抛物线中的定值与定点问题

定点问题与定值问题在高考之中频繁出现,我们总想去寻找定值与定点是否存在某种联系,经过多年多高考题的探索,以及在教学过程中的总结,发现定值问题与定点问题其实是同一类型,它们之间是存在内在联系的。本文以抛物线为例进行重点阐述,下面就以框架图的形式把定值与定点问题联系起来。     

抛物线中过定点的一个推广

<正>我们知道抛物线中有一个过定点定理:过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作两条垂直的直线OP、OQ分别交抛物线于P、Q两点,则直线PQ必过定点B(2p,0).如果把定理中的"顶点"改为"抛物线上一特殊点A(a,b)",那么直线PQ又会过哪个定点呢?【例题】(2013年吉安市一模考试试题)已知抛物线y2=4x上的一个点A(1,2),过A作两条垂直的直线AP、AQ分别交抛物线于P、Q两点,则原点O到直线     

求解抛物线上定点问题的策略

我们知道,抛物线y=ax2 bx c的形状、位置是由a、b、c确定的.当a、b、c间存在某种特定关系时,抛物线过某些特殊点(定点).有关求抛物线的定点坐标问题,我们一般可从如下三个方面去考虑:一、观察观察系数间的关系,适当选择一个变量的值,求出另一变量,从而得到定点坐标.例1已知二次     

一个直线与抛物线问题的探究

直线与抛物线只有一个交点的问题是近年中考的热点,可以把问题转化为一元二次方程,或者观察分析二次函数解析式的结构特征,或者分析函数图像,通过数形结合和代数推理解决问题。     

一类与抛物线有关的定点（值）问题

抛物线是解析几何中最具有开放性的一种曲线。研究性学习作为一种新的课程形态，已经在中学纳入必修课程。如何进行研究性学习?如何培养我们的创新精神和创新能力?本旨在通过抛物线的定点、定值问题的探索，介绍一条研究性学习的新思路——变换角度思考问题。     

抛物线中的一类定点问题探究及其应用

<正>抛物线y=ax²+bx+c上有一点C(m,n),直线l与抛物线交于A,B两点,当∠ACB=90°时,直线l是否经过一定点.下面对这个问题进行探究:如图1,过点C作x轴平行线EF,过点A作AE⊥EF,过点B作BF⊥EF,垂足分别为E,F.     

对称抛物线的一个面积问题

在文[1]中,提到了两相似抛物线,讨论的实质,是在对称轴不变的情况下,平移抛物线,得到相似抛物线,进而推出相似抛物线的一点至原抛物线的两切线所形成的封闭区域的计算公式．在此基础上,笔者联想到除了平移外,进行旋转,得到原图象的对称图形,进而得到像卢老师得到的公式那样的定理．     

一个值得商榷的抛物线问题

题目已知抛物线的焦点在F(a,b),焦点到准线的距离是p,轴的方向和y轴的方向相同,求它的方程。(统编高中数学第二册第173页,复习题六,第35题)。此题,又被六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)所选用。(第154页,复习参考题三A组第7题)笔者认为《教学参考书》(全日制十年制学校高中数学第二册《教学参考书》人民教育出版社)中所给的答案是不妥的,特提出商榷。     

一个抛物线问题的变式

问题变式包括问题推广、逆向操作条件与结论、对条件与结论进行遮盖和隐蔽等,变式后的问题与原问题有着或明或暗的联系.命题者可以通过变式构造出精巧、美妙的试题,解题者可以通过这些题目培养探究精神和发现能力,认清问题本质,积累解题经验,并开阔自己的视野.本文将展示如何从抛物线中的一个问题出发,经过问题推广、逆向操作、遮盖和隐蔽等方法,分别得到2009年全国高考辽宁卷理科第20题及2011年全国高中数学联赛一试第11题.     

一个定点问题的推广与应用

过原点O引抛物线22ypx=的两条互相垂直的弦OP、OQ,那么直线PQ必过一个定点.这是一道常见的解几题,下面我们把它推广到一般的情形: 命题过原点O作圆锥曲线22AxCy 0DxEy =的两条互相垂直的弦OP、OQ,(1)当0AC 故?直线PQ必过定点(,)DEGACAC-- ;(2)当0AC =时,直线PQ的方向一定. 证明 若PQ与x轴不垂直,可设其方程为(0)ykxmm= ?代入方程22AxCyDx 0Ey=,整理得 222()(2)ACkxCkmDEkxCm 0Em =. 设P、Q的坐标分别为11(,)xy、22(,)xy则1x、2x是上述方程的两根,所以 1222CkmDEkxxACk =- , 2122CmEmxxACk = . ∵,OPOQ^…     

与等差数列相关的抛物线性质问题综述

在抛物线中蕴涵着许多耳目一新的性质,其中一类与等差数列结合在一起的性质非常活跃,在各种考试中频频出现,本文试图从等差数列的视角去审视抛物线的性质,对抛物线的性质进行剖析、归纳、提升,以寻求其内在的联系,以便于我们的高考复习研究提供参考的素材．     

与抛物线定义相关的最值问题

<正>与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.通过抛物线的定义,可以实现由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离,即点与点到点与线的相互转化.因此,利用抛物线的定义,可以解决两类常见问题:一类是将抛物线上的点到准线的距离利用定义转化为该点到焦点的距离,构造出"两点之间线段最短",使问题得解;另一类是将抛物线上的点到焦点的距离利用定义转化为到准线的距离,利用"与直线上所有     

浅论如何处理抛物线中的“定点”问题

抛物线的定点问题是考查学生创新意识、探究能力的一类数学问题,笔者通过具体定点问题的探索,浅谈了这种问题的实质以及解决方案。     

“抛物线中的定点问题”微专题设计

圆锥曲线中的定点问题是高考考查的热点知识。高考复习时,有必要针对这样的知识点进行微专题设计,通过解决一类问题,让学生深入理解知识,抓住问题的本质,以达到灵活运用的目的。     

抛物线中一道直线过定点问题的解法探究与推广

<正>抛物线是平面解析几何的重点,也是高考的必考点.常涉及到与其他图形的位置关系,因而综合性较强,难度较大,让很多人感到棘手.本文以抛物线中一道直线过定点问题为例,探究此问题的多种解法,并在此基础上将问题的结论进行一般性的推广.例题 过抛物线y²=2x的顶点O做互相垂直的两条直线OM,ON,分别交抛物线于M,N两点,问：直线MN是否过一定点?若经过,求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.解法一 (1)若直线MN的斜率存在,     

直线与抛物线能过定点吗？

在证明或求解有关直线与抛物线过定点之类的问题时,同学们常常感到很困难,无从下手．其实这类问题并不难,我们可以从以下两个方面把握解此类题的解题方法：（1）可归纳为“先猜后证”,即先通过参数的两个特殊值求出两图象的交点．     

妙用抛物线上定点位置解题

通常要证明:无论m为何实数,抛物线y=x~2-mx m-2与x轴必有两交点.只要证明判别式△=(-m)~2-4(m-2)>0.但观察发现:当x=1时y的值与m无关且为-1,即无数条抛物线过第四象限的定点(1,-1),又知此抛物线开口向上,因此它必与x轴有两交点.这就应用了抛物线上存在着定点这一特征而觅得解题捷径.下面再请看: