例析函数的周期性及图象的对称性

<正>函数的周期性和函数图象的对称性作为函数的两个重要的性质是历年高考的的重要内容,因此需要我们深入挖掘教材,切实掌握.一、函数周期性的概念与常见变形一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫这个函数的一个周期.由此定义,我们不难拓展得到描述函数周期性的几个常见变形:     

函数的奇偶性、对称性和周期性之间的一些联系

函数的奇偶性、对称性和周期性之间存在着不可分割的关系.利用好这些关系,能使很多问题的解法变得简捷,尤其是一些抽象函数问题.本文尝试探究函数的奇偶性、对称性和周期性之间的关系并加以应用.一、由偶函数问题出发先看一个问题:f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称.试判断f(x)是否为周期函数.     

高考题中抽象函数的奇偶性、周期性和对称性问题

关于抽象函数的厅偶性、周期性和对称性问题一直是高考的热点问题之一,本文对此进行探讨．为方便叙述和推理,我们给出几个常见的结论(证明从略): (1)函数f(x)的图象关于直线x=a对称(?)对于一切可能的x都有f(a x)=f(a-     

关于非周期函数的判定

周期函数是一类非常重要的函数。函数周期性的研究在中学数学中占有重要的地位.研究函数周期性的重要环节是周期性的判别:哪些函数具有周期性、哪些不具有?判断一个函数是周期函数、求函数的周期等已有了一套比较成熟的方法,而判断一个函数“不是周期函数”,则尚缺乏系统的方法. 本文从深入挖掘周期函数的定义出发,提出几种判别“非周期性”的方法,并用之判断几类典型的非周期函数. 我们知道,函数周期性的定义是:如果存在常数F≠0,使得对函数f(x)定义域中的任何x,f(x T)=f(x)成立,则f(x)称为周期函数,T叫做f(x)的周期.     

利用函数对称性与周期性的关系解题

<正>函数图象的对称性和周期性是函数的两个重要性质,许多函数问题常常需要利用两个性质的关系来求解．本文先归纳、证明这两个性质关系的几个基本结论,再举例说明这些结论在求解相关问题中的应用．一、基本结论结论 1若函数y=f(x)的图象分别关于两条直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b|为y=f(x)的一个周期．     

函数的奇偶性、周期性与对称性

1．函数的奇偶性、周期性及图象的对称性 （1）对称性＋对称性=周期性 结论1 若x∈R时,函数f（x）的图象既关于直线x=a对称,又关于直线x=b对称（b〉a）,则f（x）必是周期函数,且2（b-a）为f（x）的一个周期．     

浅谈函数对称性、奇偶性、周期性之间的关系

研究函数 ,主要是研究函数的性质 .近年来 ,高考试题中抽象函数占有相当的比重 ,给出抽象函数的方法除结构关系式外 ,更重要的则是给出对称性、奇偶性、周期性这“三性”中的两个 .利用已知的两性能否推出第三性呢 ?我们有以下几个命题 .命题 1　偶函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f (x)满足 f (x) =f (- x) ,f (x) =f (2 a- x)(a≠ 0 ) ,则f (x) =f (2 a- x) =f [- (x- 2 a) ]=f (x- 2 a) .可见 ,周期 T=|2 a|.命题 2　奇函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f(x)满足 f(x) =- f(- x) ,f(x) =f(2 a…     

再谈函数的对称性与周期性的联系

本刊2001年第5期蒋贤亮先生关于《函数图像的对称性与周期性的联系》一文,受益匪浅,但也感到文意未尽.因为蒋先生仅讨论了函数自身的对称性与周期性的联系.本文将对“两个函数的对称性与周期性的联系”展开讨论,既可作为蒋先生一文的补充,也为解决高考这一热门话题提供理论依据. 定理1 设两函数f(x)和g(x)均是定义在R上的函数(下同),则它们的图像关于点P(a,b)对称的充要条件是f(x)+g(2a-x)=2b;关于直线x=α对称的充要条件是f(x)=g(2a-x). 作代换可知,等式f(2a-x)十g(x)=     

抽象函数图像的对称性与周期性初探

抽象函数f（x）,由于不知道其解析式,因而不能画出其图像的全貌。对它的研究成了中学生学习的一个难点．本文介绍有关抽象函数图像对称性与函数周期性的几个定理。帮助同学们提高解决此类函数问题的能力．     

抽象函数周期性的判断及其简单运用

所谓周期函数就是:对定义域为D的函数f(x),对任意x∈D,存在常数T>0(x T∈D)有f(x T)=f(x),则f(x)为周期函数.对具体的函数其周期性可以借助函数表达式,根据周期函数的定义进行判断.那么,抽象函数的周期性如何判断?又如何运用于解题呢?     

巧记结论灵活处理抽象函数的对称性、奇偶性及周期性的相关问题

<正>不管是高一初学函数者,还是久经沙场的高三学生,解答有关函数性质的题目时都有较大困难。本文将从函数的奇偶性、对称性、周期性角度来研究抽象函数,希望对同学们的解题能有些帮助。例1 (2018年全国Ⅱ卷理科数学第11题)已知函数f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=__。     

抽象函数容易忽视的几个问题

抽象函数是相对于具体函数而言的,它是指没有给出具体函数的解析式,仅仅给出函数的部分性质,如函数f(x)满足f(x y)=f(x) f(y)等.解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数.通过抽象函数设置的考题,主要考查函数的基本性质(单调性、奇偶性和周期性),考查学生的抽象思维、     

一道函数对称性与周期性的高考题探究

<正>1.考题呈现(2022年全国乙卷理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则■A.-21 B.-22 C.-23 D.-24这是2022年全国乙卷理科选择压轴题,主要考查抽象函数对称性及周期性的相关性质,实际上,高中阶段对函数对称性考查的重点在轴对称和中心对称,即函数的奇偶性.而关于周期性的认识主要是通过三角函数,     

丰富多彩的函数——奇偶性、对称性、周期性

函数奇偶性、对称性、周期性关系的复杂性带来研究的灵活性和高考命题的热点.1奇偶性、对称性与周期性 定理 1设y=f(x)是定义在R上的奇函数,它的图象关于直线x=a对称(a为不等于零的常数),那么 (1)y=f(x)是周期函数; (2)若y=f(x)的图象在x=-a和x=a之间无对称轴,则y=f(x)的最小正周期T=4|a|. 证明(1)因y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以对于任意的x∈R都有     

谈谈周期函数

周期函数的概念、函数周期性的判定、最小正周期的求法是中学数学教学中颇感棘手的问题。本文用初等方法来作些探讨。一周期函数的概念高中代数第一册(甲种本)是这样给周期函数下定义的:“对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数”。若用E表示f(x)的定义域当,T>0     

抽象型函数的求解策略

函数是高中数学和高考的重要内容,其中有关函数记号f(x)而无解析式的抽象型函数问题,往往与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等诸多性质联系在一起,成为函数的难点内容.本文将对抽象函数的求解策略进行探讨.     

例析函数问题的两种解题方法和技巧——“函数性质解题法和抽象函数模型解题法”

正在解决数函数问题时,通过对问题的已知条件和结论作深入恰当的分析,利用函数性质或利用赋值法(特殊值法)、代换法、变形法去构建函数模型,筑起解决问题的桥梁,可以使得问题简明快捷地得以解决.一、函数性质解题法函数的性质是研究函数问题的核心,一定要注意:1对性质的理解;2对性质的灵活运用;3特别要注意函数的周期性和函数图象的对称性.函数的周期性:f(x+a)=f(x)说明函数f(x)的周期T=a     

由2007年高考题引发的函数性质拓展九例

2007年高考又考了几道有关函数的对称性、周期性、奇偶性的综合题．如： 例1 （2007年天津卷）在R上定义的函数f（x）是偶函数,且f（x）=f（2-x）,若f（x）在区间[1,2]上是减函数,则函数f（x）（ ）．     

函数的周期性与奇偶性

函数的性质一直以来都是高考的一个重要考点.如何准确灵活地把握函数的性质,顺利地解答有关问题,是需要我们探索和研究的课题.笔者从函数的周期性和奇偶性方面入手进行了如下研究: 一、函数的周期性 一般地说,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使取定义域内的每一个x值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.理解周期性要注意以下几点:1.定义适合定义域中的每一个x值.2.并不是所有周期函数都存在最小正周期,如常数函数f(x)=c,所有的正数都是它的周期,但没有最小值,故常数函数没有最小正周期.3.周期函数的周期不止一个,若T是周期,则kT(K∈N+)也是周期.     

对含有函数符号“f(x)”有关问题的探究

由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难。为了能让学生学好这部分知识,加深对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性,对求函数表达式及利用函数性质判断函数的奇偶性、利用单调性确定参数的取值范围、利用函数的周期性和对称性处理等进行了探讨。