1983年上海市中学数学竞赛试题及解答

第一试试题(90分钟完成)一、填充题:(本题40分),每小题为5分) l+tg15“ 1一tg 15。}丛竺三卒粤丝柔拌髯王丝黑率卫犷}I灭丫‘一丫0多八丫乙一丫。叼}1到1000中所有被3除余2,并且被7除余4的正整数之和为_一个椭圆内切于一个长为饥,宽为。的矩形,这个椭圆的内接矩形的周长的最大值是10、6丫了·守而石不 6.如果1、二、夕三个正数,既依次是一个 等差数列的第l项、第。项,第、项,又 依次是一个等比数列的第Z项、第, 项、第,项.那么:,夕应满足的关系式 _昆 夕上二 7.在集合{1,2,…,。}中,任意取出一个子 集,计算它的元素之和,则所有各个子 集元…     

划船歌

歌译民祥国锡愉快地音配歌英何余姚思源配伴奏燕用肖=李二手=番不护书江井=斗=斗=川尽竺牡竺牛=习，\二丫，门州\、‘~一洲/广了) .，.甲.，、一洲广勺一门砂砂砂、、‘一一沪产厂一可一]璧豢七主兰三本三兰兰龚全麦兰龚兰弓生确杯仁==书匕书===李=二仁=====川===七= J之=====习衬一尸了州衬.I尸尸，砂，、~一尸二州砂!绝李兰亘兰李兰兰生龚兰岁兰生三习任‘十一一一一一一50 l刀口……I二「1叭.‘二‘.…1.…才‘、l『曰，.民l(民.1“二j.‘气二)1 l、、、户二1…飞…}.曰.口，l.}口曰-日砂砂”创砂”祥.I’.”’.1.一划呀划呀轻轻地划，…     

第30届国际中学生奥林匹克数学竞赛试题及其解答

、求证、集合{l,2,….198盯可以分为1”个互不相吹的子集A.(i=1,21 17),使得(1)每个班‘含有17个元素;(2)每个月‘中各元素之和相同。 证明、妙二{撇,353,……,,989}由于352-3xzl丫+t,,卿二了6xz17+z,7,从而召中每个元素均可唯一地写辰,。、。+,的形式(其中,簇r(,,7,3《喊叉.)卞面对每个汉,(k二1,?,…,,17),当。为奇时,选取触封吞q;+吞作为刀。的元素;当q为偶时,选取1灯1叮十(l拐,-幻作为A。的元素.此时每个月。中便有了,4个元鬓,且这些元素之和为习r‘,‘·(“‘+,)+‘]+乞[,,7·2‘++(1沈a一k)]=7x 1 18+习‘,7·‘滋‘“,价 再记C={1,2…     

白鸽

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知了、蜜蜂不一样

IJ户l‘.1二1 .1…J「—二尸〕厅峪口日-.((口.1 ...……门下阅尸恤…‘.1日目1 .1 l一二口.‘日J. l、‘、尸涪..-一二，.，口..1 1.-一.---一l』口月‘二川} ()..一...一.「—.肠一.-1片‘刁.面-11」巨l二J胜-..一.1 .1一l甘翻月户恤二I一l {曰曰.一二口.口日一.曰日‘日.一l、‘J..二口一l l知知~一二)口日一.匕匕-一习一砂砂一卜，.，尹尹~砂砂.，.r—价尹~ l“.‘.一目泣._J月已.目目res，l- 1.州.J己面洲尸J .1州.尸尸1~，且.尸lr肠笼1.一…口.. .，l res匕.... l尸..二} l「t.一.1.一】~，J「.1知了、蜜蜂不一样@王子玉 @寄明…     

2006年普通高等学校招生统一考试 福建卷理22题解法集萃

题目:已知傲列{a。I满足a.二l,an+,二Za。+l(noN*).《I)求数列}anl的通项公式; (川若数列lbn}满足4b,一4比一,…4味,=(a。+l),“(noN*),证明:数列lb。}是等差数列;一11、:二n二n_l,a、、aZ*…上a。/n In二月*、吐".】It目目竺二一,<二上十二‘+.,.+二卫1一<毛不吸n任仪贾】.‘J aZ 83a叶.‘(I)证法l:’·’a。+:=Za。+,(noN*)…a,,+l二2(an+:) .’.{a。+l}是以an+l二2为首项,2为公比的等比数列·一十1二2。即a产2“一l(n oN*)证法2:‘:a。+I二Zan+.(n oN*)一合+‘韵一晋:(如’...Bp舞二扮(奋州3二。…处一矛匀一刃也…     

东北人都是活雷锋

1=A{J=126 雪村词自 1.-.,、 l J .-...o 5 5 5 e l 1 2 1 t—l x x(8 a'3 3 J l 8 8 5 e 5 8 2 一 I—一 I——一‘…I‘… 老张开车 击东北 一撞了1)5 5 s e I●2 l 1-l X x(4.4 4 4 4 8 l 2一一- … I …一 I 肇事司机 耍流氓 跑了 ,_、 /^、O 5 5 5 8 J I 2     

一个不等式的证明及其应用

栩名,-l 不少报刊杂志对布尼亚可夫斯基不等式的证明和应用做了大量的介绍、本文就另一个常用的不等式谈淡其证明与应用. 若a,、b‘都是实数.且a‘》a. z,b.》b. z,“l,2,…,.一l(掩 ,)艺a‘b‘一习a‘ 皿二求证:”名a .b‘》名a‘·习b‘ 1.1 I.lt=i二k习a.b‘ “a“ ,b“ , 几 l名a‘b‘k l沙、白自当a,二。2二一=。。或b:=b:=…,6。时,等号成一(刃一习”。 ‘一习“‘十“““J立.证明:当”二2时 2(。:b: aZb:)一(o: 。,)(石: b:) ,(a:一。:)(b:一b、)》0假设朴二为时 杆之‘孙a‘ :b。 , 名a‘b‘一‘,艺a 一If一屯翻 1白 耳一a。 1习…     

基本不等式解题“五技巧”

一巧拆 例1已ha是大于l的正整数,求证:2n>1十。勺任不. 点拨:要证的不等式即为二>nV尹,而此式左边可看成等比数列l,21,22,23,…的前n项的和,由此可用拆项法证明这道题. 证明::,n是大于1的正整数,三巧乘例3若n oN’,求证:(‘十音,(,+今,…(1十招不)>·2一‘二‘一(2一2·,二‘+答=‘+2+22+23+…+2几一‘心尹尸而刃 2 点拨:这是一个数列不等式,通常用数学归纳法证明,但从k到左+1难度较大,考虑到不等式左边每一项中的分数分母依次相差3,可采用连乘相约的办法来处理.件心碑 .今7一4一ro一7一4丁l一︸一一一 一一+一、,+一,J +一31一、J胜︸一1…     

平方数

如何判定一个数是否为完全平方数(本文以下简称“‘平方数”).没有-一般的方法.但可以从平方数的一个基本特征人手. 将所有平方数按从小到大的顺序排列如下: 1:.2:,3:.·…,I艺.(,,十1)全,… 如果用41涂其中的每一个数.可以发现.每一个平方数或被4整除.或被1除余1.证明如下:l,2一艺1,I一(‘为正整数,时·等一走‘冷为正整数,‘司一件一(2力一1): 4‘‘冷丈冲一.﹄2 21一4皮(澎一h)+ 注意,“.即,,二被41余余L飞整除或被飞除余1”只是被除数为平方数的不可少的条件(必要条件).而不是充分条件(即命题“平方数必能被4整除,或被往l涂余l”为真…     

我们活跃在运动场

1=C专 ’朝气莲勃一(0 5—6 7 li迫I 2。迫1卜一l主3 2。主1 l巫7 2 6 f 5. I 1 7·1 I ·2 I 3—— J l J 5 . I‘,’—、I,,—、I,_—、}‘———————.厂一.曼.4. 3 5 l 1)3 1 2 I 3 · 4 J 5 6‘·s I 5—— I 5 I 一一l —l—————==l l一,..。‘’‘、S·S 4 3—————:=一嘹辉跃向红 旗 招 展,兰 色 ·、的天 空。l一3 n3 2 j坦2 3l I 1 ·我们 青少年创纪录的捷 报6 l堕盈j在 运 动 四 ’————_—_--。～ ./一-3—、一一0 2—3 5}6 1m7 1};一J 2’I’ l l 2—— I优美的旋 律,你追 我 ’ 赶, r2.——l旦活传6 S…     

一个无穷数列之和的简单解法

资刊91年竿3期pZg提供了灼告溉率模型求无穷数列:宾+了2一头)经、十r;一』,丫,一{,).于,+…+‘”‘2,‘(一22/32‘火’2,/\3,/42’仁劲书:)…(卜;:)。、与、2+…之和的一种方法.下面应用递推关系给出另一种更为简捷的解法.月一1 “,=。打“一‘(”》2)。反复应用这个递推关系.得a.噢刀+l 玲一2“万一.a。一,=’~= 6a:r:(”+1)’6a2(解:当”)2时数列灼通项为a.一、‘二一二一;(一击).气一(‘一;加一;i)..·当”=1时,也有奋一;(;(卜南)一南) (卜劫瑞为‘’”·岩一妇一奋)磷。一黯·S,从而这个数列之和为s二l*二。s二粤 ~、~自一个无穷数列之…     

芭蕾女郞

l‘加,︸腼壬7r了‘呜· 日,4之,上二‘下飞过二4,户试臼仪 二·}!!~、. )二.﹃一、八脚经L .L份衣.甸公‘叭户。炯嗯盛甸、二认, 2一 拓戎-沁兰‘洲.分.了一、卜协呵."标尸.2一一沉砂。,︸‘彻.恤堆沪“毛!;支一上 物。互,之止侧毋阔.从。。M叨山J4,l加火一r亡·助!︸叮I,ll.一一!上,一‘s.’三1小工,,琳抽 自哪钾目上未!’一’一产“”咭砖泣泛 孟一山限歼之一一}助习‘;r才“个三一二d附”“.吸 比·认沐仁州彻玩愿oa一呵柯加r、坛咤、宁‘一}咖物时么嗦 命时哪工一l份一节:卫一土之3}2 蜘“协J人。以奥一竺竺一一一三之J奋乙之l夕一…     

在卡吉德洛森林里

l力甲.1 l卜一吕…1.、.‘.月.) ll『〕叭.气l l l叫1.一1.洲声.知口户，阿‘) (l口.门.‘l一门，护‘日一‘日. J目.产产二I渔一户，1 IJ「l l~耳l、，l、“沙.一，.‘i r .r.’.1.一l日) l一)l，习””l’l’『”.好一股清水泉。又清亮，又干净，都要把泉水饮。不管是步行的、有一副好模样。打扮得又漂亮、就不是好姑娘。弄脏了清水泉，八.，/才一一一一.一，一一~~~\!. }J口11 1 11 1.甘11 11眨、l一1 1 J.‘..)_厂碑叮吮1 1 11 1 .1 11 11口，J .1 .』.. l喊喊‘)，口斌‘l，门，护‘日口口‘日.1‘日l l硬J.后r户.1 l知户，闷r协口…     

一个无穷数列之和的简单求法

贵刊引乍节3!’注君沟造{睽率模型解题一例乡给出孙一:、一个习。:求无穷数列{、+(卜奋)·卡(3X5)(4x6…【(。一i)x(。+1)]”+l)! 1=2云(。+i)--*(,一参一)(卜封·带十一十(‘一斌一宁)二(‘一带)·了汁下十…之和. 对这一习题作者在文中认为‘这个数列构造较复杂,用初等方法难以理出头绪”.事实上并不是如此,下面本人刘一比给出简单的解答以飨读者. 解:设该无穷数列的第。项为a。,前。项之和为5.,一音(青一命),S一+一+…+一蚤[(1一去)+(一杏一封+…+(青一命)1一钟一命)s二1 ims.二喜. _~‘~乙- 几-,,甲目所有各项之和为5.则a。=丝X;亏)(2…     

自作聪明的小毛驴

l万习“湘.匀.__l_l_11二口‘~1 fi)尸,{l‘布丁阮瓜.…1 .1..1口一l-·l口二」产」产户If葫陌听骊.1 11尸尸l,1.(..一夕曰l冰1子任1 1 1 1111.-.(.一L尸{月」甲j甲」‘下‘七四11.山l民睦侧l一rl山lLl田l丁翻‘11.田民为门气’生‘月‘才曰翻曰肠I曰.曰.,曰山曰「l,曰四-〔l,‘日翻‘「,,日.山曰.才口四口l『门,咐r月叫I叫二,叫二,叫〔l明,.〔1.,.〔1(I,,口.11l协、,J去曰.口.口.,月..~.月.一日.l月.日.日.l口.口日口1‘.口.口.l尸,口.口.“于行厅于示于尹{l‘饭.翻丫r‘卜、l.、l甘、I.马ll、ll、l『、l1.口.口IL丫r“l(、ll、I.11l…     

小花猫

渔少二夕音色:小号加颤音节奏:进行曲诊l尸.,户舀1 11二=币}l(尸,,‘1_们尸叫!}!11,l寸-twe~一leeIL一上_LI,,一了闷几{}J!11」曰l日习‘J了刁一习.百一习一~1一、l,}11}J日J尸}一‘‘奋二二}一一2 .1{咋公一牛!一4万一4 rs…·、5 匕自己。卞能卿、州走跳.J宋一·尸愧,‘J .....月1尸,尸性11l~声r巧】门~-寸L」J、11!i仁——一乍一一~一尸月,l!11日二工」〔二了tr一寸一一j一一一}—十-—-一一l1轰、」尸日司日}一.一厂一lji}}il卞一-~,~-一l急{异j君溉l熟}氛姨3妇小花猫@马玉芝 @李嘉评 @陈金熬~~…     

物理期末测试题

厂、‘砂一~一沪‘一’‘一一-一一—一一一~~砂一一~~一一写幼,‘巴J曰巡,之‘之J.也,之‘d,己习扭,己,边,己,烧,比闷卜,乞二‘‘之气刁绝月之‘幻书l川 向) 方 同( 地 同 J“J 日日 同 一、选择题 1.用刻度尺测长度时,下列要求中不合理的是 A.测量时刻度尺不能歪斜B.读数时视线垂直于尺面 C.测量结果有数字和单位D.必须从左端零刻线测量起 2.一辆摩托车以6okm/h的速度和一辆以12.sm/s的速度行驶的汽车,出发,经过lmin后,汽车比摩托车约 A.落后10om B.落后25OmC.超前250m D.超前10om 3.汽车由西向东匀速行驶,车上的乘客看到窗外的雨是…     

一个不等式的证明及应用

·习i-l 二 习a,艺b ‘.1‘一iO‘一— 丙.a. b‘·名产先着两个题目:,)已知:名二‘二。,。及为均为实数,‘一,,2,…, 一盔令今。.求习二‘(,一x’)的最大值.‘一12)i己知正数二、.、:满足艺a汁名b‘,一l,.j{ 戈甘.朴之.之戈_飞厂罗了,,r代万苏下~二二门~二于二于~二一乙万十U石U个“‘宁轰x十U十考=3。哈冲求二、夕、之. 为了求解这类题目,本文给出一个不等式: 定理设a. 认>。(i二1,2,…,的,则 . (艺二)’ 二1 二习。‘ 名6‘二l二1《习瓦编万嘴二乡》(习。‘)’·习曰方恶、、i一1名。.名b‘一1‘一I .(一 6,,艺。.军飞, ‘一l(一)根据…     

小猪和小象

1=A言( j§ 5 6:i§ 5言 ,—、 5 1 1 1 2 J 3 l ( 15) ,』、j菏剐小象噢,(4 4 4) 1 3 3 4 5 3 }<=屏r一吸水 K异r吸水(5§ 5§ 『5§ 5§)l 1 7 6 5 5l 1 7 6 5 5 一一一 一I. 八J ..I 5 1 3 2 3}5 5( 1 5)求纠小』f j f≈f7奥.箩f、㈠胖胖噢,I 2 2 2 l (2 2 2)求浇 快.洗f: 汁r,I 2 2 2 5 3} 2 2 2 O种卜J’炒J、 ‘f j f j.尝’尝炒f、甜义 乔,I 4 5 4 3 2 11 1 1 O)J堕一!UI璺4 4龟i弹』,‘川乃割I杉j f:,Ⅻ乳r拱卜挖够 f、. ..f一、 ..I生至2_5 J鱼.里3 11戈_】圩I呀。 jI殳呀I叫:.‘吱‘吁岁k 。哎呀 f叫:,{ 曼 主 j l i 一…