弄清楚最大公约数与最小公倍数之间的隐藏关系

两个数与其最大公约数和最小公倍之间隐藏着种种关系，弄清这些关系，有助于提高解题能力。为了说明方便，先来研究一道实例。例１求２４与６０的最大公约数与最小公倍数。解：先分解质因数２４＝２×２×２×３６０＝２×２×３×５所求的最大公约数为２×２×３＝１２最小公倍数为２×２×２×３×５＝１２０如果进一步比较最大公约数和最小公倍数的乘积，１２×１２０＝１４４０，和两数的乘积２６×６０＝１４４０，发现１２×１２０＝２４×６０，可以得出：两个数的乘积，等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。掌握了这一关系，解…     

利用倍数关系解工程问题

解工程问题的模式一般是：根据分数的意义，先把工作总量看作单位“1”，用完成工作总量所需时间的倒数表示工作效率，然后用工作总量除以工作效率，就可求出完成这项工程的时间。本文另辟蹊径，利用工作效率间的倍数关系解答“工程问题”，这样做的目的，除了对“工程问题”提供一种新的解法之外，更重要的是开拓学生解应用题的思路，发展学生的创造性思维能力。例1摇有一批书，小明9天可装订3/4，小丽20天可装订5/6。小明和小丽两个人合作，几天可以装完?【分析与解答】由题意可知，小明装订书的工作效率是小丽的34×9÷56×20＝2(倍)，再…     

两步应用题》教学实录与评析

一、创设情境，提出问题（多媒体课件演示画面：草地上有２个院子，每个院子里有３座房子，房子前面有１２只小兔在跳舞。）师：请同学们仔细观察画面，你能提出什么数学问题吗？生１：草地上有１２只小兔在跳舞，它们平均住在身后的２个院子里，每个院子里住几只？生２：草地上有２个院子，每个院子里有３座房子，一共有几座房子？生３：１２只小兔平均住在６座房子里，每座房子里住几只？（教师有针对性地板书：每个院子里住几只？每座房子里住几只？）师：大家真了不起，提出这么多数学问题。由于时间关系，这节课我们把这两个同学提出的…     

创造性处理教材 适应学生的“学”

犤教例犦两次归总应用题“编筐小组每人每天编１６个筐，照这样计算，５个人４天一共编多少个筐？”有三种解答方法：①１６×５×４，②１６×４×５，③５×４×１６。实际教学中，学生理解这些方法都感到困难，更不用说说清解题思路了。产生的原因一方面由于应用题本身条件的相互干扰，另一方面也可能与教学中一般采用线段图来帮助学生思考有关。前些天听了一位青年教师的课很受启发。摘录教学片断如下：师：大头儿子用表示每人每天吃２个苹果，想一想，他用“”表示什么？生１：表示１人３天吃６个苹果。生２：也可以表示３人１天吃６个…     

巧用旋转法

题目如图１中，大正方形四条边，都和圆周相切，圆中有一内接小正方形。不用计算，说出大正方形面积是小正方形的几倍？小茗想：通常可以用具体数量代进去，算出两个正方形的面积，再求出大正方形面积是小正方形面积的几倍。可现在不准计算，我可不知从何下手了。小雨想：我把大正方形的边长设为a，它的面积就是a２，这时圆的直径是a，小正方形就可看作两个底为a，高为１２a的三角形，这两个三角形的面积为a×１２a÷２×２＝１２a２，所以大正方形面积是小正方形的a２÷１２a２＝２倍。小聪想：小雨的方法虽然不错，但还是用了计算，不符合…     

求最简分数的几种方法

题目：找出一个最简分数，使它的分数值大于１３而小于２３。要想正确解答这类分数题，其方法有如下几种：一、通分倍比把这两个分数首先进行通分，如果通分后发现两个分数的分子之间只相差１时，就要将其扩大一定的倍数（若是同分母则要直接扩倍，即把分子、分母都同时扩大２倍、３倍、４倍……）直到分子之间出现差大于１的数。例如：１６＜（）＜１５因为：１６＝５３０＝５×２３０×２＝１０６０１５＝６３０＝６×２３０×２＝１２６０所以大于１６而小于１５的分数的分子，就是１０６０与１２６０分子的中间数１１，所求的分数应是１…     

灵活思考,一题多解

应用题的解法往往不是唯一的，只要同学们能灵活地思考，就能得出不同的解法。例：一堆煤，计划每周烧１２吨，可以烧３０周，由于改进了技术，每周节约煤２吨，这堆煤实际可烧多少周？［解法一］因为这堆煤共有１２×３０＝３６０（吨），实际每周烧煤１２－２＝１０（吨），所以这堆煤实际可烧３６０÷１０＝３６（周）综合列式：１２×３０÷（１２－２）＝３６０÷１０＝３６（周）。［解法二］因为每周节约煤２吨，３０周一共可节约煤２×３０＝６０（吨），而实际每周烧煤１２－２＝１０（吨），那么节约的煤又可以烧６０÷１０＝６（…     

明理知法 贵在转化——第九册“一个数乘以小数”教学片断与评析

１．展示目标 ,引导转化师 :被乘数和乘数都是小数 ,我们不能直接计算 ,但能不能像上节课计算６．５×５那样 ,先把小数转化成整数 ,再按整数乘法计算呢？２．尝试转化 ,明确算理师 :请同学们试着做一做 :６．５×０．５ ,互相讨论、研究。师 :被乘数、乘数都转化成整数 ,各扩大了多少倍？被乘数和乘数扩大的倍数与积扩大的倍数有什么联系？怎样才能使乘得的积不变？生１ :６．５扩大１０倍是６５ ,０．５扩大１０倍是５,６５×５的积是３２５ ,要得到原来的积缩小１００倍是３．２５。生２ :被乘数和乘数各扩大１０倍 ,乘积就扩大１００倍 …     

一组奇妙的等积式

下午第三节课，初一（１）班数学兴趣小组的活动开始了，小芳抢先说：“最近，我发现一件趣事：你看，普普通通的数字１、２、３、６能够组成等积式１×６＝２×３，……”未等小芳说完，性急的小婷便急忙说道：“这很平常！这样的等积式能随口说出：１×４＝２×２，１×８＝２×４，……”心直口快的小芳打断小婷的话说：“１×６＝２×３的确很平常，但有趣的还在后头呢！我把这些数字从左到右搭配成两位数１２与６３，再分别把它们的十位与个位上的数互换，得到两位数２１与３６，结果１２×６３＝２１×３６＝７５６．”小婷被这等积式…     

答案以外的收获

一、案例师：３０÷８＝６０÷（）＝（）÷４，这道题括号里应填几呢？生１：因为３０÷８＝３……６，所以６０÷（）＝３……６，（）÷４＝３……６，第一个括号里填１８，第二个括号里也填１８。师：有道理！（面带微笑）生２：我还有一种方法，根据商不变性质，第二个算式中的被除数是第一个算式中被除数的２倍，那么除数也应扩大２倍，因此第二个算式中的除数填１６，同样，第三个算式中的被除数填１５。师：也非常有道理，你真了不起，敢于说出自己的想法。（竖起大拇指）生３：老师，他们两个说的都有道理，可填进去的数怎么不一样…     

巧妙方法解题两例

例１如图，已知ABCD为正方形，正方形CEFG的边长为６厘米，求阴影部分的面积。巧妙解法：图中正方形ABCD的边长为未知数，但它的变化并不引起正方形CEFG边长的变化，因此，我们可以将其边长假设为６厘米，则原图可转化为：显然阴影部分面积为：６×６÷２＝１８（平方厘米）同样，我们还可将正方形边长假设为０厘米（这时A点与C点重合），则原图可转化为：例２有三堆煤，共重１１６吨，已知第一堆煤的１２、第二堆煤的２３、第三堆煤的３４重量相等，求这三堆煤各重多少吨？巧妙解法：因为１２、２３和３４三个分数分子的最小公倍数…     

变更包装 豁然开朗

物品均有包装，数学题也有“包装”，而包装是否恰当，直接影响解题的“效益”。因此，如果适当变更题目的“包装”，往往能豁然开朗。一、变更算式的表现形式例１：６．２５×０．１６＋２６４×０．０６２５＋５．２×６．２５＋０．６２５×２０分析：根据积的变化规律，可变更上题的表现形式。６．２５×０．１６＋２６４×０．０６２５＋５．２×６．２５＋０．６２５×２０＝６．２５×０．１６＋２．６４×６．２５＋５．２×６．２５＋６．２５×２＝６．２５×（０．１６＋２．６４＋５．２＋２）＝６２．５二、变更应用题的叙述方…     

小学数学第六册部分思考题解答

小学数学第六册部分思考题解答黄百研练习十八：某年的９月有５个星期日。这一年的９月１日不是星期日，它是星期几？思路：９月份有３０天，每７天有一个星期日，如果有５个星期日，除了这５天，中间就有４个６天，６×４＝２４（天），２４天加５天是２９天，只余下１天...     

《归一问题》的几种类型及其解法

解归一问题，要先求出单位数量，然后再求要求的数。根据解题的不同步骤，归一问题可分为三种类型。先看两道例题：例１一副马犁２天可以耕地１６亩，照这样计算，６天可以耕地多少亩？例２一副马犁２天可以耕地１６亩，照这样计算，耕６４亩地需要多少天？对于例１题，如果先求出１天耕地多少亩，以它为标准，再求出６天耕地多少亩，即１６÷２×６＝４８（亩）。这种先求单一量，再用乘法求若干个单一量的归一问题，叫正归一问题。对于例２题，如果先求出１天耕地多少亩，再求出６４亩有多少个１天耕地的亩数，有多少个就是需要多少天，即…     

让思维展开翅膀

数学兴趣小组活动时，辅导老师出了一道题：“有一个长方体形状的木块，它的尺寸如下图所示（单位：厘米）。现在将它切成３块形状和大小完全一样的长方体。这３块长方体的表面积的和比原来木块的表面积增加了多少平方厘米？朱宇丹同学思索了一会儿，列出了算式：１２×６×２×２＝２８８（平方厘米）“朱宇丹解答对了吗？”辅导老师问。“朱宇丹解答对了。”郑星抢先说，“因为把原来的木块切成３个完全一样的长方体后，木块的表面积增加了４个截面的面积。”“还有不同的意见吗？”辅导老师问。这时，大家沉默不语。“从朱宇丹的解法中可…     

“商不变的规律”教学设计

一、设疑激趣先出示下面前三题 ,指名口算 ;再出示下面后三题 ,同桌两人比赛 ,一人用计算器算 ,一人口算。（３６×５）÷（１２×５）＝（３６×２）÷（１２×２）＝（３６×７）÷（１２×７）＝（３６÷３）÷（１２÷３）＝（３６÷８）÷（１２÷８）＝（３６÷１２）÷（１２÷１２）＝师 :好多用计算器算的同学赢了！口算的小朋友认为这个比赛不公平 ,是吧？那交换一下 ,再赛下面一道题 :（３６×１００…０）÷（１２×１００…０）＝１０个１０个生１ :等于２。生２ :等于３。师 :请你说说这一题为什么等于３呢？生２ :３６÷１２…     

这筐水果共有多少个

题目：筐里装有许多水果，已知有１７个不是苹果，有２１个不是梨子，苹果和梨子共２４个，问这筐水果共有多少个？分析与解答：根据题意，可列出如下关系式苹果数＋其它水果数＝２１＋）梨子数＋其它水果数＝１７２４＋其它水果数×２＝３８从上式中不难看出，其它水果数的２倍正好是（３８－２４）个，所以其它水果是（３８－２４）÷２＝７（个），这筐水果共有２４＋７＝３１（个）。答：这筐水果共有３１个。也可以这样思考：这筐水果中有１７个不是苹果，有２１个不是梨子，这说明苹果比梨子多２１－１７＝４（个），由此可求得：梨子…     

今年高考化学第33题的三种解法

解法一（高考命题组给出的解法）：（１）１ｃｍ３ 晶体中阴、阳离子总数＝１ ００ｃｍａ×１０－８ｃｍ３,１ｃｍ３晶体中Ｎｉ２ + -Ｏ２ -离子对数＝１ ００ｃｍａ×１０－８ｃｍ３× １２,密度＝（ １ ００ｃｍａ×１０－８ｃｍ）３×７４ ７ｇ ｍｏｌ－１２×６ ０２×１０２３ｍｏｌ－１×１ ００ｃｍ３＝６２ ０ａ３ ｇ．ｃｍ-３。（２）设１ｍｏｌＮｉ０ ９７Ｏ中含Ｎｉ３ + ｘｍｏｌ,Ｎｉ２ +（０．９７-ｘ）ｍｏｌ。根据电中性：３ｘｍｏｌ +２（０．９７ -ｘ）ｍｏｌ＝２×１ｍｏｌ,ｘ＝０．０６。Ｎｉ２ + 为（０．９７-ｘ）…     

动脑筋 想一想(67)——长方形数

上期问题答案把２０以内的自然数分别用相应数目的小圆点“●”来表示，哪些自然数能够摆成长方形，哪些不能，有什么规律呢？只要我们实际去摆一下，就会发现４，６，８，９，１０，１２，１４，１５，１６，１８，２０这些自然数能够摆成长方形（包括正方形），例如：●●●●●●●●●●３×５＝１５●●●●●有些自然数还可以用好几种方式摆成长方形，例如：●●●●●●●●●●●●●●●●２×６＝１２●●●●３×４＝１２●●●●而１，２，３，５，７，１１，１３，１７，１９这些自然数则不能摆成长方形（只能摆成线段），例如…     

系列有机硅化合物在297±2K温度下与OH、NO_3根及O_3的气态反应的动力学

目前已确定了［（ＣＨ３）４Ｓｉ）、［（ＣＨ３）３ＳｉＯＳｉ（ＣＨ３）３ＳｉＯ－）］、［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－）３）、［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－４）及［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－）５］在２９７±２Ｋ温度下与ＯＨ、ＮＯ３根及Ｏ３的气态反应的速度常数。它们与ＯＨ根ＮＯ３根及Ｏ３的气态反应的速度常数分别为（单位为ｃｍ３／克分子·秒）：［（ＣＨ３）４Ｓｉ］：１．００±１０－１２，＜８×１０－１７，＜７×１０－２１；［（ＣＨ３）３ＳｉＯ（ＣＨ３）３〕：１．３８×１０－１２，＜８×１０－１７，＜７×１０－２１；［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－）３］：５．２×１０－１３，＜２×１０－１６，＜３×１０－２０；［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－）４］：１．０１×１０－１２，＜２×１０－１６，＜３×１０－２０；［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－）５〕：１．５５×１０－１２，＜３×１０－１６，＜３×１０－２０。对于这些化合物的对流层迁移过程，它们与ＮＯ３根及Ｏ３的反应是无关紧要的。在对流层中，这些易挥发的有机硅化合物因与ＯＨ根反应而引起的计算寿命的变化范围为从［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－）５）的１０天到［（－（ＣＨ３）２ＳｉＯ－〕３］的３０天。