双变量不等式问题的多角度放缩求解——一道联考导数题的深层次探究

<正>一、试题呈现已知函数■(1)求y=f(x)在x=1处切线的斜率;(2)当x>0时,比较f(x)与x的大小;(3)若函数■,且■,证明： f(b2)+1>g(a+1).这是一道百校联考题,试题以超越函数和二次函数的结合为背景,综合考查函数的有关知识.试题前两问较为基础,本文解答从略.第(3)问的难度明显加大,既有三角函数的介入,     

高次方程韦达定理在解题中的应用

<正>一、提出问题题目已知■,求a+b+c和abc的值．这是2020年蒙古国数学奥林匹克竞赛的一道试题,文[1]和文[2]共给出了试题的三种解法,但这些解法都比较繁琐．笔者研究发现,若借助高次方程的韦达定理解决此题,则过程更直接、更简单,学生更容易理解和掌握．     

错在哪里

<正>1安徽省六安市皖西中学匡大章(邮编:237000)题目已知b>a,若函数f(x)在定义域内的一个区间[a,b]上函数值的取值范围恰好是■,则称区间[a,b]是函数f(x)的一个减半压缩区间,若函数■存在一个减半压缩区间\[a,b\](b>a≥2),则实数m的取值范围是_____.     

函数对称性的探究

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性,函数与反函数图像的对称性.前者是函数自身的性质,而后者是函数的变换问题.下文中我们均简称为函数的对称性.函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜,对于解决其它问题也很有帮助,同时也是数学美的很好体现.现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质.1函数自身的对称性探究高考题回放:(2005年广东卷I)设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区…     

换个角度解兰利与变式问题

<正>拜读了文[1]李老师对于兰利问题的独具慧眼,深受启发.笔者也作了一些探究,发现文中兰利问题和变式1中等边三角形的构造可以更自然些,同时发现文[1]中的问题都是等腰三角形,对称性的应用也是自然的思考,下面就从等腰三角形的对称性出发结合等边三角形的构造,换个角度来解兰利与变式问题.题目如图1,在△ABC中,AC=BC,∠C=20°,点D、E分别为边BC、AC上的点,若∠CAD=20°,∠CBE=     

2001年高考理科压轴题发散探究

20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设ｆ(ｘ)是在定义Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(1 )求ｆ 12 及ｆ 14;(2 )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(3)记ａｎ =ｆ2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函…     

2018年高考浙江卷压轴试题命题手法探究

<正>探究试题的命题背景、命题方法,不仅有助于在解题中寻找入口、理顺思路、开阔视野,提高解题水平,同时也能大幅提高教师的命题水平.下面笔者探究2018年高考浙江卷函数与导数试题的命题方法,并根据此命题方法进行试题命制.1试题与解答题目(2018年高考浙江卷)已知函数f(x)=     

三角函数图象的对称性问题分类解析

三角函数图象的对称性是一种重要的性质,涉及这方面内容的题目,在高考试题中经常出现,是一个常考的高考热点.对于正弦型函数y=Asin(ωx φ)、余弦型函数y=Acos(ωx φ)与正切型函数y=Atan(ωx φ)的对称性一般需要根据基本函数y=sinx、y=cosx与y=tanx的对称性进行求解.本文对这类问题进行归类分析.     

浅谈函数的对称性

<正>函数的对称性在解题中有着举足轻重的作用,利用函数的对称性解题,往往能避免烦琐的计算,简便快捷地解决问题。一、对称性函数的表达形式对称性问题的难点,在于如何从题目抽象的数学符号中发现"该函数是否具有对称性",以及"具有怎样的对称性"。熟练掌握对称性函数的表达形式,能方便我们从题目中发现对称性。归纳题目中常出现的对称性函数形式及特点如下:1.轴对称的表达式(1)若函数f(m+x)=f(m-x),即     

如何证明函数图象的对称性

在数学高考试题中常出现与函数图象或方程曲线对称性相关的试题,不少同学往往对有关曲线对称性的证明问题感到棘手,本文旨在通过几个具体例题说明论证此类问题的基本方法与步骤。1.关于一个函数图象(一条曲线)C的轴对称性或     

一个椭圆性质的推广、应用与再思考

<正>在文[1]中,王圣光、李萍老师对椭圆中的一个性质进行了探究.笔者从性质的推广及应用的角度进一步探究,得到了一些规律,作为文[1]的补充,与大家一起分享.在普通高中课程标准实验教科书(数学)选修2-1(人民教育出版社A版)第41页有这样一道题目:     

圆锥曲线的一类定点问题探究——以2022年佛山市一模试题为例

本文对2022年佛山市一模解析几何试题作出分析与探究,在极点极线[1]的理论基础下将结论进行一般化推广,同时将其从椭圆情形拓展到双曲线和抛物线,最终得到三种圆锥曲线一般化结论以及相关推论,达到揭示题目本质的目的.     

概念比中清 错误辨中明

在函数这章学习中,笔者发现很多函数问题,它们的语言表达极为相似,而解答问题却又有本质的不同,学生很容易混淆.现把一些常见问题对比辨析如下,供参考. 一、函数f(x)的定义域为[a,b]与函数f(x)在区间[a,b]上有意义     

关注抽象函数 提升核心素养——透视高考卷中的抽象函数问题

<正>抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体,近年来,高考数学试卷中频繁出现抽象函数问题,题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容,同时还蕴含着数形结合、函数与方程、化归等数学思想.由于抽象函数仅仅给出函数某种性质或满足某种关系,学生在解决此类问题时,常常感到束手无策、不知所措.要解决此类问题,需要把握数学本质,整合题目条件,     

函数对称性及其拓展研究

<正>函数是贯穿数学课程的主线,对函数的学习能提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养^[1]．函数图象的对称性是函数的一个重要性质,它体现数学之美．在高考中,对函数对称性的考查占据很大比例,利用这种对称关系能更高效地解决问题．函数图象的对称性不仅有自身的中心对称或轴对称,还有函数与函数之间的相互对称关系．此外函数的单调性、周期性与函数的对称性有着密切联系^[2]．本文通过实例对函数的对称性进行探究．     

数形结合思想解函数对称性问题

<正>函数的性质及其应用是我们学习的重难点。函数解析式枯燥的运算推演,时常困扰我们,也干扰着我们的想象力。课本中没有专门就函数的对称性进行讲解,通过典型题目的练习和探究,我发现数形结合思想能变抽象代数式运算为形象的图像变换,很好地解决函数对称性问题。例1 (2007年复旦大学自主招生)设函数y=f(x)对一切实数x满足f(2+x)=     

对2023年全国乙卷文数第20题的深度探究

<正>1试题呈现题目(2023年全国乙卷文科第20题)已知函数■当a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围．这道高考题,第一问常规题目,难度上进行了合理控制,体现了学科知识本质的基础性,     

辅助函数在数学分析中的应用

用作辅助函数来证明一些结论,是数学分析的一个重要手段和技巧,师范院校的学生懂得和掌握这种技巧是一件有益的事情.现以数例说明.一、关于函数介值的问题一些涉及到函数介值的问题,可以用辅助函数加以解决.[例1]设函数f(x)在[0,1]上可导,且00,F(1)=f(1)-1<0,而F(x)在[0,1]上是连续函数,依介值定理知(?)x_0∈(0,1),使F(x_0)=0,即f(x_0)=x_0     

一类三角函数问题

<正> 形如y=Asin(ωx+ )(ω>1)的函数在三角函数中具有十分重要的地位,三角中的许多函数都可以化成这种函数.这类函数的定义域、值域、图象、周期性、单调性、最值、对称性构成了三角函数中最基本的内容,因而是历来高考的热点,本文试图通过解析一些高考试题。帮助同学们掌握解决这类函数问题的方法.     

也谈一道复习题的错解

题目已知函数f(x)=-x~3+ax~2+b(a,b∈R),若函数f(x)的图象上任意不同的两点连线斜率小于1,求实数a的取值范围.此题在各地的模拟试题中多次出现,文[1]也对此题的错解进行了分析说明,但笔者认为