对一类解析几何问题的探究

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点,其中定点与定值问题是高考的难点与热点。本文推广了2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题的结论,并用所推广的结论证明2020年高考数学山东卷第22题和北京卷第20题,同时给出了证明此类问题的一般方法。     

2020年高考卷Ⅰ圆锥曲线压轴题的巧解与推广

高考中的圆锥曲线试题,虽然呈现的形式是具体曲线、具体数据,但深入研究,往往蕴含有圆锥曲线的通性.下面,以2020年高考全国卷Ⅰ理科数学第20题(卷Ⅰ文科数学第21题)为例,分别用齐次化与二次曲线系方程予以巧解,并作一般化推广.     

一道相交弦斜率和为定值问题的优化求解路径——以2022年新高考Ⅰ卷·21题为例

<正>在2017-2019年全国Ⅰ卷(理数)、2020-2022年新高考全国Ⅰ卷中,斜率和为定值的试题以6年4考高频率出现在高考卷中,其中2017年、2022年的圆锥曲线解答题题干以斜率和为定值为主要条件,2018年、2021年的圆锥曲线解答题以斜率和为定值为求解或求证的结论. 斜率和为定值的试题考查直线与圆锥曲线的位置关系的核心知识,也通过斜率与转化来综合考查考生的数学核心素养,如逻辑推理、数学运算等.考生常因为对斜率和为定值问题的转化方法不熟悉,缺乏寻找便捷运算途径的经验,出现了入题困难、计算量大,得分不理想的现象.本文以2022新高考Ⅰ卷21题的第一小题为例,分析斜率和问题的常见转化方法的优劣,寻找简捷的运算途径,减少运算量,突破解题障碍,优化求解路径.     

《数学通报》问题2688的探究与推广

圆锥曲线斜率和与斜率积为定值背景下的定点问题,广泛地出现在高考题和省市模拟题中,如2017年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题和22届江苏盐城、南京一模第21题等,近期也出现了斜率和与斜率积同时满足等式下的定点问题,如《数学通报》问题2688^[1].本文在此基础上进行了推广与证明,即斜率和与斜率积满足线性方程时的定点问题.     

斜率等积 面积定值——几道同源高考试题的探究

<正>研究2015年北京大学自主招生试题第14题,感觉问题似曾相识,经过探寻发现在近年高考中类似问题有2015年上海卷文科第22题理科第21题、2014年福建卷理科第19题.笔者经过解析高考试题、揭示问题背景、反思结论推广,终得圆锥曲线中在一定条件下"两直线斜率等积时,面积为定值"的性质,笔者现成文以供研讨.     

高中数学微专题教学研究

对2020年全国新高考Ⅰ卷第22题从试题解析、题源分析、探究推广、试题变式、教学价值等5个方面进行分析,发现此题的命题背景是圆锥曲线中的定点、定值问题,解决此类问题的基本思想和方法是课程标准要求掌握的通法、常法,结论可以推广到抛物线与双曲线.基于此,文章呈现了一堂通过问题串驱动学生从试题的解答到发现并提出新问题,进而探究并解答新问题的微专题教学活动.     

一道圆锥曲线问题的逆向探究和推广

本文研究2020年高考数学山东卷第22题及其几何背景,探究其逆命题的成立性。对原命题及其逆命题进行推广,将图形载体由椭圆延伸至双曲线和抛物线,并通过几何作图的方法得到问题中的定点。     

深度学习视域下的高三数学复习课教学实践——以“圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题”为例

以2023年高考数学新高考卷Ⅱ第21题为例,对圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题进行思考与探究。通过一题多解、多题一解,分析解决解析几何问题的策略,帮助学生突破思维障碍,提升其数学抽象、数学运算、逻辑推理和直观想象等素养。     

一类圆锥曲线中定值、定点、定直线问题的探究与拓展

圆锥曲线中的定值、定值、定直线问题,是解析几何中的经典问题,也是近几年高考及各地模拟考试的高频考点.文章对2022年全国数学理科甲卷第20题进行多角度探究,挖掘其几何背景,对一般情形的模型总结并进行应用.     

增强问题探究意识,提高数学解题能力——对一道高考题的探究、推广与反思

数学问题的解决有三个层层递进的境界,即就题论题,就题论法,就题论道。目前,许多中学生缺乏数学问题的探究意识,仅仅停留在"就题论题"的层次,不利于数学思维的培养,也无法使他们的解题能力得到提高。本文以2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题为原型,充分利用"几何画板"这一辅助工具,对解析几何中的定点、定值、定直线等问题进行深入探究,并用严谨的逻辑证明将相关模型和结论进行推广,为学生进行问题探究提供范式。     

“齐次化”巧解斜率和(积)问题——由2017年一道全国高考题想到的

<正>解析几何问题的难点之一是运算量较大,本文由2017年高考全国卷Ⅰ(理)第20题的解答获得启发(本文中例1),发现运用齐次化手段能减少运算量,可简便解决圆锥曲线上两点A、B与任一点(特别地如原点)连线的斜率和,斜率积的有关问题.这种方法的关键之处是解联立方程不是"消元",而是化为"齐次式".现整理成文,希望抛砖引玉.     

问题导向提升思维能力变式教学培养核心素养—–以“椭圆中的定点定值问题”为例

本文从2020年高考全国I卷理科第20题出发,探讨一类解析几何中的定点定值问题的通性通法和非对称结构的计算问题.从学情出发,进行问题导学和变式教学,帮助学生完善知识结构、提高问题分析与解决能力、发展数学核心素养.     

一类圆锥曲线中线段比值和为定值问题的解答及结论推广

本文通过华中师范大学第一附属中学2021届高考押题卷第21题解法的探究,得出了一类圆锥曲线问题中线段比和为定值问题的相关结论,并就结论进行了推广,对背景知识进行了深溯.     

2009年高考湖北卷理科第20题的证明及拓广

2009年高考湖北卷理科第20题是一道以抛物线为载体的解析几何题,第二问是动态几何中的定值存在性探索题,重点考查探究问题的能力和综合运用数学知识进行推理运算的能力.本文对此题的证明方法作一点探讨并对结论进行类比推广得出圆锥曲线一个比较完美的儿何性质.     

2015年全国课标Ⅱ卷(理科)第20题解法拓展

2015年全国数学高考课标Ⅱ卷(理科)总体上保持了近几年来的命题风格和试题特色。第20题是一道圆锥曲线的定值问题,该题较全面地考查了考生掌握基础知识与基本方法的程度,人手容易,但是要想完整解答,需要考生具备扎实的基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力。现对此题进行探究和拓展,供同学们参考。     

探索二元不等式约束条件下函数最值的求解

<正>二元方程条件下的最值问题历来是高考、竞赛、高校强基计划测试等考查的热点,近三年高考就有2020年新高考全国I卷第11题、新高考全国II卷第12题、天津卷第14题、江苏卷第12题,2022年新高考全国II卷第12题等,自然也吸引了众多数学教育工作者对此深入探讨,形成了日益成熟的解题理论(参见文[1][2]等).然而,此类试题的命题模式多年来鲜有变化,似有陷于僵化之嫌.如何改变问题呈现样态,减少考试固化给机械训练和大量刷题带来的收益,     

一道二元最值题的多视角探究

<正>二元约束条件下的最值问题解法多样，涉及多种数学思想，备受命题专家的关注，成为近几年高考考查的重点和热点．比如2020年全国Ⅱ卷第12题、2021年天津卷第14题、2022年新高考Ⅱ卷第12题等都进行了独立考查．另外，此类题型还与解析几何、三角、导数等大题相结合，考查二元函数最值的求解．如2021年全国乙卷第20题考查三角形面积的最大值、2022年全国甲卷理数第20题考查角度差的正切的最大值等．如何提高学生求解最值问题的能力一直困扰着一线教师．本文以一道最值问题为例，进行多角度探究．     

2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第21题的解法及背景探究

<正>2020年高考数学全国Ⅰ卷理科第21题主要考查导数公式、导数运算法则及利用导数判断函数单调性的方法,综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.本文对该题的解法及背景进行探究,以期对读者有一定启发.1 试题再现例1 (2020年全国Ⅰ卷理科21题)已知函     

重温高考题,逻辑推理与直观想象两翼齐飞

以2011年高考天津卷理科数学第19题第(3)问为研究对象,挖掘了该题二元函数求最值的背景,并由此启发采用定主元的方法解决问题;揭示了问题的几何背景,给出了两个引理和一个直观化的证明.最后把两个引理推广到一般的凹凸函数,并对命题做了推广.旨在深度提升学生的数学抽象、逻辑推理以及直观想象的数学核心素养.     

素养导向下对一道2023年高考试题的溯源探究与推广

本文在数学素养导向下,对2023年全国高考新课标I卷第16题予以溯源探究,并对试题结论进行推广.