第64届IMO试题解答

<正>1.求所有满足下述条件的合数n>1:若n的所有正因子为d₁,d₂,…,d_k(1=d₁2<…k=n),则对每个1≤i≤k-2,均有d_i|(d_i+1+d_i+2).2.在锐角△ABC中,AB相似文献   

数学奥林匹克问题

<正>本期问题高769设整数n≥3,a₁,a₂,…,a_n均为非负实数,x₁,x₂,…,x_n均为正实数.若a₁+a₂+…+a_n=x₁+x₂+…+x_n=1,求最大的常数C,使得a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+Cx₁x₂…x_n≤1恒成立.高770如图1,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,E为BC上一点,点D关于E的对称点为K.过点C、D、E的圆与OC交于点F,DF交AC于点P,PK分别交AB、BC于点Q、T,过点A、P、Q的圆与⊙O的第二个交点为S.证明:S、K、E、T四点共圆.     

一个优美结论的深度推广

<正>一、结论的引出在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E:y²=2px(p> 0)和点H(3,4)．点Q在E上，且■.(1)求E的方程;(2)若过点H作两条直线l₁,l₂,l₁与E相交于A,B两点，l₂与E相交于C,D两点，线段AB,CD中点的连线的斜率为k，直线AB,CD,     

为什么直角三角板只有两种?

<正>从小学开始,我们就接触过直角三角板.众所周知,直角三角板只有两种,内角分别为45°,45°,90°和30°,60°,90°.为何只有这两种呢?本文试图给出一个解释.注意,这两种直角三角形具有以下两个共性(暂且先忽略直角的限制):(ⅰ)三边长之比满足l₁:l₂:l₃=d₁^1/2:d₂^1/2:d₃^1/2,…(1)其中d₁,d₂,d₃是正整数;     

关于有心圆锥曲线上有限点集重心的一个性质

<正>文[1]证明了下面的命题:命题1设G为平面有限点集?={A₁, A₂,···, A_n}的重心,则以G为中心的椭圆上的任一点到A₁, A₂,···, A_n距离的平方和与该点到椭圆两焦点距离的乘积的n倍之和为定值.本文研究与之相关的一个问题:若A₁, A₂,···, A_n是给定椭圆上的n个点,则点集?={A₁, A₂,···, A_n}的重心G有何性质?     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

一个二面角公式的推导与应用

立体几何教材中有这样一道习题:如图1,AB和平面α所成的角为θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设∠BAC=θ,则有cosθ₁ cosθ₂=cosθ.将其引申,得如下结论:命题AB和平面所成的角是θ₁,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′所成的角为θ₂,设二面角B-AC-B′为ψ,     

到三角形三顶点距离之和为定值的点存在的条件及轨迹

<正>我们知道,在平面内,到两个定点F₁、F₂距离的和是定值的动点轨迹是椭圆,其中,该定值大于F₁F₂.若将该问题进一步拓展,提出以下问题:在△ABC所在平面内,到点A、B、C距离之和是定值的动点轨迹是什么曲线?在知网文献的“全文”栏中输入检索条件“到三个定点的距离的和”,可以得到13篇文章,时间跨度为2001—2020年度.其中有1篇文章研究的是数轴上“到三个定点距离之和为定值的问题”^[1],     

对一道常见题的剖析

题目:从二面角P—MN—Q内点A,分别作AB⊥平面P,AC⊥平面Q(B、C为垂足)知AB=3cm,AC=1cm,∠BAC=60°,求:(1)二面角P—MN-Q的度数;(2)A到棱MN的距离.     

探索一类与圆锥曲线焦点弦有关的定值问题

<正>１案例呈现题目已知双曲线■的离心率是■过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点．设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d₁和d₂,且■(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点作直线l(与x轴不垂直)与曲线C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数λ,使得MN=λPB？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由．     

第62届IMO预选题(四)

<正>数论部分1.求所有的正整数n,使得存在正整数对(a,b),满足不存在一个素数的立方整除a²+b+3,且ab+3b+8/a²+b+3=n.2.本届IMO第1题.3.求满足下述性质的所有正整数n:存在n的所有正因数的一个排列(d₁,d₂,…d_k),使得对于每个i=1,2,…,k,均有d₁+d₂+…+d_i是一个完全平方数.     

一道波兰平面几何赛题的多种证法

<正>2022年波兰数学奥林匹克竞赛中的平面几何题为:给定圆内接四边形ABCD,其外接圆圆心在四边形ABCD的内部,对角线AC与BD交于点S,边AD,BC的中点分别为P,Q,过点P作与AC垂直的直线l_P,过点Q作与BD垂直的直线l_Q,过点S作与CD垂直的直线l_s,求证:l_P,l_Q,l_S三线共点。证法1:如图1,设l_P与AC,AB分别交于点E,G,l_Q与BD交于点F,l_P与l_Q交于点M。联结EF,联结MS并延长交CD于点N。     

一道有用的中考题

题目（2011年贵州省贵阳市中考第24题）[阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）为端点的线段中点坐标为（（x₁+x₂）/2,（y₁+y₂）/2）.     

动中探定 以定制动——一道2022年福建省高三质检题的探究

<正>1试题呈现(2022年福建省高三诊断性测试第11题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为棱AB,CC₁,C₁D₁的中点,Q∈平面MNP,B₁Q=AB,直线B1Q和直线MN所成角为θ,则()．A.MN∥AC₁B.θ的最小值为■.A,M,N,P四点共面D.PQ∥平面ACD₁2试题分析本题以正方体为载体,考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,线线所成的角、动点的轨迹问题等基础知识;     

基于Dandelin双球模型对一道高三调研试题的溯源探究

1试题呈现试题(2023届广州高三年级调研测试B卷第16题)如图1,是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O₁,球O₂的半径分别为4和2,球心距离■,截面分别与球O₁,球O₂相切于点E,F (E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于___.     

第52届IMO预选题(四)

数论部分1.对于任意正整数d,f（d）是满足恰有d个正因数的最小的正整数（如f（1）=1,f（5）=16,f（6）=12）.证明:对于每个非负整数k,均有f（2^k）|f(2^k+1).2.考虑多项式P（x）=（x+d₁）（x+d₂）…（x+d₉）,其中,d₁,d₂,…,d₉是9个不同的整数.证明:存在整数N,使得对于所有的整数x≥N,均有P（x）能被一个大于20的质数整除3.设n是正奇数.求所有函数f:Z→Z,使得对所有整数x、y均有     

离子浓度的大小比较

因为EF //AB,所以EF∥面ABCD. 所以点E、F到面ABCD的距离相等. 因为F为PD中点,PA⊥底面ABCD, 所以点F到面ABCD的距离为1/2PA=1, 所以点E到面ABCD的距离d=1. 因为VE-ABC =VC-ABE, 所以1/3d·S△ABC=1/3CH·S△ABE,CH=√2. 又AC=2√5,所以sin∠CAH=CH/AC=√10/10. 故直线AC与面ABEF所成角的正弦值为√10/10.     

一个高考定值问题的推广及条件探究

题目在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C₁:2x²-y²=1,（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点,若l与圆x²+y²=1相切,求证:OP⊥OQ;（3）设椭圆C₂:4x²+y²=1,若M,N分别是C₁,C₂     

三角形内角和定理引入内容的解读与设计

苏科版初中数学教材在三角形内角和定理的引入过程中,呈现以下“议一议”内容:如图,在△ABC的边AC所在的直线绕点A按逆时针方向旋转的过程中,直线AC与边BC的延长线分别变于点C₁、C₂、C₃……（1）在上述过程中,哪些角的大小发生了变化?（2）度量∠BAC与∠ACB,并求它们的和:度量∠BAC₁与∠AC₁B、∠BAC₂与∠AC₂B、∠BAC₁与∠AC,B……并分别度量它们的和,你发现了什么?（3）当直线AC绕点A旋转到AC′,使AC′∥BC     

2013年高考数学安徽理科卷第18题的拓广探究

题目（2013年高考安徽卷·理18）已知椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（Ⅱ）设F₁,F₂分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F₂P交y轴于点Q,并且F₁P⊥F₁Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.该题立意朴实,耐人寻味,着重考查学生解决解析几何问题的基本思维方法.通过仔细研究,我们发现该题有"潜力可挖",为了能更清楚地理解问题