抽象函数周期性的确定

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数,本文就如何确定抽象函数的周期性通过实例介绍一些技巧,供学习参考。 1 合理赋值 在确定抽象函数的周期时,如果题设条件中含有f(a)=b(a、b为常数)等类似条件时,合理赋以特殊值,常可使问题迎刃而解。 例1: 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,并对任何x∈R均有f(x+2)-f(x)=f(2),则f(x)是以2为周期的周期函数。 分析:因为f(x)是R上的奇函数,所以对一切x∈R都有:f(-x)=-f(x) 又f(x+2)-f(x)=f(2)。 令x=-1,得f(1)-f(-1)=f(2), 即f(1)+f(1)=f(2), 从而f(2)=2f(1)=0 所以f(x+2)=f(x)+f(2)=f(…     

关于2005年高考数学中一道试题的讨论

2005年高考数学(福建卷)第12题:f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是().A.2B.3C.4D.5此题考查函数的奇偶性与周期性,标准答案给出的选项是D,解法如下.解:由f(2)=0,T=3,可得f(-1)=0,f(5)=0.又f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,f(1)=0.因此f(3)=f(4)=0.故f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0,选D.讨论:这里没有注意到“定义在R上的以3为周期的奇函数”,有f(1·5)=0.推理如下:由T=3,得f(1·5)=f(1·5-3)=f(-1·5).又f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1·5)=-f(1·5),f(1·5)=-f(1·5),所以f(1·…     

抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

错在哪里

<正>题目已知f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,且当x∈(0,2)时,f(x)=ln(x2-x+b).若f(x)在区间[-2,2]上有5个零点,则实数b的取值范围是.错解因为f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,所以f(0)=0.-f(2)=f(-2)=f(-2+4)=f(2),所以     

函数周期性与图象的对称性应用例谈

课本中给出了奇偶函数的定义:f(x)是奇函数f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数f(-x)=f(x).它们的图象特征是:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.关于原点(y轴)对称的函数是奇(偶)函数.把以上结论加以推广:就有:命题1:设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a2 b对称.命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x a)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a2 b,0对称.这两个命题是关于同一个函数图象本身的对称性,对于两个函数图象之间的对称性,有下列结论:命题3:定义在R上的函数y=f(x),函数y=f(a x)与y…     

函数观点六用(高一、高二、高三)

1.求值例1 设x,y∈R,且满足(x-1)2003 2002(x-1)=-1, (y-2)2003 2002(y-2)=1.求x y的值.(03年湖南数竞) 解构造函数f(t)=t2003 2002t,易知f(t)是R上的奇函数,也是单调增函数.由此可得f(x-1)=-f(y-2),即     

函数奇偶性的性质及其应用

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.其判定的法则是:(1)看关系式是否出现f(-x)=-f(x)(此为奇函数)或f(-x)=f(x)(此为偶函数);(2)看定义域是否关于原点对称;(3)看图像是否关于原点对称(此为奇函数)或关于y轴对称(此为偶函数).显然,法     

奇函数与偶函数

1.定义(1)若对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;(2)若对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.2.性质(1)f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分     

“函数”错解例析

一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系…     

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…     

欢庆2001年新年趣题

值此新世纪到来之际,本刊编辑部全体同仁向广大读者、作者拜年,恭祝大家身体健康,万事如意,事业有成!这里,我们组织了一组新年趣题,希望能给您带来一份乐趣.1.“中、数、月、刊”四个字分别代表不同的阿拉伯数字,用合适的数字代换它们,使下列等式成立.(1)(中 数 月 刊)3=中数月刊;(2)(中 数 月 刊)4=中数月刊.答:(1)(4 9 1 3)3=4913;(2)(2 4 0 1)4=2401.(陕西乾县杨汉中学　赵文涛)2.设f(x)(x∈R)是以4为周期的奇函数,求证:f(2001)=f(28)-f(75).证　∵f(x)是奇函数,∴f(0)=f(-0)=-f(0),即f(0)=0.又由题设,易得f(2001)=f(500×4 1)=f(1),f(2…     

判断奇偶性的几点注意

我们知道,如果对于函数定义域内的任意x,(1)都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;(2)都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数.     

正确理解函数的奇偶性

现行教材中,关于奇函数和偶函数是这样定义的: 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x) 为这一定义域内的奇函数; 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为 这一定义域内的偶函数. 有些学生认为只要形式上有f(-x)=-f(x),f(x)就是奇函数;有f(-x)=f(x),f(x)就 是偶函数,而与函数f(x)的定义域没有任何关系. 事实上,如果不先看函数的定义域,函数的奇偶性是无法判别的.     

一道高考错题的纠正

2005年福建省高考数学理科第12题:f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0.6)内解的个数的最小值是().(A)2(B)3(C)4(D)5这是一道考查函数的奇偶性、周期性的综合题.眼下网上和市面上许多资料都选用此题,给出的答案都和标准答案一致,选(D).事实上这道题给出的四个选项没有一个是正确的,这是一道错题.正确答案应为7个.具体解答过程如下:∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∵f(x)是以3为周期的周期函数,∴f(3)=f(0 3)=f(0)=0.又f(5)=f(2 3)=f(2)=0,f(-1)=f(2-3)=f(2)=0,∵f(1)=-f(-1)=0,f(4)=f(1 3)=f(1)=0,f(1.5)=f(1.5-…     

函数的奇偶性质及应用

①如果f(x)是奇(或偶)函数,则有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)). ②若0属于奇函数f(x)的定义域,则f(0)=0. ③奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称. ④定义域关于原点对称的函数f(x)都可以表示为一个奇函数     

巧用周期妙解高考“年份题”

高考数学试卷中常涉及一些与当年年份有关的试题,我们不妨称之为“年份题”,其实质是考查对函数性质的认识和挖掘能力。下面通过对例题的解析,来揭示“年份题”的解答策略。例1.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当-2≤x≤0时,f(x)=x,则f(2014)=。     

函数测试题（1）

一、选择题1.定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)=-f(x+4),当x>2时,f(x)单调递增,当(x1-2)(x2-2)<0且x1+x2<4时,f(x1)+f(x2)的值().(A)恒小于0(B)恒大于0(C)可能为0(D)不确定2.定义在R上的函数f(x)满足:f(x+1)=12+f(x)-[f(x)]2,且f(-1)=12,则f(2 006)的值为().(A)-1(B)1(C)12(D)2 0063.函数f(x)=x2+ax+5,且f(x)=f(-4-x)对于x∈R恒成立,当x∈[m,0]时,f(x)最大=5,f(x)最小=1,则实数m的取值范围是().(A)(-∞,-2](B)[-4,0](C)[-4,-2](D)[-2,0]4.奇函数f(x)在[-1,1]上单调递增,且f(-1)=-1,函数f(x)≤t2-2at+1对于x∈[-1,1]恒成立,则当a∈[-1,1]…     

高一数学测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若lga+lgb=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象()(A)关于直线y=x对称(B)关于原点对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称2.设函数f(x)是定义在R上的减函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F-1(x)必为()(A)增函数且为奇函数(B)增函数且为偶函数(C)减函数且为奇函数(D)减函数且为偶函数3.若函数f(x)是定义在区间[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是()(A)f(0)f(2)(C)f(-1)f(6)4.设函数y=f(x)定…     

分类讨论的4点注意和8类常见问题

分类讨论就是分情况说明或分情况论述.分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想.它要求同学们的思维具有条理性、严密性与完备性.14点注意事项1)要有分类意识在解题中不能统一地、整体地说清问题时,就要想到分情况、分类别地叙述,这就是分类意识.例1(2007年上海卷)已知函数f(x)=x2 xa(x≠0,常数a∈R),讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解若f(x)为偶函数,则f(x)-f(-x)=0恒成立,即2xa=0恒成立,所以只有当a=0时,f(x)为偶函数;若f(x)为奇函数,则f(x) f(-x)=0恒成立,即2x2=0,因为x≠0,所以不存在实数,使得f(x)为奇函数.综上,当a=0时,f(x)为偶函…     

f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性(高一、高二、高三)

命题1 函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,x∈R)为奇函数的充要条件是证明因为f(x)为奇函数所以f(x)+f(-x)=0