建构二次方程巧解数学赛题

一元二次方程历来是初中数学竞赛的重点和热点，利用建构一元二次方程的思想解决相关问题的命题，可以说备受命题者的青睐，因而这类赛题在各级各类数学竞赛中频频出现．它的应用之广，作用之妙，常常令人叫绝．本文结合具体竞赛试题，分类介绍建构一元二次方程解数学竞赛试题的若干应用。     

一道高中数学联赛加试题之“源”与再推广

一、赛题与“源” 赛题：设正数a,b,c,x,y,z满足cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c,求函数f（x,y,z）=x^2/1＋x ＋ y^2/1＋y ＋ z^2/1＋z的最小值。     

一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

赛题推广

2013年浙江省高中数学竞赛试题第18题：     

合理分类 巧解赛题

“分类”是常用的解题策略之一。在解答某些较复杂的小学数学竞赛题时,有的可根据题意,按照一定的规则,把有关的条件分成若干类,照此分类进行解答,这样不但条理清楚,而且不易出错。下面举例说明之。     

2005年高中数学联赛加试题二之“源”与再推广

1 赛题与"源" 赛题 (2005年全国高中数学联赛加试题第二题)设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=x2/(1+x)+y2/(1+y)+z2/(1+z)的最小值.     

捕捉特殊信息巧解数学赛题

在解某些数学竞赛题时,题中所提供的特殊信息(如结构、数量、图形等)往往暗示着解题的方向,善于把握这些特征,并与我们记忆中储存的相关信息相互碰撞,进而激发思维灵感,促使问题迅速有效地解决.     

数学联赛试题巧解四例

本文给出 2 0 0 3年全国高中数学联赛 4道试题的巧妙解答 ,供参考一、巧用无穷递减等比数列之和公式例 1　已知x、y都在区间 (-2 ,2 )内 ,且xy=-1 ,则函数u =44-x2 99-y2 的最小值是 (　　 )(A) 85　　 (B) 2 41 1 　　 (C) 1 27　　 (D) 1 25解　由x、y∈ (-2 ,2 )知x24<1 ,     

一道平面几何赛题的思考

题目如图1,四边形ABCD内接于圆,P是AB的中点,PE⊥AD,PF⊥BC,PG⊥CD,M是线段PG和EF的交点,求证:ME=MF.(2006年江西南昌市高中数学联赛题)     

一道几何赛题的简证与启示

2007年南昌市高中数学竞赛的一道几何试题是:如图1,ABCD,BCFE皆为直角梯形,其中,DC∥AB,CF∥BE,BC⊥AB,EF⊥BE,A,E,D,F在一直线上,P是     

利用判别式，巧解联赛题

若一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的判别式△=b^2-4ac≥0,则方程有两个实根,反之也成立,利用此结论可解决一些联赛试题．     

多角度构造 巧解向量赛题

2010年北京市中学生数学竞赛初赛有这样一道平面向量试题：     

一道名赛题产生的系列经典赛题的统一简证

题设a,b,c∈R^＋，求证a/b＋c＋b/c＋a＋c/a＋b≥3/2.此题是著名的shapiro猜想，又是1963年第26届莫斯科数学竞赛试题中的一道脍炙人口的不等式证明题．     

构造函数解赛题

1．构造一次函数 例1 设x,y,z∈（0,1）,求证： x（1-y）＋y（1-z）＋z（1-x）〈1．     

一道高中联赛题的讨论

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题的第一题是 :如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值。对于这一道试题 ,命题组针对图 1 (∠Ｃ为锐角的情形 )给出的参考答案中的解题思路是 ,在ＢＥ上取ＢＫ =ＣＨ(目的显然是将ＭＨ +ＮＨ转化为ＫＨ) ,然后证明Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 (注意到∠ＢＨＣ=∠ＢＯＣ =1 2 0° ,这很容易证明 ) ,从而推出∠ＯＢＨ =∠ＯＣＨ ,再证明△ＢＯＫ≌△ＣＯＨ(两边夹一角分别相等 ) ,从而推…     

构造函数解赛题

例1如果cos5θ-sin5θ〈7（sin3θ-cos3θ）,θ∈[0,2π）那么θ的取值范围是——．     

运用图形巧解向量题

向量具有数与形的双重性,其以数解形的功能--运用向量的意识,已受到人们的普遍重视.而以形助数,有时可以简化运算,使向量问题得以快速解决.鉴于此,笔者试举几例,权作引玉之砖.     

从一道赛题谈二次函数在闭区间上的最值

二次函数是中学数学的重点内容，由于它能很好地考查学生的数学思想、方法和培养学生的数学思维能力，所以在高考和竞赛试题中经常出现．如2000年全国高中数学联赛(14)题：     

两道数学联赛题的另解

题1:(2007年高中数学联赛江西省预赛第12题)将各位数码不大于3的全体正整数n按自小到大的顺序排成一个数列{a_n},则a_(2007)=解:简称这种数为"好数",则一位好数有3个;两位好数有3×4=12个;三位好数有3×4~2=48个;…,k位好数有3×4~(k-1)个,k=1,2,….记S_n=3∑_(k=1)~n 4~(k-1),因S_5<2007相似文献