一类抛物线内接三角形的性质初探

文[1]、文[2]研究了以椭圆中心为重心的椭圆内接三角形的一些性质及其定值,笔者进一步类比探究发现以抛物线焦点为重心的抛物线内接三角形也有许多优美的性质,下面就这一类三角形的一些性质与大家一起探讨.如图1所示,A(2pt²₁,2pt₁),B(2pt²₂,2pt₂),C(2pt²₃,2pt₃)是抛物线y²=2px(p>0)上的三个不同的点,F(p/2,0)抛物线y²=2px(p>0)的焦点,已知点F是ΔABC的重心,抛物线在点A,B,C处的切线分别为l₁,l₂,l₃,且l₁∩l₂=C′,l₂∩l₃=A′,l₃∩l₁=B′.     

二次曲线相交弦与切割线定理及其应用

<正>一般的二次曲线可表示为Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中A、B、C不同时为0.本文主要探讨一般二次曲线相交弦与切割线的斜率性质及其在高考题、省市质检题的应用.定理 已知点S不在二次曲线Γ:Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0上,过点S的两条直线l₁、l₂分别交曲线Γ于P、Q和M、N,其中l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂(k₁≠k₂).若|PS||QS|=|MS||NS|,则当A=B,C≠0时,k₁k₂=1;当A≠     

一道高三模拟题的思路探究与拓展

<正>一、问题给出题目在平面直角坐标系xoy中,已知圆O:x²+y²=1,C:(x+1)²+y²=9,直线l与圆O相切,与圆C相交于点A、B两点,分别以点A、B为切点作圆C的切线l₁、l₂,l₁、l₂交点为P,则OP的最小值．A. 9 B. 7 C. 3■ D.■这道题是江苏省海门中学、苏州中学、淮阴中学、姜堰中学四校高三联考的单选压轴题,答案为D．我校学生在该题的得分率高达0.74,如此高的得分率是否与本题在试卷中起到单选压轴作用的地位不太匹配呢?和学生交流后发现,     

一道南京市高三调研试题的探究

题目(2021年南京市高三数学调研试题第21题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,F是椭圆C的右焦点,且AF=3 FB,AF·FB=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,若k(k₁+k₂)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.     

一个优美结论的深度推广

<正>一、结论的引出在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E:y²=2px(p> 0)和点H(3,4)．点Q在E上，且■.(1)求E的方程;(2)若过点H作两条直线l₁,l₂,l₁与E相交于A,B两点，l₂与E相交于C,D两点，线段AB,CD中点的连线的斜率为k，直线AB,CD,     

08年高考试题研究 2．全国卷Ⅰ理科第21题

题目双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l₁,l₂,经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁、l₂于A、B两点,已知     

椭圆中的几个定点问题

<正>试题呈现已知F为椭圆C:x~2/4+y~2/3=1的右焦点,椭圆C上任意一点P到点F的距离与P到到直线l:x=m的距离之比为1/2,(1)求直线l的方程;(2)设Q为椭圆的左顶点,过F的直线交椭圆C于A,B两点,直线AQ,BQ与直线l分别交于M,N,问以MN为直径的圆是否过定点?若存在,试求出定点.近日,一位学生来跟我讨教这道有关圆     

两道高考试题的统一推广

<正>1考题呈现题1(2018年高考全国数学卷Ι理19题)设椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.题2(2018年高考全国数学卷Ι文20题)设抛物线C:y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线     

直线过定点问题的解法分析和拓展推广

<正>一、试题与解法探究题目已知椭圆■ (a> b>0)的右焦点为F(2,0),上顶点为M,O为坐标原点,且■MOF是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程;(2)过点M分别作直线交椭圆于A,B两点,设MA,MB的斜率分别为k_1,k_2,并且k_1+k_2=8,证明:直线AB过定点.解(1)■.(过程略)(2)分析1先求点A,B的坐标,得直线AB的方程,再利用"交轨法"使问题获证.     

顺应“三新”趋势探索变式教学模式——数学变式征集活动解析几何专题试题选登

<正>【精选变式题组】【母题1】(2022·江西余干一中)已知⊙O的方程为x²+y²=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为____.【变式1】(知识变式)将母题中的“圆”换为“椭圆”已知椭圆C的方程为x²/4+y²=1,     

椭圆 双曲线 抛物线

椭圆诊断检测一、选择题 1.F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则M点的轨迹是( ) (A)椭圆. (B)直线. (C)圆. (D)线段. 2. 椭圆x2/25+y2/9=1上的点P到左准线的距离为2.5,那么P到右焦点的距离为( ) (A)8. (B)25/6. (c)9/2. (D)15/8. 3.椭圆短轴长是2,长轴长是矩轴长的2倍,则椭圆中心到准线的距离是( )     

一道质检题的解析与引申

题在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²=1(a>1)的左、右焦点分别是F1,F2,P是C上异于长轴端点的动点,∠F1PF2的平分线PB交x轴于点M.当P在x轴上的射影为F₂时,M恰为OF2的中点.     

一道高考解析几何题的另解与拓展

<正>2题目设椭圆C:x²/2+y22/2+y2⁼1的右焦点为2F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.该题是去年高考数学全国卷Ⅰ的理科试     

探索一类与圆锥曲线焦点弦有关的定值问题

<正>１案例呈现题目已知双曲线■的离心率是■过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点．设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d₁和d₂,且■(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点作直线l(与x轴不垂直)与曲线C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数λ,使得MN=λPB？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由．     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

巧用“齐次化”解决圆锥曲线中的定点定值问题

<正>定值与定点问题是圆锥曲线中典型的问题,其中圆锥曲线C上的一定点M和两动点P,Q(异于点M),则动直线PQ过定点与直线MP,MQ的斜率之积(和)为定值密切相关.一、几个结论已知椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)上的一定点M(x₀,y₀)和两动点P,Q(异于点M),则有:     

对“椭圆中由两垂直直线引出的‘包络’”再研究

<正>笔者在《椭圆中由两垂直直线引出的“包络”》一文中得到这样一个结论:在平面直角坐标系中,圆的方程是x²+y²=r²(r>0),由点M(x₀,y₀)引两条相互垂直的动直线MP、MQ,这族直线PQ的包络线是一个椭圆,以原点O(0,0)和点M(x₀,y₀)为焦点,长轴长是槡2r²-x₀²-y₀²．在此基础上类比椭圆,提出过这样一个猜想:在平面直角坐标系中,椭圆的方程是■,由点M(x₀,y₀)■引两条相互垂直的动直线MP、MQ,与椭圆相交于P,Q两点,这族直线PQ的包络线是一个椭圆,其以M(x₀,y₀)和点■为焦点,长轴长是■．显然圆中的结论是椭圆的猜想的特殊情况,所以只需要证明椭圆中的猜想即可．这个猜想之所以难以证明,是因为...     

对一道椭圆试题的探究与拓展

1 题目呈现 已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为1/2 ,F1,F2 为椭圆C的左、右焦点,过F1且斜率不为零的直线l1交椭圆于P,Q两点,△F2PQ的周长为8. (1)求椭圆C 的方程; (2)设A 为椭圆的右顶点,直线AP ,AQ 分别交直线l2:x=-4于M ,N 两点,试判断以MN ...     

一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

08年全国卷Ⅰ第23题的另解

题已知O、A、B、C为同一直线上的四点,AB间的距离为l₁,BC间的距离为l₂.一物体自O点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A、B、C三点.已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等.求O与A的距离.