有三种表示形式:代数形式(z=α bi,其中,α,b∈R),三角形式(z=r(cosθ isinθ),其=中 r>0)与几何表示(复数 z=α bi 与复平面内的点Z(a,b)或向量■一一对应),因此,在解决复数问题时,就可以利用复数的代数表示、三角表示或几何表示中的一种加以解决.在某些问题中,把复数 z 看作一个整体加以处理,也是一种思路.总之,在解决复数问题时,有上述四种解题思路,其中前三种是常用的.问题的关键之一是恰当的选择复数 z 的某种表示,从而可以优化解题过程.下面举几个例子说明.     

树立学生主体地位 提高课堂参与效果——“直线的斜率”的课堂反思

本节课研究的问题是:确定直线位置的两个几何要素(两点、点与方向),通过建立直角坐标系,点可以用坐标来表示,如何用一个代数的量来刻画直线的倾斜程度?本节课是平面解析几何的入门课,教学顺序先从代数的角度(斜率)刻画直线的倾斜程度,用意是突出用代数方法研究几何问题的思想.     

"直线的方程"教学设计——对教材二次开发的尝试

本课为起始课,目标是让学生认识直线的点斜式、斜截式方程,并知道直线点斜式方程的局限性,能用直线方程的两种形式表示直线的方程．通过研究方程的过程,使学生感受僻析几何“用代数方法研究几何问题”的思想．本课重点是学生能用点斜式、斜截式方程来表示直线的方程．难点是理解直线方程与直线之间的对应关系．     

平面径坐标系及其应用

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,为了把代数运算引到几何中来,最根本的做法就是使几何结构代数化、数量化。我们知道,在平面上建立直角坐标系后,平面上的点和一对有序实数之间建立起了一一对应关系,从而使平面上的曲线可以用两个变量所满足的方程来表示,並且可以通过对方程的讨论来研究曲线的性质。 在平面上建立极坐标系同样使得平面上的点和一对有序实数建立对应关系,平面上的曲线也可以用两个变量所满足的方程来表示。有些曲线在极坐标系中的方程比在直角坐标系中容易建立,而且形式也简单得多,更便于研究和讨论。 由此可见,我们在平面上建立坐标系,不仅使得平面上的点与一对有序实数之间建立起对应关系、平面上的曲线与二元方程之间建立起对应关系,而且建立怎样的坐标系直接影响曲线方程建立的难易、形式的繁简。为此,本文试在平面上建立一种新的坐标系,在该坐标系内某些曲线的方程比较容易建立,形式也比较简单。     

略谈复数教材的改革

(一) 复数是高中数学比较重要的内容,有人把它称做结合部,指的是复数涉及的知识面比较广泛。它在代数中出现,它的三角形式又与三角恒等变形紧密联系,作为点集可以解决几何问题,与向量集建立一一对应之后,就可解决许多物理问题。但是,现行教材却不能很好地体现这些要求。原因之一是为了扩充数,人为地规定i~2=-1。大家知道,高中学生已经比较牢固地建立了数轴上的点与实数建立一一对应的关系,又学习了直角坐标系,已经比较牢固地建立起数对(a,b)与平面点集之间的一     

解析几何综合问题求解策略综述

一、解析几何成为高考重点考查的原因 解析几何成为历年高考考查的重点,基于以下四点：1．坐标法的重要性数学是研究空间形式和数量关系的学科．解析几何解决问题的根本方法是坐标法．坐标法的基础是在坐标系的基础上,所建坐标系中的点与有序数组的一一对应关系,进而建立空间中的线（直线、曲线）、面（平面、曲面）与一个方程之间的对应关系．（高中平面解析几何是直线、曲线与二元方程间的对应关系）在此基础上,把几何问题归结为代数问题。     

巧用复数解题五例

由于复数有向量、代数、三角等多种表示形式,而且复数的几何意义又把数与形结合起来。因此,把一些几何、代数、三角的问题转化为复数来求解,可以达到简化巧解的作用。一、巧用复数求轨迹利用复数与向量之间的对应关系,复数的模以及复数运算的几何意义,可巧求一些轨迹的方程。     

圆锥曲线综合问题的类型与突破

圆锥曲线是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容。圆锥曲线的核心思想是"坐标思想",即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,从而使代数和几何之间建立实质性的联系。可以说,圆锥曲线是各种数学思想方法的综合点,是主干知识的交汇点。     

数学对应思想及其对解题的指导

“对应”是现代数学中重要的基本概念之一,它所反映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学概念与数学方法的基础。“对应”是一个不加定义的概念。其实,古代数学中对应的概念已有萌芽,但不明确,主要源于测量或度量。在测量几何的度量问题时,我们用有刻度的尺,量多少就是多少,刻度尺从某种意义上讲,就蕴涵了“数与点的对应”思想。求多边形的面积,其实质是在多边形的集合与实数集之间建立对应。但它不是一一对应。因为两个不同的多边形的面积可能相等。在数学史上,量长度是在直线上取0为原点,1为单位长,我们就可以在直线上点出2,3,…,还有“几分之几”,这实质上是对直线进行坐标化,点与数一一对应起来,这个理论一直到费马与笛卡尔时代才真正发挥作用,由此建立了解析几何。     

谈初中数学“直角坐标系”的复习

借助于坐标系,可以形象地表示两个变量之间的相互关系。与此同时,建立了平面内的点与一对有序实数之间的一一对应关系,从而一方面使代数问题(如函数、方程和不等式等)形象化,另一方面又可以使几何问题算术化,即把几何问题最后归结为计算。由此可见,这部份教材虽篇幅不算多,却非常重要。通过本章的学习,应使学生正确而熟练地掌握坐标法的基本知识,根据点写出其坐标,由坐标作出相应的点。例如,对第一、三象限分角线上的点明显有结论:同一点的横坐标和     

浅谈如何在代数问题中使用几何“垂直”条件

数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想,利用这种思想,可以将二次函数代数问题转化为几何问题,通过构造垂直条件,有利于沟通二次函数代数问题与点A(x,y)和点B(a,b)之间距离的几何问题之间的相互转化,使问题圆满解决.     

“平面直角坐标系”教学设想

“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，它的建立使代数的基本元素(数对)与几何的基本元素(点)之间产生一一对应．数发展成式、方程与函数，点运动而成直线、曲线等几何图形，于是实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔范围内的数形结合、互相转化的理论基础．因此，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具．     

利用向量与复数巧解旋转问题

复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应,而点Z(a,b)与向量OZ一一对应,可以将Z(a,b)和OZ都看成是复数z=a+bi的几何形式.从向量的发展历史来看,向量能够进入数学并得以发展,复数在其中出力不少.复数几何表示的提出,既使得"虚幻"的复数有了实际的模型,不再虚幻;又使得人们在逐步接受复数的同时,学会利用复数来表示和研究平面中的向量,向量从此得到发展.发展至今天的向量,如果与复数再度携手,又能在哪些方面有所作为呢?     

绝对值几何意义应用举例

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容.绝对值的几何意义可以借助数轴加以认识,一个数的绝对值是数轴上表示这个数到原点的距离.如,|a|的几何意义是:数轴上表示数a的点与原点距离.|a-b|的几何意义:数轴上表示数a的点到表示数b点之间的距离.那么|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a、b两点之间的距离之和.对于一些复杂问题,运用绝对值几何意义求解,直观简捷,事半功倍.     

复数问题解题思想方法归类及例析

复数问题在中学数学中,涉及面广,知识跨度大,与代数、三角、几何等知识有着密切的联系.在高考数学试题中,对复数内容在注重考查基础知识和基本技能的同时,还把一些基本数学思想方法列为重要考查内容.因此在高三复习阶段,应引导学生结合课本,把复数问题中所蕴含的几种基本数学思想方法予以充分揭示.一、化归思想.化归思想在复数问题中应用非常广泛.复数模的性质及复数相等的定义,提供了复数问题与实数问题实行双向化归的可能;而利用复数的三角式又可以把复数中的许多求值问题化归为三角问题来解决,反之亦然.例1.解方程 z |(?)|=2 i,(高中代数(下)P222题14①)解:令z=a bi(a,b∈R)则 a (a~2 b~2)~(1/2) bi=2 i∴a (a~2 b~2)~(1/2)=2 (1)b=1 (2)     

数形结合思想在函数中的应用

“直线和圆”是解析几何的起始篇，其中直线的倾斜角和斜率、直线方程、两点间距离、两直线的平行与垂直、对称、轨迹、圆的方程等知识，构成了解析几何的基础．由于引进了坐标系，架起了代数、几何之间沟通的桥梁，因而在“直线与圆”中，处处渗透着数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想．特别是数形结合思想，能使一些棘手的代数问题化繁为简，化难为易．下面就数形结合思想在函数问题中的应用举一些例子．     

直线的参数方程■教学一得

高中平面解析几何P158用例题的方式推导出过点M(x_0,y_0),倾角为a的直线的参数方程:其中t的几何意义是t对应的点M与点M_0的有向线段M_0M的数量。在教学中我们发现有些学生对直线的参数方程中的t之几何意义未能透彻理解,使用直线的参数方程解题时只能模仿。     

新课程理念指导下的解析几何起始课教学

"直线的倾斜角与斜率"是解析几何的起始课.直线的倾斜角与斜率分别是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是用坐标法研究直线及几何性质的基础.起始课教学要谋好篇、开好局、定好调,既要展现几何问题代数化的过程,又要渗透解析几何的基本思想方法;既要凸现"坐标法"的功能,更要闪烁"数形结合"的光芒.     

新课程理念指导下的解析几何起始课教学

“直线的倾斜角与斜率”是解析几何的起始课．直线的倾斜角与斜率分别是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是用坐标法研究直线及几何性质的基础．起始课教学要谋好篇、开好局、定好调,既要展现几何问题代数化的过程,又要渗透解析几何的基本思想方法;既要凸现“坐标法”的功能,更要闪烁“数形结合”的光芒．