证明分式不等式的变形技巧

在证明分式不等式的过程中，无论使用什么方法，都是以一定的变形为基础，通过变形，沟通待证不等式与已知不等式之间的联系，从而使问题获得解决，从这个意义上说，变形成为证明分式不等式的关键．鉴于此，本文归纳出证明分式不等式的若干变形技巧，供同行参考．     

分式不等式的证明变形策略

国内外数学竞赛及各大期刊的“数学问题”中，频繁出现的分式不等式证明问题，可谓千姿百态、精彩纷呈．证明这些分式不等式，虽然证法灵活多变、因题而异，但总以一定的变形为基础，通过变形，沟通与已知不等式之间的联系，使问题获解．可以说，恰到好处的变形是证明分式不等式的关键．为此，本文归纳分式不等式证明的变形策略，供读者参考。     

分式不等式的证明方法与技巧

不等式的证明是数学教学中的难点,又是竞赛命题的热点。其方法多样、知识面广、灵活度大、技巧性强,是培养学生创新能力的好题材,本文举例说明分式不等式的证明方法与技巧,意在起到举一反三的作用,以助于提高学生的数学素质。     

利用柯西不等式证明一类分式不等式的升幂技巧

利用柯西不等式结合分子分母“升幂”技巧可以完成许多分式不等式的证明,本文举出若干实例加以说明.     

不等式证明中的代数变形技巧

鉴于分析总结不等式证明中代数变形的几种典型技巧,可以帮助学生拓宽了数学解题思维,并且阐述了代数变形对解决包括不等式证明在内的数学问题的重要意义。     

一个分式不等式的证明

文[1]末提出如下一个不等式问题：     

分式置换法证明不等式

不等式的证明,除了教材上的比较法、分析法、综合法、反证法外,还可用构造函数法、分式置换法等.所谓分式置换法是:对于约束条件n∑i=1的某些不等式,通过作代换x1=ai/n∑j=1aj(i=1,2,3,…,n)从而证明不等式的一种方法.本文就此给出分式置换法证明不等式的一些技巧,供教学时参考.     

拆项法证明分式不等式

引子 拆项法常用于解证代数问题,也可用于分式不等式证明.这是1969年S.G.Guba建立的三角形不等式:     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

用柯西不等式证明一类分式不等式

设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通…     

用柯西不等式证明一类分式不等式

柯西不等式是数学中极为重要的一个不等式,应用广泛．这里用其去探讨在一类公式不等式上的应用,使其分式不等式的证明显得非常简捷。     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

一类无理分式不等式的证明

我们都知道,在求证无理分式不等式的证明题时,最烦人的是难处理各项的根式,事实上,也确实没有什么固定的好方法,只能是具体问题具体分析,笔者在研究中发现：有一类无理分式不等式的证明题是可以通过一种有效去除各项根式的方法解决,下面通过举例来说明．供大家参考!     

一类齐次分式不等式的证明

本文介绍了齐次函数的一条重要性质．并探讨了一类齐次分式不等式的证明方法．一方面可以用欧拉定理加以证明．另一方面运用均值定理构造不等式往往能收到奇效．     

若干分式不等式证明的思考

简单地说,不等式的证明过程是一个放缩的过程.由于放缩具有很大的灵活性(具体体现在放缩方向的确定、放缩程度的把握以及细节的微调等诸多方面),所以不等式的证明对证明者是一个极大的挑战.常常出现这样的情况,一个不等式问题被提出来后,因命题者当局者迷,也许会给"旁观者"留下证明的宽阔的舞台,于是,一个又一个简单的、漂亮的证明被不等式爱好者寻获.而且,就像做任何事一样,证明不等式有很多技术层面的细活,学习者不仅要了解、熟悉,而且要领悟、体会.     

一个分式不等式猜想的证明

猜想 若a1,a2,…,am〉0,a1＋a2＋…＋am=1,λ≥0,m≥2,n∈Z,则a1^n/1＋λa^2＋a2^n/1＋λa3＋…＋am-1^n/1＋λam＋am^n/1＋λa1≥m^2-n/m＋λ（＊）这是吴国胜老师在文[1]中提出的一个猜想,下面给出证明．     

不等式证明技巧

不等式是研究数学问题的重要工具。不等式的证明方法灵活多样,本文通过实例说明不等式证明的某些技巧。     

一个分式猜想不等式的证明

文[1]对文[2]所提出的一个优美不等式给出了简洁证明,并把它推广到三元情形.在文末又提出了一个更一般的猜想不等式,本文给出这个猜想不等式的证明,供参考.命题若x_i∈R~+,i=1,2,3,…,k,m≥1,n∈     

利用均值不等式配对证明一类分式不等式

不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式.     

用一个新不等式证明一类分式不等式

新不等式是 :若Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,则Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ . ( )证明　因Ａ∈Ｒ ,Ｂ、λ∈Ｒ ,依基本不等式得Ａ2(Ｂ) 2 (λＢ) 2 ≥ 2· ＡＢ·λＢ =2λＡ ,∴　 Ａ2Ｂ ≥ 2λＡ -λ2 Ｂ .可以看出 ,新不等式的结构简单、特证明显 .它的左边是一个分式模型 ,右边则是与之相关的一个整式 ,这就是说 ,不等式有把分式转换为整式的功能 ,因而不等式 ( )是证明一类分式不等式的锐利武器 .现举几例说明之 .例 1　设ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ 是正实数 ,求证 :ｘ21 ｘ2 ｘ22ｘ3 … ｘ2 ｎｘ1≥ｘ1 ｘ2 … ｘｎ.( 1984年全国高中联赛题…