常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

例谈线性规划学习中的几个误区

误区一:最大整数解就是目标函数取最大整数值.【例1】　已知x,y满足不等式组2x-y-3>02x+3y-6<03x-5y-15<0　求x+y的最大整数解.错解:依约束条件画出可行域如下图所示由3x-5y-15=02x+3y-6=0解得x=7519y=-1219∴x+y=7519-1219=6319,∴x+y的最大整数解为3.点击:错误主要原因是把目标函数的最大整数值与最大整数解混为一谈,最大整数解是使目标函数取得最大值时的整数解,显然,此时的最大值一定是整数值.正解:于错解的前部分过程相同,∴x+y=6319=3619.∴令x+y=3则y=3-x代入可行域解得3相似文献   

特殊代数方程的几种解法

一、换元法例1 解方程2x4+3x3-16x2+3x+2= 0. 解析:这是一个一元高次方程,观察方程各项系数的特点,可发现方程中各项系数关于中间项是对称的,且x≠0,因此,给方程两边同除以x2,得2(x2+1/x2)+3(x+1/x)-16=0. 令x+1/x=y,,则x2+1/x2=y2,即得2y2+3y-20=0, 解得:y1=5/2,y2=-4. 代入令式得:x1=2,x2=1/2,     

何时可用换元法

换元的目的在于简化形式,降低次数,便于沟通已知与未知的联系,下列形式的方程可用换元法。一、同一代数式多次出现的方程,可用换元法例1 解方程(32x-2x-1)(3x2-2x 7)-9=0.分析方程中3x2-2x两次出现,因此可设3x2-2x=y.原方程化为(y-1)(y 7)-9=0.     

三元一次方程组的解法

1．先消去系数最简单的未知数 例1解方程组： 解{x＋y＋z=0 x＋4y＋2z=3, x＋9y-3z=28.     

使用判别式要谨慎

用判别式解题,由于诸种因素的相互制约,稍不留意.就出差错,今给出几例,剖析如下. 例1 求函数y=(x~2-x-1)/(x~2-x 1)的值域. 错解:将原式化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0,∴ x∈R,故有N=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0,解得-(5/3)≤y≤1.∴原函数的值域为-5/3≤y≤1. 剖析:上述解答的错误源于忽略了当y=1时,方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解的情况. 正解:∵x~2-x 1=(x-1/2)~2 3/4≠0.∴原等式可化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0.∵x∈R,故有△=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0.解得-5/3≤y≤1.∵ 当y=1时.方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解,∴y≠1.故原函数的值域是-5/3≤y<1.     

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

例析构造方程的两种方法

众所周知 ,“根与系数的关系”的应用之一是构造方程 ,但它不是构造方程的惟一方法 ,本文举例介绍构造方程的另两种方法 ,供同学们参考。例 1　求作一方程 ,使它的各根分别是方程x2 - 3x + 2 =0的各根的 3倍。解法一 :设所求方程的未知数为 y。由题意 ,得 y =3x ,即x =y3,代入原方程 ,得 ( y3) 2 - 3·y3+ 2 =0整理 ,得 y2 - 9y + 1 8=0 .解法二 :设所求方程为 y2 + py + q =0 ,由题意 ,得 y =3x ,∴ ( 3x) 2 + 3px + q =0 ,即 9x2 + 3px + q =0 .此方程与原方程是同解方程 ,∴19=- 33p =2q,∴p =- 9,q =1 8.则所求作方程为 y2 - 9y + 1 8=0…     

二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

一道竞赛题的推广及简证

文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1　由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2　 m >0 …     

用换元法解方程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型,这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程,很难解决。对这类方程,一定要认真观察,看看有没有一元二次方程的背景,然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。例1.解方程x2x2-3x+5√+3x+1=3x+1分析x2-3x-1-x2-3x+5√=0观察发现根号内的(x2-3x)项是有的,移项后再添上5即可。解:原方程可化为x2-3x+5-x2-3x+5√-6=0令x2-3x+5√=y,则有y2-y-6=0解得y1=-2,y2=3当y1=-2时,x2-3x+5√=-2,此方程无解。当y1=3时,x2-3x+5√=3,解这个方程得x1=4,x2=-1。经检验…     

例谈配方法的应用

配方法是中学数学中的一种重要工具.它除了在课本中用于推导一元二次方程的求根公式和抛物线的顶点坐标公式外,在数学中的其它方面都有广泛的应用.举例说明如下:一、解方程例1解方程:x2 2mx-n2=0.解移项,得x2 2mx=n2,配方,得x2 2mx m2=n2 m2,即(x m)2=n2 m2,∴x1=-m n2 m2,x2=-m-n2 m2.点评将含未知数的项移到左边,常数项移到另一边,进行配方,配方时需两边同时加上一次项系数一半的平方.例2在实数范围内解方程:2(x y-1 z-2)=x y z.解将原方程变形得:(x-2x 1) (y-1-2y-1 1) (z-2-2z-2 1)=0,即(x-1)2 (y-1-1)2 (z-2-1)2=0.∵(x-1)2≥0,(y-1-1)…     

代入法求分式值的几种途径

在分式的学习中 ,经常遇到含条件的分式求值问题。解答这类问题时 ,可根据题设和求式的特点 ,灵活运用代入法。下面以实例介绍代入法求分式值的几种途径。一、求值代入例 1.若 |x- y 3|与 |x y- 1995|互为相反数 ,则 x 2 yx- y的值是。( 1995年希望杯全国数学邀请赛初一试题 )解 :依题意 ,有|x- y 3| |x y- 1995|=0 ,∵ |x- y 3|≥ 0 ,|x y- 1995|≥ 0 ,∴ x- y 3=0 ,x y- 1995=0。解之 ,x=996,y=999,∴原式 =996 2× 999996- 999=- 998。二、比值代入例 2 .若 x2 =y3,则 7x2 - 3xy 2 y22 x2 - 3xy 7y2 的值是。( 1995年大连市初中数学竞赛…     

函数值域求法的策略

一、反函数策略例1求函数y=3-x2x+5的值域.分析此题可用“观察法”,但形如y=ax+bcx+d的值域问题,用反函数法尤为简洁.解函数y=3-x2x+5的反函数为y=3-5x2x+1,而y=3-5x2x+1的定义域为x|x≠-12 ,∴原函数的值域为y|y≠-12 .二、换元策略例2求函数y=2x+41-x姨的值域.分析可将原式2x移至等式左边后,再两边平方,用“Δ法”求解,但是值域范围有可能扩大.若令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,从而将原式转化为在限制条件下,即t≥0时二次函数的值域问题.解令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,故原式为y=2穴1-t2雪+4t=-2穴t-1)2+4≤4,∴原函数的值域为(-∞,4].三、数形结合…     

与方程有关的阅读理解题归类点拨

阅读理解能力是初中数学课程追求的重要目标之一.本文特选了几例与方程有关的阅读理解题,供参考.一、阅读解题过程,总结思想方法例1阅读下面的材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2.原方程化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,∴x=±2;当y=4时,x2-1=4,∴x=±5.∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-5.解答问题:(1)填空:在由方程得到①y2-5y+4=0的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2)解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,若设y=x2-x,则原方程可化为.解(1)换元:转化;(2)y2…     

一元二次方程中的数学思想

一、换元的思想方法 换元法的基本思路是通过设辅助未知数,使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程. 例1 用换元法解方程(x+2/x)2-(x+2/x)=1,设y=x+2/x,则原方程可化为(). A.y2-y-1 =0 B.y2 +y+1 =0 C.y2 +y-1 =0 D.y2-y+1 =0 分析:若把原方程展开再解,项数增加、次数增高,解答起来会很复杂,设y=x+2/x,通过换元将原方程化为整式方程y2-y-1=0再解,方便多了.故选A.     

分式求值 灵活消元

同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k…     

条件二次根式值的求法

一、利用对称式求解例 1 .已知 :a=15- 2 ,b=15 2 ,求a2 b2 7的值。解 :由题设可得 a b=2 5,ab=1。∴原式 =( a b) 2 - 2 ab 7=( 2 5) 2 - 2 7=2 5=5。二、定义法求解例 2 .已知 y=x- 8 8- x 1 8,求代数式 x yx - y- 2 xyx y - y x的值。解 :依据二次根式的定义 ,知 x- 8≥ 0 ,且 8- x≥ 0 ,∴ x=8,从而 y=1 8。∴原式 =x yx - y- 2 ( xy) 2xy( x - y )=( x - y ) 2x - y =x - y=8- 1 8=- 2 。三、用非负数性质求解例 3.如果 a b | c- 1 - 1 | =4a- 2 2 b 1 - 4,那么 a 2 b- 3c=。解 :将原条件式配方 ,得 ( a- 2 - 2 ) …