正余弦函数的有界性在解题中的应用

有些数学问题若能灵活利用正余弦函数的有界性,即|sinx|≤1,|cosx|≤1,则解题步骤大为简化.下面分七个方面举例说明其应用. 1、在求值中的应用     

正余弦函数值的有界性在解题中的应用

正余弦函数值的有界性,常常用来来计算有关极值的问题,这是一般学生比较熟悉的。但是同学们却常常忽略这个性质在解决其它有关数学问题中的应用,以至有的问题束手无策,或方法不当不能正确、简洁的解答。试举数例说明: 例一.在△ABC中,若2cosA+cosB+cosC=2。求证:A≤π/3。证明:由题设:     

正、余弦函数有界性的解题功能

如果x∈R,那么|sinx|≤1,|cosx|≤1,这就是正、余弦函数的有界性,在求解数学问题时,指导学生正确地运用此性质,对于发展学生的思维机智,提高学生的解题能力,大有裨益。本文就此作一些初步的探讨,供大家参考。     

正、余弦函数有界性的解题功能

如果xR,那么｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,这是三角函数中一个应用广泛的重要性质,恰当运用可以使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性这一隐含条件,则使同学们在解题过程中经常出现错误.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角度例1已知6sin3β-cos22α=6,求α,β.解原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6×(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1.∵｜sin3β｜≤1,∴sin3β=1,3β=2kπ+π2,即β=23kπ+π6(kZ).此时cos2α=0,2α=kπ+π2,即α=12kπ+π4(kZ).评注等式中含有两个未知数,如果不从正弦函数的有界性中挖掘出隐含条件寻找…     

正、余弦函数有界性的解题功能

｜sinx｜≤1、｜cosx｜≤1(x∈R),是三角函数中广泛应用的重要性质,恰当运用可使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性,是解题过程中出现错误的常见原因.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角【例1】已知6sin3β-cos22α=6,求α、β.解:原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1因为｜sin3β｜≤1,所以sin3β=1,3β=2kπ 2π,即β=23kπ 6π(k∈Z),此时,cos2α=0,2α=kπ 2π,即α=12kπ 4π(k∈Z).评注:等式中含有两个未知数,需从正弦函数的有界性中挖掘隐含条件,寻找突破口.二、求最值【例2】求函…     

正余弦函数有界性的应用

正余弦函数的有界性是指当 x∈ R时 ,有 |sinx|≤ 1 ,|cosx|≤ 1 .在解一类与正、余弦函数有关的题目中 ,其能注意到其有界这一性质 ,可使问题得以顺利解决 .下面通过一些例子说明这一性质的应用 .　　1　求函数的值域或最大、最小值例 1 .求函数 y =( 2 cosx -1 ) / ( cosx 2 )的最大值及最小值 .解 :由 y =( 2 cosx -1 ) / ( cosx 2 )得 cosx =( 1 2 y) / ( 2 -y) .因为 |cosx|≤ 1 ,故 |( 1 2 y) / ( 2 -y) |≤ 1 .又因 3y2 8y -3≤ 0 ,则 -3≤ y≤ 1 / 3.从而函数的最大值为 1 / 3,最小值为 -3.例 2 .求函数 y =( 3 2 cosx sinx)…     

巧用正、余弦有界性解题

例1已知sinαsinβ=1,求cos（α＋β）的值． 分析求cos（α＋β）运用和角公式,根据条件sinαsinβ=1,直接求cosα cosβ,显得较困难．若从有界性,即｜sinα｜≤1,｜sinβ｜≤1出发,则可迎刃而解．     

正、余弦函数有界性的三大应用

函数的有界性是指:设函数f(x)的定义域为D,如果存在正数M,使得|f(x)|≤M对任意x∈D都成立,则称函数f(x)在D上有界.三角函数的图象与性质中,正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1],揭示了正、余     

正余弦代换在解题中的应用

有许多代数问题，若仔细分析其结构特征，引入适当的三角代换，借助三角函数的性质或三角公式，往往可突破解题的难点，获得简捷解法．下面浅谈常用的三角代换-正余弦代换在解题中的应用．     

正余弦函数值域的应用

我们知道,正、余弦函数满足|sinx|≤1,|cosx|≤1.下面举例说明它的应用. 例1.若实数x满足等式log_2x 2sinθ=3,求|x-2| |x-32|的值.     

正余弦函数的对称性

在正余弦函数的教学中，经常会遇到两类问题：一是关于直线x=a轴对称，二是关于点（a，o）中心对称，本就这两方面的问题进行探讨，以飨读。     

自制教具在正余弦函数的图象教学中的应用尝试

<正>三角函数是基本初等函数之一,是描述客观世界周期性变化规律的重要数学模型.通过对三角函数的学习,能进一步加深对函数的理解;通过对三角恒等变形的学习,能体会问题表现形式的多样性与统一性;通过对解三角形的学习,能深化对"普遍联系"的认识.而正弦函数、余弦函数的图象是学习三角函数图象与性质的入门课,是三角函数的核心内容之一,其重要性不言而喻.图象法作为研究函数的一种常用方法,是从     

正余弦函数性质的推广

正弦函数和余弦函数分别是奇函数和偶函数,又是周期函数和在R上的可导函数,本文对这两个函数的性质进行挖掘,推广到一类函数的情况．     

正余弦函数性质的拓展

利用教材给出的正余弦函数的一个性质,拓展、探究函数的奇偶性、对称性和周期性之间的关系,挖掘教材中所蕴含的数学概念、性质和方法的内涵与外延,培养学生的发散思维能力。     

正余弦函数图像的对称性

学了正余弦函数的图像和性质以后,同学们掌握了“正弦函数是奇函数,它的图像关于原点成中心对称图形;余弦函数是偶函数,它的图像关于y轴成轴对称图形”.仅知道这些知识是不够的,应看到正余弦函数的图像既是轴对称图形又是中心对称图形.高考中常对这类问题进行考查.下面谈谈这类对称问题.     

妙用正余弦平方差公式解题

现行高中《数学》第一册(下)(试验修订本)习题4.6第41页第7题中有这样一个结论:sin(α β)sin(α-β)=sin2α-sin2β,cos(α β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.这两     

正余弦函数的对称问题

正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像都有对称轴,也都有对称中心。在常见的习题中有许多和对称轴。对称中心有关的习题。现简述如下:1 正余弦函数的对称轴正弦型函数y=sin(ωx (?))的对称轴,实质是使y=sin(ωx (?))=±1时的x值组成。y=cos(ωx (?))的对称轴实质是使y=     

利用正、余弦的性质解题

在直角三角形中,由于直角边总小于斜边,因此有（∠A为Rt△ABC中的锐角）     

正、余弦函数的轴对称性

教科书介绍的三角函数的性质有定义域、值域、最大值、最小值、奇偶性、单调性、周期性,没有介绍三角函数的轴对称性,我们通过函数的奇偶性知道y轴是余弦函数的一条对称轴,此外,余弦函数还有很多条对称轴.正弦函数也有很多条对称轴.本文介绍三角函数的轴对称性及在解答高考试题中的应用.     

关于三角函数的最值问题——利用正余弦函数的有界性求最值

三角函数的最值问题涉及范围广,方法典型独特、多种多样,有些解法又有较强的技巧性,是三角函数一章学习中的重点和难点．下面介绍几种可利用正余弦函数有界性来求解的题型．