求解圆中常见问题时的几种“疏忽”

<正>在解答关于圆的问题时,正确的作图是一大难点,而在没有图形的情况下,同学们常常会出现如下的几种疏忽.一、关于点在优弧或劣弧上的疏忽例1在⊙O中,∠AOB=100°,点C在⊙O上,且点C不与点A、B重合,求∠ACB的度数分析如图,∠AOB把圆分成两部分,一部分为优弧AB,一部分为劣弧AB,点C可能     

求解圆中常见问题时的几种“疏忽”

在解答关于圆的问题时,正确的作图是一大难点,而在没有图形的情况下,同学们常常会出现如下的几种疏忽．一、关于点在优弧或劣弧上的疏忽例1在⊙0中,∠AOB=100°,点C在⊙0上,且点C不与点A、B重合,求∠ACB的度数．分析如图,∠AOB把圆分成两部分,一部分为优弧AB,一部分为劣弧AB,点C可能在为优弧AB上（如点C1）,     

圆

A组一、选择题1. (北京市 )如图 ,CA为⊙ O的切线 ,切点为 A,点B在⊙ O上 ,如果∠ CAB =5 5°,那么∠ AOB等于(　　 )(A) 5 5°.　 (B) 90°.　 (C) 110°.　 (D) 12 0°.(第 1题 ) (第 2题 )2 . (北京海淀区 )如图 ,四边形 ABCD内接于⊙ O,E在 BC延长线上 ,若∠ A =5 0°,则∠ DCE等于 (　　 )(A) 4 0°.　 (B) 5 0°.　 (C) 70°.　 (D) 130°.3. (安徽省 )如图 ACB的半径为 5 ,弦 AB =8,则弓形的高 CD为 (　　 )(A) 2 .　 (B) 52 .　 (C) 3.　 (D) 163.(第 3题 ) (第 4题 )4 . (江西省 )如图 ,AB是 AB所对的弦 ,AB的…     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

直径——圆中重要的辅助线

在解圆的有关问题时,若能巧妙地作出圆的直径,将能获得简捷的解题思路,现举数例如下.例1(2005年宁波市)如图1,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,AC=2cm.⊙O的半径为.解:连AO且延长交⊙O于D,连CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B=30°,所以AD=2AC=2×2=4,所以⊙O的半径为2cm.例2(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且∠BAP=∠C.求证:PA是⊙O的切线.证明:作⊙O的直径AD,连BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,即∠D+∠BAD=90°,所以∠C+∠BAD=90°.因为∠C=∠PAB,所以∠BAD+∠PAB=90°,即AP⊥AD,所以PA为⊙O的切线.例3(…     

巧算自然数之和

题目 :△ABC的一边AB在平面α上 ,C在α外 ,C在α上的射影是C′ ,试比较∠AC′B与∠ACB的大小 (面ABC与α不垂直 )如图 1,引OC′⊥AB ,连CO ,由三垂线定理有CO⊥AB ,沿AB转动△ABC ,使其与α重合 ,这时因CO >C′O ,C点必落在OC′的延长线上 ,由三角形外角与不相邻内角的关系 .易证∠AC′B >∠ACB .图 1如果以为这就是此题的解答那就错了 !因为这个结论以∠CAB和∠CBA都不大于90°为前提 ,当∠CAB和∠CBA中有一个大于 90°又如何呢 ?图 2如图 2 ,不妨设∠ABC >90° ,由C′引AB的垂线 ,垂足O在AB延长线上 ,△ABC…     

一道冬令营试题的推广

题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献   

为什么这样做——一道中考定值问题解题策略赏析

正请看2010年广东省广州市中考第24题及其问题(2)的解法:如图1,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC的面积为S,若,求△ABC的周长.略解:∠ACB是定值.理由:     

慎防圆的“漏解”陷阱

同学们在解有关圆的题型时,难免会掉入一个陷阱———漏解,也就是说,该题本来有两个结果,但由于粗心大意,只得出一个结果,而漏掉了另外一个结果,使解答不完整。现举例浅析如下,望同学们慎防。图1例1已知弦AB把⊙O分成1∶5的两部分,则弦AB所对的圆周角度数为。漏解:如图1,∵AmB的度数是360°×16=60°∴弦AB所对的圆周角的度数为30°·图2剖析:在一个圆中,任一条弦所对的圆周角都应该有两种,即圆周角顶点可以分别在弦的两侧圆弧上,而同学们解题时,只习惯在弦所对的优弧上取顶点,而忽略了劣弧上的顶点。如图2,该题的正确结果应为30°或150…     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

三道国内数学竞赛题的另解

题1 如图1,PA、PB为⊙O的切线,点C在劣弧AB上(异于点A、B),过点C作PC的垂线l,与∠AOC的平分线交于点D,与∠BOC的平分线交于点E.证明:CD=CE.[1] (2013,中国西部数学邀请赛)     

找出图形中的隐含关系

例1已知：如图，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一个交点。     

九年级第一学期期末几何质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.正△ABC的边长为1,以点A为圆心、32为半径的圆与边BC所在直线的位置关系是().(A)相交(B)相离(C)相切(D)不能确定图12.如图1,PA切⊙O于点A,OP⊥弦AB.如果PA=15,⊙O的半径为8,则AB的弦心距等于().(A)6017(B)6417(C)15(D)不能求得3.在△ABC中,∠A=90°,⊙O分别与AB、AC切于点D、E,点O在BC上.设AB=a,AC=b.则⊙O的半径等于().(A)aba+b(B)a+bab(C)a+b2(D)ab4.如图2,PQ、PR、AB是⊙O的切线,切点分别是Q、R、S.若∠APB=40°,则∠AOB等于().(A)50°(B)60°(C)70°(D)80°图2图35.如图3,A…     

圆

☆基础篇课时一圆的有关性质诊断练习一、填空题1.圆是__点的集合.到点A距离等于4的点的轨迹是__.2.菱形ABCD对角线交点为O,且AC=8,AB=5,以O为圆心,3为半径作⊙O,则A、C在⊙O__,B、DD在⊙O__.3.等腰△ABC内接于⊙O,∠ACB=120°,AC=BC=5,则⊙O的半径为__,AB=__.4.弦AD、BC相交于E,连结AB、BD、DC、CA,则图形中有__对相等圆周角,有__对相似三角形;若∠BAD=30°,∠BED=80°,则∠ADC=__°;若∠BAD=∠CAD,则图形中共有__对相似三角形,由__∽__,可得AB·AC=AD·AE,由__∽__,可得BD2=ED·DA.5.若圆内接四边形ABCD 的内 角     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形面积的联系比较密切,是中考命题的重点.下面以2016年的中考题为例,说明圆中角的各种应用. 一、求角的大小 1.利用圆心角求圆周角 例1(2016年绍兴卷)如图1,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,(AB)=(BC),∠AOB=60°,则∠BDC的度数是( ) A.60°.　　B.45°.　　C.35°.　　D.30°. 解析:连接OC,∵(AB)=(BC), ∴∠BDC=1/2 ∠BOC=1/2 ∠AOB=1/2×60°=30°.选D.     

与三角函数有关的证明问题

几何学习中，有时会遇到一类与三角函数有关的证明问题。解答此类问题的关键在于利用或构造直角三角形，将三角函数转化为线段的比加以考虑。例１如图△ABC中，以BC为直径的⊙O和AB、AC分别交于D、E。求证：DE＝BC·cos∠A。证明：连BE，因为BC为⊙O的直径，则∠BEC＝９０°，从而△ABE为Rt△，cos∠A＝AEAB。∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB。∴AEAB＝DEBC。又∵cos∠A＝AEAB，∴DE＝BC·cos∠A。例２如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，C在⊙O上。求证：ctg２∠BOC２＝ADBD。证明：由…     

与圆有关的折叠

我们对圆的折叠问题接触不多,解题时也难找到突破口.为方便你掌握此类问题的求解策略,现举例说明折叠问题的解法,供你学习时参考. 一、求折叠后弧的度数 例1(2016年舟山卷)把一张圆形纸片按图1所示方式折叠两次后展开,虚线表示折痕,则(BC)的度数是( ) A.120°.　　B.135°. C.150°.　　D.165°. 解:如图1所示,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E, 由题意,得EO=1 BO,AB∥DC,所以∠EBO=30°, 故∠BOD=30°,则∠BOC=150°, 即(BC)的度数是150°.选C.     

一道中考题的辨析

<正>一、原题呈现(2017年广安中考25题)如图1,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F;点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.(1)求证:直线AE是⊙O的切线;(2)若,求BF的长.二、悬疑众人在解题(2)时产生了如下困惑.解法1 ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.Rt△ACB中,∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×4=8,由勾股定理,得连BD,如图2,     

设K的妙用

在解有“比”的习题时 ,设 K可以使含“比”的项用 K的代数式表示 ,有利于思路的展开 ,达到顺利解题的目的。例 1 .在△ ABC中 ,已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶ 2∶ 3,求 a∶ b∶ c。略解 :设∠ A=K,则∠ B=2 K,∠C=3K,由∠ A ∠B ∠ C=1 80°,得∠ A=30°、∠ B=60°、∠C=90°。设 a=K′,则 c=2 K′。∴b=3 K′,∴ a∶ b∶ c=K′∶ 3K′∶ 2 K′=1∶ 3∶ 2。　　例 2 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ ACB =90°,CD⊥ AB,若 AC=6,sin B=35。求 CD。略解 :由∠ACB=90°,CD⊥AB易得∠ B=∠ ACD。∵ sin B=35,∴ sin∠ ACD=ADAC=35…     

巧作垂线妙解题一例

题目如图,已知:圆内接四边形ABCD中,AD≠AB, ∠DAB=90°,对角线AC平分∠DAB,若AD=a,AB=b,则AC=___。(1996年《中学生数理化》“东亚杯”竞赛初三年级试题) 解过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,则∠ACB+∠BCE=90°,又∠DAB=90°→∠DCA+∠ACB=90°,∴∠DCA=∠BCE,又∠CBE=∠D。 AC平分∠DAB→DC=BC→DC=BC。