代数式(之七)

代数式之3:练习 1.三位自然数的百位上的数字是x,十位上的数字是O,个位上的数字是5. (l)用a的代数式表示这个三位数; (z)根据公式(a+b)2,写出这个三位数的平方的表达式; (3)现察(2)的结果有什么规律?然后根据这个规律直接写出以下三个平方数的结果: 2052;3052;8052. 2.各设计一个图形,分别说明以下的等式: (l)(m+。)(a十b)=、+赫+、+动; (2)(m+n)(m一n)=mZ一nZ; 3.计算(a一b)“一(a3一b3)+3ab(a一b). 4.当m~854,n一848时,求下面代数式的值: m3一3mZn+2n2(m一n)+mnZ十n3. 5.将下面的代数式写成最简单的形式: (l)9一6a+aZ=; (2)l+3x+3x2+x3…     

初二“希望杯”训练题

L因式分解: (1)as十a+l; (2)(x+l)(x+3)(x+5)(x+7)+15; (3)2(xZ一sx+4)”+5(xZ十1)(xZ一sx+4)+2(xZ+l)2.2.黑是否一定可以表示成1 998个分母互不相同的真分数的和,并且每个真分数的分母不超过4 00。。。o?34.已知a+b+‘一O,试求 aZ .bZ二,二厂气一下一+二兀飞一下一一一乙a‘十口亡乙口“十aC+二二厂--万的值 乙‘--卜“D有1 998个互不相等的有理数,每1 997的和都是“分母为3 998的既约真分数”,求这1998个有理数的和.今天是星期日,若明天算第一天,问第1’+23+33十…+1 9983天是星期几?已知自然数m、、,在数轴上点登和点号哪个更靠近点…     

问题1.5参考答案

…||l|人.95 问题求使2”+1能被3整除的一切自然数n. 解根据多项式与多项式的乘法,不难验证 丫一夕一(a一b)(a刀1+a祠b+a间扩+…+的科+犷‘).* 将。一2,b一一1代人上恒等式,得 2月一(一1),一3M,其中M是、式右端中令a一2,b一一1时第二个因式的值.因为a和b是整数,所以M也是整数.于是有 2月+1=2’‘一(一1)”十1+(一1)”一3八左十1+(一l)”. 显然,当n是奇数时2刀十1能被3整除.(如果n是偶数,则2”+1被3除余2) 注也可由2’z一(3一1)”一3M+(一1)”求解. 【问题1 .7~8】4个友好城市A、B、c、D进行乒乓球友谊比赛,每个城市各派甲、乙两个队参加.…     

一个普通组合公式的发掘和应用

本文论述的是原高中课本的一个普通组合公式 晓 心 , 浇 : … 叱十一1~心粼的发掘和应用. 这个公式可以用排列数表示为: 摆十尸: , 尸二 ,十… 尸二十一,~丁毕兴灭尸沈L敌十l夕 上面公式可以写成 l·2·3…m 2·3·4…(m十l) 3 .4·5…(m 2)十… n(n十l)(超 2)…(n rn一l)=-卫-,(, l)(二 2)…(。 m)刀正十1 可以发现公式左边是以a,~n(n 1)(n 2)…(n十m一l)(m个连续自然数的积)为通项公式的数列的前n项和5.,右边是这个数列的通项公式有,(。 1)(。 :)…(, m一:)与赎考的积 子刀-广l 于是得出如下定理: 定理:以n(n 1)(n 2)…(,: m一l)这m个连…     

谈“配偶”技巧的应用

偶即成对,两者之间关系紧密.在数学上两个量关系密切,我们可把其称之为“对偶”,在考察问题时将两者联系起来考虑,更能凸现式子的本质特征,使问题得到更好的解决. 先看下面例题的解答. 对于一切大于1的自然数,求证:(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/2n-1)>证明:设M=(1+1/3)(1十1/5)…(1十1/2n-1)=4/3·6/5·…·2n/2n-1引入N=5/4·7/9·9/8·…·2n+1/2n显然 M>N>0,     

第21届美国数学奥林匹克

(1992一04一30,3喜 艺时) 1.试用一个n的函数,表示乘积 9K99x9999x…x(一。,”一i)在十进制下各位数字的和. 解先证如下的引理:设自然数m的位数不多于d,M一(1护一1)m(k)d).则 S(M)~gk.这里S(M)表示M中各位数字的和‘ 令M一(l护一1)m一产十q十:,这里 P一10‘(脚一z),叮一xo己一1,:, 犷一10五一10“.若m一1的十进制表示是 m一1=a,aZ…aJ,则p=a la2…a己00…o(k个。), 宁~(loJ一l)一(次一l) ~99.·‘9一(m一1). =99…9(d个9)一a,aZ…aJ ~b lb:…久,eosl。eos88oeo589“sinzl。’ 证明为了书写方便,我们约定下面各三角函数中的角都以度为…     

关于1984的数学题

1.试证:1984可以表为某些i生井自然数证明f限设 1984=l、十(l、+!、干…+(k+n).(空}吸2沁一卜n)(n十卜)二2?·只1.川洁为素炎交.(k2kneN)那么198、!业旦士髻竺卫一,11斗+n二2‘,}二3 1.(])(2)2二31=(Zk+n)(n+1) 2 (l) 21=3 0. 故19 84可自然数的币约两式联立解之.得k二Jg,火表为拍一j不为49.末顶为79的3}个为.46“甲,泞纵与-一-~一...‘匆........‘二.数 2.试证:1984不能表为c:+C己+C乏+…+C公的和。(11任N) 证明根据二项式定理,有 (1+:).=C呈+C二x+C呈x“+…+把!:面的n个等式两边相加.便得 厂n(n+1)、 ]。+2。+3。+…+no=l——I .二…     

若干数列前n项和公式的推导

一、2艺+4之+6“+…+(22,)2 2=了’‘(”+1)(Zn+l)·将n个等式相加,得(n+1)‘一1证明:22+4“+6之+…+(Zn)“ 二22·12+22一22+22一32+… +2 2.n2二4(1“+2“+…+n3)+6(12+2“+…+月2) +4(1+2+…+n)+n. 变形整理,得 4(13+23+33+…+几3)=22(1“+2“+3“+…+n“) 1=4’一百“(”+l)(2,‘+1)一(,+,)4一6·言、(。+l)(2·+,)誉。(。+‘,‘2“+‘,· 1一4’万”’L几+l)一‘几+l)二、1“+32+52+…+(Zn一1)息 1=下叫凡(4忍‘一1)。 J证明:i艺+32+5“+…+(Zn一1)“=(忍+1)略一刀(忍+1)(2九+1) 一2冷(龙+1)一(拜+1)=n“(n+1)之. 13+28+33+…+n3=〔…     

怎样理解数列1,22,333,4444,…,的通项?

4444,…的前”项之和。n一9 一题:求数列1,22,333,解这个数列的通项是: a。二九(10”一l+10”一“十…十10+1)=n(10”一1) 910”n 9设1 X 10 91 x 102 9+呈圣l蟹 9十;兰里旦i 9+一竺兰丝二 9空匕些旦9生+ 9刀X 10 9。+1则10一9 十 +n一Q口呀工一一一。 P。.’.P。·10P。一10尸。=丝+ 9n X 10“+立 9=些(z十,o+102+ U\…+10了一’)一竺曾里10P10 10.一1n xl呀)”+199P l729〔10+(gn一1).10“干‘〕最后答案为 l1458通2(gn一1)10”“一81n叮n+1)+20}上述题目和相同的解法,见于多种习题集。笔者认为,这题的题意不明确。上面解答中写出的通…     

“分解因式”解数值计算题

对于有些数值计算的竞赛题,“硬算”是不明智的,而使用因式分解法,往往能为解题找到十分简捷的途径.例1计算(2又5十2)(4只7+2)(6X9+2)(8Xll+2)(IX4一2)(3X6+2)(5X8十2)(7X10+2) (1996解注意到。(。+3)十2一二2+3。+2(1 994XI 997+2)(1 993XI 996+2)‘年北京市数学竞赛题) 一(九+1)(凡+2).这里n一1,2,3,…,1”4,这样原式可化为原式一(3 X4)(5只6)(7 XS)(9 X 10)…(1 995 X 1 996)(2 X3)(4 XS)(6 X7)(8 Xg)一(1 994 X 1 995)1 996998。4一1+ 0︸户1(一9 一z!+瑞+十、、,口了一、l尹4一i(s4一卜代沙一扣4一i+ 日J︸,土一2一r.‘一了…     

代数式(之四)

(3)(a+b)2是宝库从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个是可以从(a十b)2直接或间接地导出的,由此可见公式(a+b)2=a2+2ab+b2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,让a表示自然数n,让b表示1,它就变成 (n+1)2=n2+2n+1. 这是一个恒等式.当n取某一个具体的自然数时,它就变成一个具体的数字等式.例如当n取99时,就得到     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

巧求sum from i=1 to n j_3

艺{(1月一2十二,十i)己玉留1一〔1十2+·’·+(云一1)j三}二(l子2+…+时2︸rJ。(”+1) 自然数的立方和求法很多.本文给出一利,新领巧妙的方法.’.‘拌与云有相同奇偶性.故 可令,孟二占+t.i=“一t则一香‘(‘+1),‘一合‘(‘一‘) 云3=fZ·i二(‘+t)(s一t)=52一tZ王‘(‘+l)1‘一r乏*(:一、)‘」L‘“(l+2十…十i户一LI十2十一卜(‘一l)」2巧求sum from i=1 to n j_3@曹思江$湖南新化三中!417600~~     

30分钟“智力自测”

1.已知:关于x的方程3二一1~o的解与sx+2一O相同,则a则(2,若x一2 5的相反数的倒数是一3,则x一3.若关于x的方程m(x一m)+n(x+动~o有无穷多个解,(A)m一n一O,(B,m+n一。‘C,臀=0(D)”扮理一0方程}鲁阵1的解是 fQ}.若粤。2‘二‘。5与一4a“。3犷 [是同类项,则2 001十丫一 6.若m是负整数且Zx一1活O,则关于x的方程!Zx一1}一m一2一O的解是x- 7.若二(5x+1)一b(3尹十1)一。是关于x的一元一次方程,且x有惟一解,则x~ 8.已知(l kl一1)扩一(k+l)x+6一0是关于x的一元一次方程,求代数式200(Zk十工)(x一k)十2j走!的值. ,.关于x的方程(2一b)(二一1)一O的…     

第33届IMO第1题的一种解法

因为4镇m相似文献   

解题要胸有目标——从一道题目的解法谈起

老师布置给初一(5)班同学一道题目: 求云正:四个连续自然数的积与1的和一定是一个完全平方数. 同学们设四个连续自然数为二,二十1,二一+2,二十3. 小梅的解法是乞 了(x+1)(x+2)(及+3)十1 一〔r“+了)(才“十5￡十6)十1 一‘x“+x)(x之+‘r+哇x+6)+1 ‘一(xZ+劣)“+(4x十6)(了2+x)+1. 无法做下去了. 小清的解法是: 了(工+1)(沈、+2)(工+3)+1 一了(2,+2)(沈·+1)(必+3)十1 一‘劣“十2了)(了2+4才十3)十i 一〔二2+4二一卜3一(2二十3)](,一“+4二+3)+1 一(了2十4x+3)’一(2主+3)(犷2+4x+3)+1. 到此,小清也做不下去了. 小华的解法是: x(x+1)(x+2…     

一九八○年合肥市、淮南市中学生数学竞赛试题及参考解答

一、证明等式:ina。inZa。in3a=0.8对a为任何值都不成立 证明:‘.’。ina。in3q=士(eo、Za一eo、4a) 则。ina,inZ a oin3a=含、inZa(eo公Za一eo;4a) =去。云n4a一士。inZ a eoo4a<十+士=0.75 .’.,iu a oinZ a oin3a== 0.8对a为任何值都不成立1)一l)二、求证:(23一1)(23+1)(33一1)(3”+1)(43(4“+(n3一1)(刀3+1) 2:二一. 3”2+n+1刀(n+1)其中。是大于1的自然数证明:,.’(n+l),一(n+1)+1二nZ+儿+1.’.左式_(2一1)(3一1)(4一1)··一(n一1)(22+2+i)(32+3+z)一(2+1)(3+i)(4+i)……(n+l)(22一2+1)(3“一3+i)_]·2·3……(n一1)(2:+2+1)(32+3…     

因式分解中考题练习(配合北师大版)

)(xy一3). 2.902士+4b枯()2. 3.若a、b互为相反数.则a(x一即卜b(2y一)的值是__. 4.若1一xk=(l+x2)(l+x)(-一),则k=_. 5。在一个半径为12.75 cm的圆内剪去一个半径为7.25 cm的圆,则 剩下的面积是 6.如果(;n+n)(m一n)2+Zmn(m+n)=M(m+n),则M=_. 7.如果梦十加+b2一6b+1O=0,则二_,b=_. 8.下列式子中,包含(b、)这个因式的是(). ①a(b一e)+e一b②a(b一e)一6一e ③。(a+b)一a(,e)④。(b+e)一b(b+c) A.①和②B.除②以外C.②和③D.除④以外 ,.已知x+y=l声)二一50,则x分+x尹的值为(). A一50 B.50 C.0 D.l 1众若49+k,+10Q‘2可以分解为(l价+7)2,那…     

初二下数学期末检测题

一、填空题(本大题14个小题,每小题2分,共28分) 1.9的平方根是_、算术平方根是_、一8的立方根是; 2.了万一3的绝对值是、倒数是;个;5.已知a<一6,则化简}33.当a为时,4.一丫万,杯万了4一3a十2有意义;6.在实数范围内分解因式m‘一6m2十97.写出二个与檐是同类的二次根式的,0 .28,0.33333…,根式为了丁 2计算(1)(了万+丫一丁)(丫厄一一丫万)亚36 .32,抓了I,护了这些数中,无理数有(2)(2+丫万一)(2一了了)-(3)(,厂面十3)(口厂面一3)一,通过以上三个式子的计算,观察规律,试用含n(n为自然数)表示两个二次根式的积等于上面结果的等式是; 9.若n边形有…     

数的巧算三例

例1计算3819+2246一1576一3219+1 573一2 843. 分析式中正的三个数与负的三个数的个位数字都是3、6、9,十位数字都是1、4、7,百位数字都是2、5、8,千位数字都是1、2、3,它们的代数和当然为。,即原式一0. 例2一个六位数,左边开始的数字为1,若把l从最左边移到最右边,则新数是厚数的3倍,求原数· 分析设l右边的五位数为x,依题意,得 IOx+1=3(105+x).解之,得x=42 857. 故所求的原数为142 857. 例3若1 512乘以正整数a,得到一个平方数,求最小的a和这个平方数. 分析由1512=23火3,又7知,当a=2x3x7=42时,有1 512 Xa=24 X 34 X 72二(22 X 32 x7)2=25…