也谈《联想 引申 应用》中的一个命题证明

<正>盖仕广、钱德春于《联想引申应用》[1]提出了这样一个命题:图1命题如图1,如果一次函数y=ax+b(a≠0)的图像与x轴、y轴相交于A、B,与反比例函数y=k x的图像相交于P1、P2两点,则有AP1=BP2.文[1]就命题的证明采用了代数运算法和数形结合两种方法,并提出了反比例     

一个命题的引申

汪江松等著《几何明珠》的第 4 6页有一题很奇巧 :已知Ｅ、Ｆ为△ＡＢＣ边ＡＢ上的点 ,且ＡＥ∶ＥＦ∶ＦＢ =1∶2∶3,中线ＡＤ被ＣＥ、ＣＦ截得的三条线段ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ .求ｘ∶ｙ∶ｚ .结果是ｘ∶ｙ∶ｚ =6∶8∶7.由此引申 ,得命题 1　如图 ,设ＣＤ∶ＣＢ =λ(定值 ) ,Ｄｉ- 1Ｄｉ=ｄｉ,Ｂｉ- 1Ｂｉ=ｂｉ(ｉ=1 ,… ,ｎ) ,则(1 )若存在数列 {ｃｎ}与{ａｎ} ,使得当ｄｉ=ｃｉＡＤ时 ,ｂｉ=ａｉＡＢ ,则当ｂｉ=ｃｉＡＢ时 ,ｄｉ=ａｉＡＤ(ｉ=1 ,… ,ｎ) .(2 )当ｄｉ=1ｎＡＤ(ｉ=1 ,… ,ｎ) ,且λ =12 时 ,1° ＢＢｉＡＢ =2ｉｎ…     

从一个有趣的实验谈起

机械能守恒定律可以一个小球在竖直平面内的光滑槽轨上运动来验证，从培养学生的发散思维出发，假想这个圆形槽轨有一缺口，通过分析小球的运动轨迹，得出小球越过缺口的条件，根据得出的结论，反过来再实验以培养了学生的动手能力。     

从双曲线的一个命题谈起

命题1设双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的两焦点为F_1(-c,0),F_2(c,0),点P为双曲线右支上除顶点外的任意一点,∠PF_1F_2=α,∠PF_2F_1=β,则tanα/2cotβ/2=(c-a)/(c a)(*)这个命题经常作为一道解析几何习题出现,证明时往往是利用双曲线的定义、正弦定理及三角函数中有关和角公式与和差化积等知识来进行的,过程比较复杂,这里从略.     

从一个命题的证明谈起

20世纪初,在研究几何基础的过程中,为了显示直觉在几何证明中的不合理性,人们引入了一个悖论：     

从正多边形一个有趣的性质谈起

正三角形有一个有趣的性质,也许不少老师相同学不曾注意到它。这就是:【命题1】设△ABC是边长为a的正三角形。l是和△ABC在同一平面上的直线。自     

抛物线的一个有趣性质的引申及应用

《中学数学杂志》2005年第2期《新发现圆锥曲线的一个性质》一文(下称文[1])中,姜坤崇老师给出了抛物线的一个有趣性质.本文对文[1]的性质给予引申并提出过抛物线上一点的切线的一个新作法.为方便起见,先摘录文[1]的性质.性质1[1]给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,过y轴上一点M(0,m)(m≠0)引直线交C于P、Q两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率,则kOP+kOQ为定值2mp.1该性质的几个引申引申1给定抛物线C:y2=2px(p>0),O是顶点,P、Q为抛物线上两点,记kOP,kOQ分别为直线OP、OQ的斜率.若kOP+kOQ为定值K(K≠0),则直线PQ必与y轴相交…     

抛物线的一个有趣性质的引申及应用

<中学数学杂志>2005年第2期<新发现圆锥曲线的一个性质>一文(下称文[1])中,姜坤崇老师给出了抛物线的一个有趣性质. 本文对文[1]的性质给予引申并提出过抛物线上一点的切线的一个新作法. 为方便起见,先摘录文[1]的性质.     

一个有趣的平几命题及应用

究竟是什么使我们感到一个结果和一个证明是精美的呢?它就是不同部分之间的和谐,它们的对称性,它们的美好的平衡……——(法国大数学家)庞加莱     

有心圆锥曲线一个有趣性质的引申

文[1]给出了椭圆与双曲线如下一个有趣的性质.性质1给定椭圆C:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0),A(?a,0)(或A(a,0))是长轴的左(或右)顶点,M(?a,m)(或M(a,m))(m≠0)是定直线L:x=?a(或x=a)上的一定点,过M引直线交C于点P、Q两点,则k AP kAQ为定值2b2/(am)(或?2b2/(am)).性质2给定双曲线C:x2/a     

一个否命题的制作——从一道考试题谈起

有一道这样的试题——原命题:末位数字是数字或5的整数,能被5整除;它的否命题是( )。这道题简单似看,却颇有一定的深度,对初中学生来讲是要求较高的一道题。对这道题,考生的答案绝大多数是:末位数字不是0或5的整数,不能被5整除。连标准答案上也是如此回答的,很多老师也坚持认为这是一个正确答案。可见这是一种很有代表性的错误。问题主要就出在原命题题设中的“或”上。用字母来表示,其一般形式是:若A_1或A_2,则B。这里只要A_1、A_2中有一个成立,则B也成立。下面我们来证明“若(?)或(?),则(?)”不是原命题     

从联想谈起

由一事物想到另一事物,就是联想。数学中也常有联想,如由一个概念想起另一个概念,由一个问题想起另一个问题,由一个结论想起另一个结论,等等。通过联想,可以发现数学知识间的内在关系,或将同类数学知识联系起来,或联系不同种类的数学知识。所以,联想可以锻练思维能力,发展想象力;联想可以发掘学习内容的多方内在联系,是进行学习的好方法;联想也是进行记     

精通的目的在于应用——从高考数学命题谈起

对一个人数学水平的评价,虽要看其所掌握的数学知识的多少,更要看其运用数学知识解决问题的能力。数学高考命题从1993年开始连续三年考查了联系生产和生活实际的应用题。这不但发挥了数学在解决实际问题中的作用,而且提高了学生学习数学的兴趣。更重要的是它支持和引导中学数学教学应从学生所熟悉的生产、生活和其它学科的实际发出,抽象出数学概念和规律,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,并逐步把数学知识应用到生产和生活实际中,形成应用数学的意识。本文主要谈应用性问题的解题思想、能力要求。     

一个有趣三角形系命题的别证

“如果给定实数m与n，且n≠0，4m-n~2＞0，那末对于任意实数x，存在三边长为4x~2 4m n~2的三角形，它的面积与x无关”．对于这个命题，本刊92年第二期王敦明老师运用解几知识，给出了一个构造性证明．本文利用海伦公式的一个变式，给出易为初中学生接受的简单证法．证首先导出海伦公式的一个变式．设a、b、c是三角形的三边长，由海伦公式可得如果三角形的三边为再把（2）、（3）代入（1）式得：所以这样的三角形的面积与x无关．“如果给定实数m与n，且n≠0，4m-n~2＞0，那末对于任意实数x，存在三边长为4x~2 4m n~2的三角形，它的面积与x无…     

一个关于全等三角形的有趣命题

两个大的全等三角形，把其中一个划分成两个小的三角形，一个涂成红色，另一个涂成蓝色；对另一个大三角形也同样处理。今问：若两个红色三角形全等，一定能保证两个蓝色三角形也全等吗？     

联想和词义的引申

多义词都有本义和引申义,引申义是从本义中衍生出来的。 本义为什么能衍生出引申义呢?这是由词义的特性决定的。 词义是人脑对客观现实特征的反映,这种反映并不是像摄像机那样把客观现实的特征如实地拍摄下来,而是抽象概括的反映,因而词义都具有模糊性;词义的这种特性使词义富有弹性而能伸张,人们可以很方便地拓宽词的用法,即用原本表示甲客观现实特征的词用于乙客观现实。如“口”本指人嘴,后来也指动物的嘴,容器通外面的地方也称为“口”,甚至供出入的地方,裂开的缝隙也都用“口”表示。这样,“口”就产生诸多引申义,成了多义词。     

从同步卫星引申出的一个设想

众所周知,地球赤道上空的同步卫星之所以看起来"静止不动",是因为其运行角速度与地球的自转角速度相同,而且其运行所需的向心力又和地球引力相等,即     

从一个猜想谈起

杨克昌同志在文[1]中曾提出如下的猜想：设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a、b、c所对角的内角平分线的长，则是否成立如下的不等式亦即不等式是否成立．我们说（1）不成立，即（1'）不成立．比如取等腰三角形a＝b＝l，则利用内角平分线长以及三角形面积公式可得容易看出，当c充分小时（比如取c＝0.01）所以猜想（1）不成立，那么是否可以调整一下，仍有类似的不等式成立呢？回答是肯定的，亦即定理设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a，b，c所对角的内角平分线的长，若△ABC的外接圆与内切圆半径分别是R和r，则有证…     

从一个练习题谈起

<正> 初语第五册《事事关心》文后有一个练习题:“辨别句子。是单句的划出主语、谓语,是复句的指出分句间关系。”其中一句是:“既要努力读书,又要关心政治,这是非常明白的道理。”结论是单句,但如何划分句子成分呢?教参书上的答案为:既要努力读书,又要关心政治,这是非常明白的道理。即认