欧拉遗产问题妙解

欧拉遗产问题是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题。题目是一位父亲,临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一;第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一;第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一;第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一……按这种方法一直分下去,最后,每一个儿子所得财产一样多。     

“欧拉趣题”有新解

大数学家欧拉在他的名著《代数基础》中搜集过如下这道题目:一位父亲临死前叫他的几个儿子按照下列方式分配他的财产:第一个儿子分得一百克朗与剩下财产的十分之一;第二个儿子分得二百克朗与剩下财产的十分之一;第三个儿子分得三百克朗与剩下的财产的十分之一;……依此类推,最后发现这种     

父亲的遗产

1．一位很富有的父亲临终时嘱咐律师要按遗嘱分配他的财产给他的儿子们。 2．第一个儿子分得100g金子和剩下的1/10。 3．第二个儿子分得200g金子和剩下的1/10。     

有趣的数学问题

一、分遗产一位父亲临死前,让他的几个儿子依次按如下方法分配他的遗产.第一个儿子分100元和剩下的遗产的1/10·第二个分200元和剩下的遗产的1/10,第三个分300元和剩下的遗产的1/10…….依次类推,最后发现这种分法好极了.因为遗产正好分完,而每个儿子又分得一样多。问这位父亲共有几个儿子,每个儿子分得多少遗产?     

欧拉趣题赏析

瑞士的列昂纳德·欧拉（１７０７～１７８３）是一个伟大的数学家，他曾经编过许多数学趣题启发孩子们去思考．下面是其中的一个问题：“父亲临终时立下遗嘱，按下列方式分配遗产：老大分得１００克朗和剩下的１１０；老二分得２００克朗和剩下的１１０；老三分得３００克朗和剩下的１１０；老四分得４００克朗和剩下的１１０；…依此类推分给其余的孩子．最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等．遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”解法１设遗产总数为x克朗．因为每个孩子得到的遗产相等，选取老大和老二所得遗…     

“分羊问题”新解

在大草原的蒙古包里,一位老汉留下以下遗言:“将我财产的一半分给长子,四分之一分给老二,八分之一留给小儿子”。可是,这位老汉的全部财产仅仅是7只羊,三个儿子如何分配才好呢?分析与解:从题意可得,三个儿子的财产分别是总财产的12、41、81,但21 41 81=87不等于1而是小于1,这说明三个儿子第一次按遗言分配还有剩余,这就得继续按遗言进行第二次分配、第三次分配……这是一个无限分的问题,显然作为初中生来说,是难以理解的,更多资料上的解法是这样的,先从别处借一只羊,然后再进行分配,这样三个儿子分得的财产分别是12×8=4(只)、14×8=2(只)、…     

“分李”问题的推广

古代欧洲曾有这样一道数学趣题 ,有一篮李子不知其数 ,分给甲一半又一个 ,分给乙剩下的一半又一个 ,分给丙剩下的一半又 3个 ,李子刚好分完 ,问原有李子多少个 ?分析　此题在今天看来比较简单 ,可用列方程的方法求解 .设原有李子x个 ,由题意分给甲 (x2 1)个 ,这时剩下x-(x2 1) =(x2 -1)个 ,分给乙x2 -12 1个 ,再由题意丙分得 6个 ,所以 (x2 1) x2 -12 1 6=x解之得x =3 0此题也可以直接用倒推法求解 .由题意 ,丙分得 6个 ,往上推 ,乙分得 6 1 1=8个 ,甲分得 6 8 1 1=16个 ,所以原有李子 6 8 16=3 0个 .把此题推广 :1 有一…     

关于不定方程“ax by=c”的求解公式

中师部编教材《代数与初等函数》第二册第八章第三节中的定理3是这样叙述的:“设不定方程αx by=c(α>0,b>0)有一个整数解x_0,y_0,则它的全部整数解可以表示成 x=x_0 bt y=y_0-αt其中t为任何整数。”我认为这一定理中关于解的一般形式值得商榷,按定理给出的解的一般形式,对有些不定方程漏掉了许多解。如:解不定方程4x 6y=10,因为x=1,y=1是这个方程的一个整数解,直接应用定理,得它的全部整数解集为A={(x,y):x=1 6t,y=1-4t,t∈z}。另一方面方程4x 6y=10又等价于2x 3y=5,这样,     

一道习题的多种解法

题目 :父亲现在的年龄是儿子年龄的两倍 ,当父亲 38岁时 ,儿子 1 0岁 ,现在父子俩各是多少岁 ?分析 :当父亲 38岁时 ,儿子 1 0岁 ,说明父子年龄相差 38- 1 0 =2 8岁 ,这是一个隐藏不变量。从这里可以肯定 ,当儿子 1 0岁时 ,父亲年龄为 2 8+ 1 0 =38岁 ,此时父亲年龄不是儿子年龄的 2倍 ,在此之前也不会有这个关系。因此我们可以肯定是若干年后父亲年龄将为儿子年龄的 2倍。解法 1 :若干年后父亲年龄为儿子年龄的 2倍 ,设儿子年龄为x岁 ,父亲年龄则为 2x岁 ,可利用父子年龄之差是个不变量列出如下方程 :2x -x =38- 1 0解法 2 :设当儿子x岁时 …     

“有借有还”巧解题

传说古代印度有一位老农,临终前留下遗嘱,要把19头牛分给三个儿子,大儿子分得总数的12,二儿子分得总数的14,三儿子分得总数的51,但一头牛也不许宰杀。三个儿子想尽办法也分不出来,一位老人牵来一头牛参与分配。这样,大儿子分得10头牛,二儿子分得5头牛,小儿子分得4头牛,三人按遗嘱分好了19头牛。老人牵回了自己的那头牛。这个故事,体现了“有借有还”的数学思想。有些数学问题利用“有借有还”来解答,可以化繁为简,变难为易,启发思维。一、借“数”解题例1计算:l+2+22+23+…+210分析与解:1+1=2,2+2=4=22,22+22=23……29+29=210,210+210=211,…     

在数学课上增加实验

初中《代数》第三册有这样一道题目: 一个容器盛满烧碱溶液,第一次倒出10升后,用水加满;第二次又倒出10升,再用水加满。这时容器内溶液的浓度是原来的1/4,求容器的容积。 《教学参考书》上是这样解的: 设:容器的容积是x升。 则x(1-(10/x))2=x/4,∴x=20。 由于一部分学生的逻辑思维能力较差,对此类问题较难理解,甚至     

关于减少代数题中计算量的探讨

我们知道,解析几何等学科的问题都广泛地应用着代数知识,因此,对减少代数题的计算量,从某种意义上讲,具有普遍意义。因此本文就这个问题谈几点粗浅认识,请大家指教。一、恰当地应用定义例1 a、b、c为何值时,方程组解:把x=y=z=1代入方程组解关于a、b、c的方程组这样,比先解方程组后令x=y=z=1来得简单。例2 解方程(4x 5)~(1/2) (5x-4)~(1/2)=0。解:由算术根定义知4x 5、5x-4必同时为零时方程才有解。但4x 5、5x-4不能同时为零,故此方程无解。本题如果按常规解法:移项平方、解根再解验,就很麻烦。二、恰当地应用公式、法则等     

一类方程的简捷解法

初中代数第三册P_(126)练习中有这样一题:解方程x 1/x=c 1/c。解:去分母,整理得x~2-(c 1/c)x 1=0,解之得x_1=c,x_2=1/c。经检验,x_1=c,x_2=1/c均是原方程的根。由此得,形如x 1/x=c 1/c的两根互为倒数,且x_1=c,x_2=     

发新书

开学这一天,同学们一早就来到学校争着帮老师发新书.老师按照下面的方法依次给他们分配任务:第一个同学拿‘0本,再力口上剩下书的击;第二个同学拿20本,再力。上剩下书的壳;第三个同学拿3。本,再力。上剩下书的壳;第四个同学拿‘0本,再力。上剩下书的壳; 最后,所有的书刚好分完.而且他们还惊奇地发现,每个参加发书的同学分得的书一样多. 请回答以下几个问题: (l)老师那里一共有多少本书? (2)帮助老师发书的同学有多少个? (3)每个参加发书的同学分配到多少本书? 解设新书总数为y本,每个同学分配到的书是x本.则帮助发书的同学有妾个人.①②由老…     

出现负数解都没有意义吗

小明和小华都是初一学生,学习了列方程解应用题后,碰到了一个奇怪的问题：有些应用题列出方程后求出未知数的值为负值．应用题中出现负数解有意义吗？他们百思不得其解．小明做的题目是：父亲年龄为50岁,儿子年龄为20岁,问什么时候父亲年龄是儿子年龄的3倍？他是这样做的：设X年后父亲年龄是儿子年龄的3倍,这时父亲是（50+X）岁,儿子是（20＋X）岁,由题意得50＋x＝3（20＋x）．解这个方程,得。x＝-5小华做的题目是：有两个工程队,第一队有32人,第二队有D人．现在要使第一队的人数为第二队的人数的2倍,应该怎样进行调整？小华是…     

一道方程题的推广及其应用

初中《代数》第三册126页有这样一个方程:x 1/x=c 1/c(一般称为倒数方程),它的根是x_1=c,x_2=1/c 若将此方程及其根加以推广,则有方程 x b/x=c b/c的根是x_1=c,X_2=b/c (解略) 应用上述两个结论解某些方程或方程组是非常简捷的,下面以初中《代数》第三册中的例题和习题为例来说明,以供读者参考。     

一道数学名题的探索及推广

有这样一道数学名题,经常出现在小学的课外读物上——相传一位富商临终前把他的11颗珍珠分给他的三个儿子。他说:“老大分1/2,老二分1/4,老三分1/6。”后来老人去世了,三个孩子怎么也无法按照遗嘱来分配珍珠,就求教于当时的数学家歌西。歌西听完分配方案,沉思了一会儿,就把自己的一颗较小的珍珠放了进去。这样,老大分得了6颗,老二分得了3颗,老三分得了2颗,还剩下一颗较小的,歌西就收回了那颗珍珠。后来,人们把这种分法称作“歌西分配法”。歌西解法给人们的表面印象: 若按求一个数的几分之几是多少直接求算,三     

关于同类型数学题解题规律的探究

问题一筐里装有若干鸡蛋,第一次卖出一半多半个,第二次卖出剩下的一半多半个,第三次又卖出剩下的一半多半个正好卖完,筐里装了多少个鸡蛋?分析解答设筐里有x个鸡蛋,如果第一次卖出去23多13个正好卖完,那么筐里装的只能是一个鸡蛋,根据题意可得:x+12=1(1).如果筐里的鸡蛋第一次没有卖完,第二次卖去剩下的一半多半个正好卖完,则第二次卖的应是一个鸡蛋,其方程为12xx+12+12=1,整理得x+122=1     

托尔斯泰“分牛”与“农妇卖蛋”

俄国大作家托尔斯泰曾设计这样一道数学题:从前,有个农夫后留下一些牛。他在遗书中写道“妻子分给全部牛的一半再加头;长子分给剩下的一半再加半头次子分给还剩下的一半再加半头女儿分给最后剩下的一半再加头。”结果一头牛也没有杀且正全部分完。问:农夫留下了多少牛?这道世界历史名题激起了无青少年学习数学的兴趣。下面,就我们来共同探讨这道名题的解题路。思路1这是一道应用题,自然想到用列方程的方法来解答。设农夫留下了x头牛,依题意,得:妻子分得牛数为:x2+12=x+12;长子分得牛数为:12x-x+12 +12=x+14;次子分得牛数为:12x-x+12-x+14 …     

漫谈 x 1/x=2cosθ

六年制重点中学《代数》第二册上,有这样一道题(见P、110练习七第11题):“求证|x 1/x1≥2,x≠0”,这个命题告诉我们这样一个事实:只要x是非零实数,那么|x 1/x|≥2。既然这个命题正确,那么它的逆否命题:“如果|x 1/x|<2,则x不是实数”,也自然就正确了。对于x 1/x=2cosθ来说,显然满足|x 1/x|=2|cosθ|≤2,等号在θ=kπ时成立,因此,只要θ≠kπ,那么x 1/x=2cosθ中的x就一定不是实数了。