一道导数压轴题的再探究

<正>试题呈现已知函数f(x)=e^x[x²-(a+2)x+a+3].(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在(0,2)有两个极值点x₁,x₂,求证：f(x₁)f(x₂)<4e².本题是泉州市2023届高中毕业班质量监测一第22题．试题题干简洁、朴实无华,问题(2)给人的第一感觉是极值点偏移问题,但深入思考之后发现其与极值点偏移问题并无关联．     

2022年全国甲卷导数压轴题的解法探究

<正>一、试题再现已知函数f(x)=e^x/x-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x₁,x₂，则x₁x₂<1．本题是2022年全国甲卷导数压轴题．第(1)问已知不等式求参数的取值范围，难度中等;第(2)问考查导数的应用，属于极值点偏移问题，难度偏难．     

2016年高考数学全国卷(乙)第21题赏析

<正>2016年高考数学全国卷(乙)第21题如下:已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x_1,x_2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.1背景分析本题的命制延续了2015年全国卷Ⅰ第21题的试题特点,题设条件简单明了,从诸如函数零点、参数范围等常考知识点处发问,使考生倍感亲切,有利于考生     

从一道联考题出发谈极值点偏移问题的解法

<正>试题呈现(2022年湖北省高三二月联考第22题)已知f(x)=x²-2alnx,(1)讨论y=f(x)的单调性;(2)若y=f(x)有两个零点x1,x2(x10是y=f(x)的极值点,求证:x₁+3x₂>4x₀．一、解法探究解:(1)因为f(x)的定义域是(0,+∞),则f’(x)=■．当a≤0时,f’(x)> 0恒成立,即y=f(x)在(0,+∞)单调递增,当a> 0时,     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

导数背景下的二元不等式问题

<正>本文介绍四种二元不等式相关问题的解决策略,以期抛砖引玉.一、将二元变为一元1.等量关系消元例1(2016年全国高考题)已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x_1,x_2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.解(1)由题意知x=1不是f(x)的零     

聚焦新高考“创新性”研究——第二届命题征集活动函数专题优质创新试题选登

<正>【原创创新试题组】【原创1】(多选)已知■,则下列不等式有可能成立的是 ( )■【原创2】请写出一个函数f(x)=____,同时满足下列三个条件：①f(x)的最小正周期为4π;②f(x)的一条对称轴为直线■;③f(x)的最大值为2.【原创3】若对任意的0121e^x₂-x²e^x₁>e^x2+1lnx₁-e^x1+1lnx₂成立,则实数a的最大值为____.     

一道高考题的解法探究

<正>一、题目呈现(2016年全国课标卷Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.二、试题解析1.第(1)问的分析与解答第(1)问由函数零点个数确定参数的取值范围,我们可以采用分类讨论,结合零点存在性定理求解;也可以采用参变量分离,数形结合的方法加以解决,这两种方法都是通性通法.     

一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

不等式的恒成立、有解、无解

题目（见2010年山东卷（理）22题）已知函数f（x）=1nx-ax+（1-a）/x-1,g（x）=x²-2bx+4,当a=1/4时,若对任意x₁∈（0,2）,存在x₂∈[1,2],使f（x₁）≥g（x₂）,求实数b的取值范围.     

2016年新课标全国卷Ⅰ理科数学第21题的研究与反思

<正>2016年全国新课标Ⅰ卷理科数学第21题:已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x_1、x_2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.这道题的第(Ⅰ)问,考查函数的零点问题,考生很熟悉,有利于考生稳定情绪,大部分考生可以得分,又利于考生切入第(Ⅱ)问.第(Ⅱ)问     

双变量值域中的存在性问题优解

<正>含有任意和存在的双变量问题是数学中常见的两类题型,常见解法是考虑两者之间的最值和值域关系来解题.题型1:?x₁∈D₁,?x₂∈D₂,f(x₁)=g(x₂)?f(x₁)值域是g(x₂)值域的子集.题型2:?x₁∈D₁,?x₂∈D₂,f(x₁)=g(x₂)?f(x₁)值域与g(x₂)值域的子集交集非空.若遇到双变量不是前两种情况的题怎样处理呢?题1 设函数已知函数f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R),     

导数背景下双零点不等式问题的解法探究

<正>活动2 见测试2.导数背景下的双零点不等式证明问题,主要是题设中给出某函数(通常包含指数对数)的两个零点x₁,x₂,要考生证明关于这两个零点的相关性质,如关于x₁x₂,x₁+x₂,x₁-x₂,■的不等式证明^[1].一、极值点偏移问题有关函数两个零点的和与积的问题,即极值点偏移问题,常作为压轴题出现,题型复杂多变．解题时需要理解此类问题的实质,巧妙运用消元、消参、构造函数等手段,利用函数的性质解决问题．     

对一道高考题的思考和探究

题2019年全国II卷理科数学第20题.已知f(x)=ln x-x+1 x-1,(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的零点,证明曲线y=ln x在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线.该试题中,函数y=ln x在函数f(x)的零点处的切线为曲线y=ln x与y=e x的公切线,那么,函数y=ln x和y=e x的图象分别与函数y=x+1 x-1的图象交点与它们的公切线有何关系?一般地,指数函数y=a x和对数函数y=log ax(a>0且a≠1)图象的公切线又有何相应的结论?本文对此加以探索.     

对形如f(x)=plnx+mx~2+nx+c(p,m,n,c∈R)一类题型的初探——2011辽宁高考理科卷第21题的多种证法及推广

考题再现:（2009辽宁）已知函数f（x）=1/2x²-ax+（a-1）ln x,a>1.问题（略）;（2010辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1.问题（略）;（2011辽宁）已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x.（1）（2）略;（3）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x₀,证明:     

导数在解题中的综合应用

<正>导数处理函数综上所述合问题的"必备工具",主要可以用来判断函数的单调性、求函数的极值、最值,以及利用导数的几何意义来求切线方程,本文就来谈谈利用导数解决一些综合性问题。例1已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点,求实数a的取值范围。     

一类对称方程的一般解法探究

我们有时会遇到这样的问题:题型A:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+2x=5、2log₂（x-1）+2x=5的实数根,求x₁+x₂的值".一般会这样变形:2^x=5-2x、2log₂（x-1）=5-2x,会错误地得到结论x₁+x₂=10/3.究其原因,是受到曾经作过形似的问题:题型B:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+x=5、     

求真务实 打造真正的高效课堂——一道全国高考压轴题给中学数学教师的启示

<正>2016年高考理科数学新课标全国卷(Ⅰ)压轴题:已知f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设两个零点为x_1,x_2,求证:x_1+x_2<2.此题具有表述简洁明了、背景公平公正、立足于考查基本知识与基本技能、内涵丰富、入口较宽、能力要求高、重视对学生数学素养的考查等特点,对高中数学教学有很好的导向作用,给广大数学教师以     

一道高考压轴题的解法赏析

<正>2012全国卷理科第22题已知函数f（x）=x²-2x-3,定义数列{xn}如下:x₁=2,x_n+1是过两点P（4,5）,Q_n（x_n,f（x_n））的直线PQ_n与x轴的交点的横坐标.（1）证明:2≤x_nn+1<3;（2）求数列{x_n}的通项公式.     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是: