第36届中国数学奥林匹克

1.设数列{zn}(n≥1)的奇数项均为实数,偶数项均为纯虚数,且对于任意的正整数k,均有|zkzk+1 |=2k.对正整数n,记 fn=|z1+z2+…+zn|. 求:(1)f2 020的最小可能值; (2)f2 020 f2 021的最小可能值. (何忆捷供题) 2.给定整数m＞1.求最小正整数n,使得对于任意的整...     

方程(αx~m-1)/(αx-1)=y~n的正整数解

设a,m是大于1的正数.证明了:当m>2时,方程(αxm-1)/(αx-1)=yn仅有有限多组正整数解(x,y,n)适合min(x,y,n)>1,而且这些解都满足yn<2xm-1≤2αm2-3m+2.     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

第63届IMO预选题(一)

<正>代数部分1.已知正实数列{a_n}满足对于任意的正整数n,均有a_n+1²+a_na_n+2≤a_n+a_n+2.证明:a_{2 022}≤1.2.设正整数k≥2.求最小的正整数n≥k+1,满足下述性质:存在由n个不同实数构成的集合,使得这个集合中的每个元素都是此集合中另外k个不同元素的和.     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 31　已知无穷数列 {an}的各项都是正整数 ,且其中任何连续若干项之和都不等于 1 0 0 .试求max{an,n∈N}的最小值 .(张延卫　江苏省宿迁市教育局 ,2 2 380 0 )初 1 32　试求出所有这样的实数k,使得关于x的方程 12 +k2 x2 + ( 2 +k)x -54( 2 + 1 )k =0的两个根都是有理数 .高 1 31　已知函数f(n)是定义在N+ 上的严格增函数 ,其值域也在N+ 之中 ,且满足f(f(n) ) =3n .求f( 2 0 0 3) .高 1 32　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .( 1 )若确保图形中出现以给定点…     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

关于平方根的十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2+n+k)~(1/2).证明了:当n≥5k-1时,d(n,k)=5.     

数学竞赛问题(13)

482.设k是一个给定的实数,试求出所有的实数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x2?y2?f(?k))=xf(x)?yf(y)+k.483.求出所有的整数对(x,y),使得x3?y3?x2y+xy2+1002x2?1002y2?3x+3y=2004.注本题于2004年7月提出并解答于江苏省扬中市.484.设k是一个给定的实数,x和y是实数,且2x2+2y2?5xy+x+y+k=0,试求x+y,xy,x2+y2及x2+y2?xy这四个数的取值范围(值域).485.求出适合于(y?2)x2+yx+2y=0的所有整数对(x,y).486.求出所有的整数n,使得20n+2整除2003n+2002.487.(1)设k是一个给定的实数,试求出所有的函数f:R→R,使得对于任何的x,y∈R,都有f(x3?y3+k)=…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.     

如何由sinα+cosα的值判断α的范围

在直角坐标系xoy中,各象限的角平分线连同轴、y轴共八条射线,它们把直角坐标系分成八个区域,在各射线上标上相应的sinα+cosα的值,就可以很方便地判断出α的范围。如上图建立坐标系,设sinα+cosα=x,且α∈〔02π〕,A(1,1).〔结论1〕若1相似文献   

忽视数列函数特殊性致错一例

<正> 问题已知|an|是递增数列,且对于任意的正整数n,an=n2+λn恒成立,求实数λ的取值范围?错解如图1,考察相应的函数f(x)=x2+λx的图象.由题意知,本题意在寻求使函数f(x)在区间[1,十∞)上为增函数时λ的取值范围,而函数     

高考江苏卷第（20）题（Ⅱ）的别解与推广

题目 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若首项a1=(3)/(2),公差d=1,求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立.     

利用数形结合拓宽解题思路

<正>高中数学有四大基本思想,数形结合是其中之一。其实数形结合就是抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,使抽象问题直观化。我国著名数学家华罗庚也说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。"例如,如果实数x,y满足(x-2)²+y2+y²=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)2=3,求y/x的最大值和最小值。这道题的标准解法是先设y/x=n,与(x-2)²+y2+y²=3这个圆的方程联立,转化成     

第52届IMO预选题(四)

数论部分1.对于任意正整数d,f（d）是满足恰有d个正因数的最小的正整数（如f（1）=1,f（5）=16,f（6）=12）.证明:对于每个非负整数k,均有f（2^k）|f(2^k+1).2.考虑多项式P（x）=（x+d₁）（x+d₂）…（x+d₉）,其中,d₁,d₂,…,d₉是9个不同的整数.证明:存在整数N,使得对于所有的整数x≥N,均有P（x）能被一个大于20的质数整除3.设n是正奇数.求所有函数f:Z→Z,使得对所有整数x、y均有     

关于整数部分的一个方程

对于实数α,设[α]是α的整数部分,本文运用初等方法证明了;方程[logx(x-1)+logx-1(x+1)+logx+1(2x)]=x仅有正数解x=4.     

一道高考题引发的思考

正题已知m、n为正整数.(1)用数学归纳法证明:当x-1时,(1+x)n≥1+nx(笔者注:当且仅当x=0或n=1时取"="号);(2)对于n≥6,已知(1-1/(n+3))n1/2,求证:(1-m/(n+3))n(1/2)m(m≤n);(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.(2007年高考湖北卷理科压轴题)     

由一道竞赛题谈起

题目：设函数f（x）具有如下性质：f（3x）=3f（x）对于所有的正实数x都成立，且f（x）=1-｜x-2｜（1≤x≤3）。试求满足f（x）=f（2001）之最小值。（第十九届美国数学邀请赛第8题）     

2003西部数学奥林匹克

(2 0 0 3- 0 9- 2 7—0 9- 2 8,乌鲁木齐)第一天1.将1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10 .求每一个面上四个数之和的最小值.2 .设2n个实数a1,a2 ,…,a2n满足条件∑2n -1i=1(ai 1-ai) 2 =1.求(an 1 an 2 … a2n) - (a1 a2 … an)的最大值.3.设n为给定的正整数.求最小的正整数un,满足:对每一个正整数d ,任意un 个连续的正奇数中能被d整除的数的个数不少于奇数1,3,5 ,…,2n - 1中能被d整除的数的个数.4 .证明:若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB、BC、CD、DA的距离之和为定值…     

一些含有[x]的方程的解法

设x是实数,符号“[x]”表示不大于x的最大整数。例如:[7.5]=7,[1/6]=0,[-4.8]=-5,[n]=n(n为整数)。由[n]的定义可知:(1)x=[x]+α,0≤α<1;(2)〔x〕≤x<[x]+1或x-1<[x]≤x;(3)[n+x]=n+[x](n为整数)。利用这些简单的性质,可解一些含有[x]的方程。解法的基本思想是:先求出     

江苏卷（21）题的思路与解法

20 0 3年高考江苏卷第 (2 1)题内容新、题型新 ,集中考查了导数和不等式证明等知识 ,解答的思路和方法较多 ,这里给出不同层次的若干思路和方法供参考 .(2 1)已知 a>0 ,n为正整数 .( )设 y=(x- a) n,证明 y′=n(x- a) n-1 ;( )设 fn(x) =xn- (x- a) n,对任意 n≥ a,证明 fn+ 1 ′(n+1) >(n+1) fn′(n) .证明　 ( ) y′=limΔx→ 0(x+Δx- a) n- (x- a) nΔx=limΔx→ 0 [(x+Δx- a) n-1 +(x+Δx- a) n-2 (x- a) +… +(x- a) n-1 ]=(x- a) n-1 +(x- a) n-2 (x- a) +(x- a) n-3 (x- a) 2 +… +(x- a) n-1=n(x- a) n-1 . (洪成、王严、王雪　供…