巧用构图法解题

[题目]如图1所示,AF=2FB,FD=2EF,直角三角形ABC的面积是36平方厘米,求平行四边形BCDE的面积。[一般解法]如图2所示,连接BD,设△FEB的面积为S,由FD=2EF可知,S△FBD=2S△FEB=2S。同理由AF=2FB可知,S△AFD=2S△FBD=4S,又S△BCD=S△DBE=S△FEB S△FBD=S 2S=3S,所以S△ABD=S△AFD S△FBD S△BCD=4S 2S 3S=9S。由直角三角形ABC的面积为36平方厘米可知,9S=36,则S=4。因为平行四边形BCDE的面积等于三角形BCD面积的2倍,即6S,所以平行四边形BCDE的面积为     

巧用四边形性质 妙解一类问题

下面来看四边形一个性质: 如图1,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,设S△AOD=S1,S△BOC=S2,S△AOB=S3,S△OOD=S4,则有如下结论: S1S2=S3S4. 证明:因为S1/S3=OD/OB=S4/S2,     

2002年天津市中考数学一试题的探索

题目 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O .若S△AOB=4 ,S△COD=9,则S四边形ABCD的最小值为 (　　 ) .(A) 2 1　 (B) 2 5　 (C) 2 6　 (D) 36我们给出如下解法 ,对试题与解法进行探索 .图 1解 :如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE =h2 ,BD =a ,OD =x .那么 ,OB =a -x .由已知条件可得12 (a -x)h1=S△AOB=4 ,12 xh2 =S△COD=9.从而 ,h1=8a -x,h2 =1 8x.①又S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+1 3.于是 ,求四边形ABCD面积的最小值问题转化为求y =S△BOC+…     

两道“希望杯”赛题的多种解法

例1 (第14届"希望杯"全国初一数学邀请赛第一试试题)如图1,△ABC的面积为25cm2,AE=ED,BD=2DC,则阴影部分的面积为____cm2,四边形CDEF的面积为____cm2. 解法一:如图2,连结DF. 设S△DEB=m,S△AEF=n. 因为AE=ED, 所以S△DEB=S△AEB=m, S△DEB=S△AEF=n.     

对2002年天津市中考数学一试题的分析

20 0 2年天津市中考试卷第一题的第 1 0小题为 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ,若S△AOB =4 ,S△COD =9,则四边形ABCD的面积S四边形ABCD 的最小值为A 2 1　B 2 5　C 2 6　D 36图 1我们给出如下解法 ,对试题给出分析与评价 .解　如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE=h2 ,BD=a ,OD=x ,则OB=a -x .由已知条件可得12 (a-x)h1=S△AOB =4 ,12 xh2 =S△COD =9.从而 ,h1=8a-x,h2 =1 8x. ( 1 )又S四边形ABCD =S△AOB S△COD S△BOC S△AOD =S△BOC S△AOD 1 3.于是 ,求四边形…     

巧用“面积”比较力矩的大小

一、“面积”与力矩大小的关系如图 1所示 ,一轻杆 B端受拉力 F作用 ,轻杆可绕 O点转动 ,设力 F的力臂为 l,所以力F的力矩 M=Fl.连接 OF,点 O、F、B组成一个△OFB,如图 2所示 .由图 2可知 :力 F的力臂 l是该△OFB以力 F为底的高 .设△OFB的面积为 S,所以力 F的力矩大小 Fl=2 S.由上述推导结果可知 :力 F的力矩大小是力 F的图示的箭头和箭尾与转动轴 O所组成的三角形“面积”的 2倍 .所以 ,比较力矩大小时 ,可通过比较该力 F的图示的箭头和箭尾与转动轴O所组成的三角形的“面积”.“面积”大 ,力矩就大 ;“面积”小 ,力矩就小 .…     

用共底或等高三角形面积比的性质解有关面积问题

几何面积计算题是数学竞赛中的热点问题之一 .由于初一年级同学掌握的几何知识较少 ,解这类问题的难度较大 .下面我们先给出关于等高三角形或共底三角形面积比的两个性质 ,我们将看到 ,恰当地运用这两个性质建立方程或方程组 ,这类问题也不难解决 .性质 1　如图 1,△ ABD、△ ACD与△ ABC存在公共高 AH ,则由S△ =12 ×底×高 ,有S△ AB D∶ S△ ACD =BD∶ CD;S△ AB D∶ S△ AB C=BD∶ BC;S△ AC D∶ S△ A BC =CD∶ BC.这个性质可简述为等高三角形面积比等于底边的比 .图 1图 2性质 2　如图 2 ,在△ ABC中 ,点 D为 …     

利用边的变换解三角形的问题

在△ABC中,记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,设a=y z,b=z x,c=x y.(＊)则x、y、z的几何意义如图1所示.又记三角形的半周长为P,面积为S,内切圆与外接圆半径分别为r、R,易知     

平分三角形面积的直线的方程

本文介绍一个求平分三角形面积的直线方程的方法.首先证明一个定理: 若点M在△ABC的边BA上,定比λ=BM/MA满足0≤λ≤1,那么过点M且平分△ABC面积的直线l分CA于定比1-λ/1+λ的点N处.如图1,连接MC,并设S△ABC=S,S△BMC=S1,S△AMN=S2,S△MCN=S3.由题意有:S2=S/2.因为BM/MA=λ,所以AB/BM=1+λ/λ图 1又因为△BMC与△BAC等高,     

巧用全等三角形面积相等解几何题

CHBDGA图2全等三角形是能完全重合的两个图形,因此,全等三角形的面积相等.巧用这一结论,可顺利地解答一些几何题.例1如图1,正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的中心O重合,且它们的边长相等,都为a.若四边形OEBF的面积为16,求a的值.解:在正方形ABCD中,∵O是对角线的交点,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,S△OBC=14SABCD=14a2.∵∠EOP=∠EOB+∠BOF,∠BOC=∠FOC+∠BOF,又∵∠EOP=∠BOC=90°,∴∠EOB=∠FOC.又∵∠EOP=∠BOC=90°,∴△EOB≌△FOC.∴S△EOB=S△FOC.∴S△OBC=SOEBF.∴14a2=16,a=8.例2如图2,在四边…     

用“差不变性质”解几何题

如果被减数和减数都增加(或减少)同一个数,那么它们的差不变。运用这一“差不变性质”可以巧妙地解答一些几何题。例1如图1所示,∠AOB=900,C为AB弧的中点,已知阴影甲的面积为16平方厘米,阴影乙的面积是多少平方厘米?(2001年小学数奥决赛A卷)分析与解:运用“差不变性质”有S甲-S乙=S(甲+丙)-S(乙+丙)=S小半圆-18S大圆=12πr2-18π(2r)2=12πr2-18π4r2=12πr2-12πr2=0。即S甲=S乙=16平方厘米。例2如图2所示,四边形ABCD为长方形,BC=15厘米,CD=8厘米,△ABF的面积比△DEF的面积大30平方厘米,求DE的长。(第三届小学数学报竞赛试题)…     

一个梯形定理帮你解竞赛题

定理如图1,在梯形ABCD中,AD刀CB,过C与BD交于O,设△AOD一S,,△B次二二S:,△AOB~△COD~53.则 S彗=S,S:. __~、‘__,:______.,S, 事实上,△AOD与△CO力等高,故升~ 甲一一’~“一一J~一一一、J’,’~凡同时,鬓一豁,又AD、BC知,豁一箫O一0A一C寻即S支~S,52.口3凡一又 故 例1.(首届希望杯备选题)如图2,刀五为△ABC中位线,△BO(〕与△IX)E面积分别为3和2,则△ABC面积是(). C刁八一\、一2 /一月气‘一图 井︸ C盈 刀(A)(C) 图I5,_了又匕十了万). (D)(B)音(5+2汀)·以上都不对.1矛 9曰 由定理,51~月/万,知应选(B). 例2.(1…     

与梯形面积有关的几个结论

探索:如图1,将梯形ABCD沿它的两条对角线剪开,得四个小三角形.这四个三角形之间、它们与梯形之间有着怎样的联系? 发现一:在梯形ABCD中,AB∥CD, 得S△ABC=S△ABC. 而S△ABC-S△ABO=S△ABD-S△ABO, 有S△BCO=S△ADO. 发现二:利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比,DO/BO=S△CDO/A△CBO=S△ADO/S△ABO.不妨设S△CBO=S△ADO=x,     

一道习题的探究、推广与应用

题目:如图1,任意四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形:△OAD、△OBC、△OAB、△OCD,它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,则S1·S2=S3·S4.证明:设△OAD边AO上的高为h1,△OAB边OA上的高为h2,则     

多姿的梯形面积公式

梯彤的面积S=1/2(上底+下底)×高,是大家都知道的,本文介绍另几种计算方法,并举例说明它的应用,供读者参考. 定理1 已知ABCD是梯形,AB//CD,E是BC中点,EF ⊥DA,F是垂足,则梯形ABCD的面积S=AD·EF. 证明:如图1所示,经过C作CG//DA交AB于G,交EF于H,连结EG,则AGCD是平行四边形,CG=DA,其面积S1=AD.FH.因为E是BC中点,所以△CBG的高是△CEG的高的2倍,而它们共底CG,所以S△BcG=2S△EGc,故梯形ABCD的面积S=S1+ S△BCG=AD· FH+2S△EGC=AD·FH+CG· HE=AD· FH+AD· HE=AD(FH+HE)=AD.EF.     

三角形面积公式在几何证题中的巧用

三角形面积公式S△=21ah是同学们熟知的,由于同学们对它理解不深,觉得它的用处不大.如果在理解它的基础上,将它的一些性质与平面几何的有关知识“串联”起来解决几何问题,就显得简捷巧妙,省时省力.举例应用如下:例1已知,如图1,在△ABC中,DE∥BC,AF为BC边上的中线,且交DE于G.求证:DG=EG.图1分析点F为中点,易知S△ABF=S△ACF,DE∥BC,连结DF,EF,则S△ADF=S△AEF,联想到作高.证明连结DF,EF,分别过D,E作DN⊥AF,EM⊥AF.因为AF为BC上的中点,所以S△AFB=S△AFC.因为DE∥BC,所以S△DFB=S△EFC.所以S△AFD=S△AFE…     

不作辅助线求解更简捷

“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S…     

梯形面积与其内三角形面积之关系

图1所示,梯形ABCD中,AB//刀C,对计算中,数例。 例1这两个等式有着巧妙的应用,现举角线AC、BD相交于点O。设△AOB的面积为g,,△DOC的面积为S:,△AOD的面积为S。,梯渗姓刀C刀的面积为s,则有结右论:图乞所示凡/勺 1 .5。二、/S,·52; 2 .5钊召反王+召叉)’ 证明:显知,△BOC的面积也是S。. 二ODS。52 ’OB一51一S。 …:急一s,·52即s。一心盯‘了卜且二盗二(S,+52)=25。二2扩瓦舌{, :.5=s,十52十2扩乖奋二(召盯+斌瓦)’· 上述的二个等式是多么协调、美观.在一类有关梯形对角线所分得的三角形面积的梯形月刀CD的对角纹相交于0,…     

对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用

性质:对角线互相垂直的任意四边形性质的面积等于两条对角线乘积的一半.如图1:在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC⊥BD,垂足为P,则:四边形ABCD的面积=1/2AC×BD证明:因为AC⊥BD,所以S△ACD=1/2AC×DP,S△ACB=1/2AC×BP.因为四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB.     

利用圆的几何性质解决三类问题

在解决某些数学问题时,若能恰当地利用圆的几何性质,则将有事半功倍的效果.例1如图1所示,在△ABC中,∠ACB=60°,中线AD=2,则△ABC面积的最大值是__.