利用同构式巧解数学问题

<正>数学中的同构式是指除了变量不同,而结构相同的两个表达式.数学中的同构式,不仅体现了数学的对称和谐美,而且运用同构式的思想解题,能够培养学生的抽象及转化化归的思维能力.例如,求递推数列的通项公式的关键就是将递推公式变形为"依序同构"的特征,即关于(a_n,n)与(a_(n-1),n-1)的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解.除了数列,同构式在求解方程、不等式,以及解析几何、函数与导数等问题中都有很好的应用,下面举例说明.一、在方程中的应     

巧用同构思想妙解一类指对混合压轴题

<正>对方程或不等式进行变形转化,使其左侧和右侧具有相同的结构形式,再通过构造单调函数处理．对于具有混合指数对数的问题,通常可以通过指数和对数的相互变换实现局部同构．问题可以转化为相应函数单调性或函数最值,这大大降低了计算和求解（证明）的难度．它是数学核心素养如逻辑推理和数学建模的有效媒介,受到高考命题者的青睐．本文提出了指数与对数等式（不等式）的同构方法,并对含指数对数压轴问题的同构解法进行了梳理．     

例谈数学中的"同构"现象

笔者在教学实践中发现,有一类数学问题是寻找相同结构的表达式,利用表达式的唯一性,确定系数相等或根唯一,从而断定量的相等来证明一些命题,这种现象,我把它称为“同构”现象.一、“同构”定系数例1 经过△OAB 的重心 G 的直线与边     

运用同构函数优化解题

<正>最近几年，同构式频繁在高考和高三诊断性测试中出现，其“化繁为简”、“对称优美”的特点以及其中蕴含的规律值得我们反思和总结．本文就同构函数在不等式和函数导数等综合题中的应用进行研究，主要关注同构函数的常见结构、灵活运用同构函数解题的关键点．一、和差积商型母函数同构式是除了变量不同，其余地方均相同的表达式．在同构过程中，我们可以将等式或不等式的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的母函数．从加、减、乘、除四则运算的属性思考母函数的解析式是研究同构问题的一个方向．     

同构视角下高考函数类试题求解策略——以2022年高考试题为例

本文以函数类试题为切入点，通过对2022年高考数学试题中部分函数类试题的分析、解答与评析，探寻同构规律，为高考数学中的函数类试题提供同构视角下的解题路径.     

例谈同构思想在解析几何中的妙用

本文以解析几何问题为例,将代数表达式同构为某方程或者函数,具体地阐述了同构思想在解析几何中的应用,并对同构的过程作出反思和总结.     

浅谈数学表达式的合理编排

自然科学方面的学术论文基本上是由文字叙述、图表(含照片)、数学表达式(数学函数式)等几个部分有机结合构成。数学表达式在论文中的作用有时超过了文字叙述,有时只有使用一定形式的数学表达式(函数式)才能将文中的问题表述清楚。数学表达式(函数式)广泛应用于数学、物理学、化学、经济学、地球物理学等学科中,它对于模型的建立、问题的     

IMO中的函数迭代与函数方程

作者杜锡录.有关函数迭代与函数方程的问题在数学竞赛中是比较常见的.本文以IMO竞赛题为例,就确定函数性质,函数值,函数形式等三个方面的问题,介绍了如何巧妙地利用所给出的表达式,通过归纳法或函数迭代的技巧解题的典型方法.     

辅助函数法在数学证明中的应用

通过一些数学问题的证明,讨论了辅助函数在证明过程中的应用以及通过观察所要求证的结论,采用变形、积分等方法来构造辅助函数.     

例谈指对数混合式问题的同构解法

<正>在数学解题实践过程中,同构法有着重要的作用,对于一些由指数函数、对数函数混合的问题,通过采用移项、加、减、乘、除、乘方、开方、取对数等诸多方式对函数进行变形,使其左、右两边呈现出结构相同的形式,然后重新构造函数,结合导数研究函数性质进行处理,使问题得以顺利解决.具体来说：处理同时涉及指数函数ex与对数函数lnx的相关等式或不等式问题时,往往需要灵活运用对数恒等式alogaN=N,logaaN=N的特例,     

分段函数的特点和应用

<正>苏教版普通高中课程标准实验教科书数学(必修1)中,涉及了高中数学中的重要函数模型——分段函数.这一模型充分体现了高中数学中的分类讨论、数形结合的数学思想.但教科书中只以例题形式出现,并没有深入系统地介绍,导致不少学生对其认识肤浅模糊,解题中时常出现这样那样的错误.本文就分段函数问题的特点和应用作一介绍,供参考.一、分段函数的定义及特点分段函数是指表达式分段表示的函数.     

“兰州拉面”模型引起的研究性学习

由浙江高考数学一道题的深入思考,设计数学研究性学习作业单,引导学生通过分段函数来表达迭代或复合过程,特别是由形(图象)到数(函数表达式)的思维和由特殊到一般的归纳思维,来锻炼学生的创新意识与实践能力.     

指对同构法巧妙处理导数题

把一个等式或不等式通过变形,使左右两边结构形式完全相同,可构造函数,利用函数的单调性进行处理,找这个函数模型的方法就是同构法。解复杂的导数题,同构法无疑是一把利器。     

例谈解题中“辅助元”的构造

<正>辅助元是为了解决某个问题而构造的一种数学形式(如线、角、平面、函数、方程、数列、圆等),用辅助元解题,体现了数学中类比,化归的思想,不仅使问题变得更直观明了,容易找到解决问题的思路和方法,同时也是一种富有创造性的解决问题的一种方法.一、构造辅助函数构造辅助函数是一种重要的解题思想方法.函数是整个高中数学的核心知识,它具有工具性和导向性.许多问题都可以通过巧妙地构造辅助函数,使得原本扑朔迷离的问题     

浅谈构造辅助函数的思维方法

<正>在高等数学教学中,常常遇到通过构造适当的辅助函数来解决的数学问题。例如,由Roll定理证明Lagrange定理时,关键在于构造辅助函数     

LOGO语言制作函数图象探讨

利用LOGO语言的特点、给出一个仅含100来个语句的LOGO程序.它运行时,键入某个函数表达式,程序可立即生成相应的函数图象;这有利于借助直观学习函数,易于理解,便于举一反三.LOGO语言,是设计计算机辅助教学程序的重要语言.     

任意数学表达式计算分析器的设计、实现及应用

在高中数学和高等数学中,不论是数学方程还是复杂函数都可用初等函数和变量组成的表达式表示。利用计算机设计一个任意数学表达式计算分析器来分析函数性质、绘制函数图象、进行数值计算、求解方程的根等方面非常有用。本根据上述需求,利用Visual Basic实现任意数学表达式计算分析器。     

基于单元教学设计中数学抽象素养培养和落实研究——以“函数的概念与性质”章首课为例

<正>本文以“函数的概念与性质”章首课单元教学设计为例,通过学生经历归纳、推导函数概念这一过程,体验函数概念形成,同时给出了怎样培养和落实数学抽象核心素养的教学建议.一、问题的提出数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数学是对现实世界的高度抽象,基于抽象结构,通过符号运算、形式推理、模型构建等,理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.数学的发展和人类世界的发展联系非常紧密.数学哲学概念的数学抽象为数学学科六大核心素养之一,     

例谈同构法在导数中的应用

同构法在近几年的模考中频繁出现,把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数,利用函数的单调性转化为比较大小、解恒成立或者求最值等问题,同构法在使用时,考验“眼力”,面对复杂的结构,仔细观察灵活变形,使式子两侧的结构一致,从而构造函数.     

构造函数在解题中的应用

构造法就是根据题设条件和结论的特殊性,构造出一些新的数学形式,并借它认识与解决原问题的一种思想方法.而构造函数解题是数学中的常用方法,通过巧妙地构造辅助函数,把原来的问题转化为研究辅助函数的性质,从而达到解题目的.现例举在解题中的应用.