一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

利用数形结合的方法求方程中参数的取值范围

<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围.     

都是“a”惹的祸——一元二次方程常见错解剖析

ax~2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,这里的条件是a≠0.在解决问题时,同学们往往会忽略这一个隐含条件,导致解题失误.例1:已知方程kx~2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.错解:因为方程有两个不相等的实数根,所以b~2-4ac>0,即【-(2k+1)】~2-4k~2>     

韦达定理的两个推论

如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1 x2=-ba;x1x2=ca.这就是著名的韦达定理.根据韦达定理,可得出以下两个推论.推论1设x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则x1-x2=Δ姨a,其中Δ=b2-4ac.利用韦达定理很容易证明推论1.推论2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根之比为k,则kb2=(1 k)2ac.证明:设x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个实数根,则x1x2=k,x1 x2=-ba,x1x2=ca .消去方程组中的x1和x2,得kb2=(1 k)2ac. 下面谈谈以上两个推论的应用.例1已知开口向下的抛物线y=ax2 bx c与x轴交于M、N两点(…     

巧用特殊根“1”解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2…     

根的判别式的应用

一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,通常用符号"△"来表示.当△＞0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△＜0时,方程没有实数根;反之也成立.判别式不仅用来判断一元二次方程根的情况,也可以解决其他数学问题.一、求字母的值 例1 (2012年广州卷)已知关于x的一元二次方程x2-2√3x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为____. 解:∵方程x2-2√3x+k=0有两个相等的实数根,∴△=(-2√3)2-4k=0. ∴12-4k=0,解得k=3.故填3. 温馨小提示:这是判别式的典型应用.我们要熟记判别式值的正负与根的个数之间的关系.     

学习一元二次方程三注意

一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中代数中占有很重要的地位.同学们在学习这部分知识时,需要注意以下三个问题.一、一元二次方程成立的条件一元二次方程的一般形式是ax2 bx c=0(a≠0),其中a≠0是一元二次方程成立的必要条件.例1关于x的方程m2x2 (2m 1)x 1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:由题意得Δ=(2m 1)2-4m2=4m 1>0,解得m>-14.分析:解题时忽视了m2≠0这个条件,导致错解.解:因为原方程有两个不相等的实数根,所以原方程满足m2≠0且Δ=(2m 1)2-4m2=4m 1>0,解得m>-14且m≠0.[练习]m为何值时,关于x的方程m x2-3m x m 5=0有…     

一元二次方程根与系数的关系探微

在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠0)有两个实根x1、x2,则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a. 注意在实数范围内应用根与系数关系的前提条件是a≠0且△≥0.它的应用主要体现在不解方程或无法解方程的情况下,直接沟通方程系数与根之间的关系.现举例如下: 一、由根的性质求方程中未知数的值例1 已知关于x的方程2x2-mx-2m 1=0的两实根的平方和等于29/4,求m的值. 解:设方程的两实根为x1、x2则得x1 x2=m/2,     

△的妙用

我们知道△=b2-4ac是一元二次方程ax2+bc+c=0（a≠0）的根的判别式,△>0时,方程有两个不相等的实数根,△=0时,方程有两个相等的实数根,△<0时,方程没有实数根。除此之外,△还另有妙用。 设抛物线y=ax2+bc+c（a≠0）与x轴交于A（x1、0）,B（x2、0）两点,则x1、x2是一元二次方程ax2+bc+c=0（a≠0）的两个不相等的实数根,此时△>0,并设A、B两点间的距离为d那么,     

一元二次方程根的判别式的运用

"△=b2-4ac"是一元二次方程ax2+bx +c=0的根的判别式,它是一元二次方程中的一个重要内容.有着许多方面的应用. 一、不需解方程即可判断根的情况 例1不解方程,试可判断方程ax2-4x +1 =0(a≠0)根的情况. 解:因为△=b2-4ac=16-4a, 当16-4a ＞0,即a＜4,且a≠0时,方程有两个不相等的实数根; 当16-4a =0,即:a=4时,方程有两个相等的实数根; 当16-4a ＜0,即:a＞4时,方程没有实数根.     

一元二次方程根的判别式的应用

对于实数系一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 ) ,如果 b2 - 4ac>0 ,那么方程有两个不相等的实数根 ;b2 - 4ac<0 ,那么方程没有实数根 .这就是一元二次方程根的判别式定理 ,我们把△ =b2 - 4ac叫做方程 ax2+bx+c=0 (a≠ 0 )的判别式 .这个定理的逆命题也是成立的 .判别式定理揭示了一元二次方程的系数与它的根之间的内在联系 ,它的应用主要有以下几个方面 .1 .判断方程根的性质 .在初中阶段我们研究的是实数系数的一元二次方程 ,有下列命题 :(1 )一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )中 ,如果 a、 b、 c是有理数且△ =b2 - 4ac是一个完全平方数…     

构造一元二次方程解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足:1.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.     

试论一元二次方程和二次函数的关系

正一元二次方程以及二次函数是九年级的重要内容,它们之间联系紧密。我现对它们的关系加以总结、归纳,来帮助学生学习和复习。二次函数通用解析式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时,也就是说求解二次函数与x轴交点问题时,可转化为一元二次方程来解决。一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点1.△0时,方程有两个不相等的实数根x1、x2,二次函数与x轴有两个不同的交点,其     

聚焦判别式与韦达定理

中考知识梳理 1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（0≠0）根的判别式Δ=b2-4ac的性质： （1）当Δ〉0时,方程有两个不相等的实数根： （2）当Δ=0时,方程有两个相等的实数根： （3）当Δ〈0时,方程无实数根．     

根的判别式的应用

一元二次方程ax2^＋bx＋c=0（0≠0）根的判别式是b2-4ac,通常用符号“△”来表示．当△〉0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;     

一元二次方程根的判别式的应用

知识链接 一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b~2-4ac可用来判断方程根的情况。 ①△>0方程有两个不相等的实数根; ②△=0方程有两个相等的实数根; ③△<0方程没有实数根. 一、不解方程,判断一元二次方程根的情 例1 一元二次方程2x~2-4x+1=0的根的情况是( )。 (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根     

初三第一学期期末代数质量检测题

一、填空题 1.若方程（a-1）x2a2 a-1-5x=-6是一元二次方程,则a=__。 2.一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）有一个根是1,则a b c=__. 3.一元二次方程2x（kx-4）-x2 6=0没有实数根,则k的最小整数值是__.     

用“判别式”解题的几种方法

同学们都知道 ,一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的根与它的系数a、b、c有很大的关系。由于b2 - 4ac可以判定ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的根的情况 ,所以b2 - 4ac叫做上述一元二次方程的根的判别式 ,通常用符号“△”来表示。判别式的性质 :一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 ) ,当△ >0时 ,有两个不相等的实数根 ;当△ =0时 ,有两个相等的实数根 ;当△ <0时 ,没有实数根。反过来也成立。特别注意 ,根的判别式是在一元二次方程一般情形下得出的 ,因此必须把所给的方程化为一般形式 ,确定系数a、b、c后 ,再用此性质。下面就此内容给同学们介…     

判别式的用处大

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac有下列性质:△＞0j方程有两个不相等的实数根;△=0(→)方程有两个相等的实数根;△＜0(→)方程没有实数根.这些性质反过来也成立,方程有两个不相等的实数根(→)△＞0;方程有两个相等的实数根(→)△=0;方程没有实数根(→)△＜0. 灵活运用根的判别式,可以解决有关一元二次方程的问题.现举几例说明.     

根的判别式的应用

正一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,通常用符号"Δ"来表示.当Δ0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ0时,方程没有实数根;反之也成立.判别式不仅用来判断一元二次方程根的情况,也可以解决其他数学问题.