一个定理的引申——对一道解析几何例题的再探究

文[1]对高中数学(试验修订本·必修)第二册(上)P130例2:“直线y=x?2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB(如图1)”进行探究,得到如下结论:若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,则OA⊥OB?直线l过定点(2p,0).文[2]在上述命题的基础上作了进一步的探究,得到如下的定理:定理若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,C(x0,y0)为抛物线上不同于点A、B的一定点,若直线CA、CB的斜率存在且分别记为k CA、k CB,则k CA?k CB=d(d为定值)?直线l过定点200(2,)2y p yp?d?.(如上右图)本文在上述定理的基础上作进一步探究,对定理进行引申.1由“k CA…     

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y).     

一道课本例题的再探究

如何把生动活泼的学习过程和知识技能的掌握统一起来 ,使“探究新知”成为学生思维发展的重要途径 ?在数学教学中应引导学生学会对所研究的问题进行概括、提炼 ,学会从具体事物中抽象出共同的、本质的特征 .本文试对全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )数学第二册 (上 )第 13 0页例 2作一点探究 .题目　如图 1,直线y=x -2与抛物线y2 =2x相交于点A、B ,求证 :OA⊥OB .关于本题有如下的命题成立 :若直线l与抛物线y2 =2 px相交于点A、B ,则OA ⊥OB 直线l过定点 (2p ,0 ) .本文在上述命题的基础上作进一步的探究 .如图 1,一个自…     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…     

圆锥曲线的弦对顶点张直角的一组性质

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件:设直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,则OA⊥OB(O是坐标原点)的充要条件是直线l过定点(2p,0).文[1]还对有心圆锥曲线的弦对对称中心张直角进行了研究并获得了一组结论.本文给出关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件.定理1设椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A,上、下顶点分别为B、B1,直线l与椭圆交于C、D两点,则(1)AC⊥AD的充要条件是直线l过定点M1(a(aa22+-bb22),0);(2)A1C⊥A1D的充要条件是直线l过定点M2(-a(aa22+-b b22),0);(3)BC⊥BD的充要条件是…     

抛物线上存在轴对称点的充要条件

经过对抛物线上存在轴对称点的条件的探究,获得了下面的结果.定理1:设抛物线E:x2=2py(p>0)和直线l:y=kx b,当且仅当2k22 1相似文献   

圆锥曲线定点弦与定直线相关性的推广

经文[1]~[4]的不断研究,文[4]得到了圆锥曲线定点弦与定直线相关性的如下两个性质:性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的过定点F(m,0)(m≠0,且m0,b>0)的过定点F(m,0)(m>a)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=a2/m.性质2抛物线y2=2px(p>0)的过定点F(m,0)(m>0)的两条动弦AC、BD的两端点的连线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则点M、N的轨迹都是定直线l:x=?m.本文将这两个性质推广到一般的情形,以更深刻揭示圆锥曲线的几何特征.定理过定点F(x0,y0)的两条动直线AC、BD分别与圆锥曲线相交于点A、B、C、D.设直线AB、CD相交于点M,AD、BC相交于点N,则(1)当圆锥曲线为椭圆22ax2+by2=1(a>b>0),且F(x0,y0)不为坐标原点时,点M、N的轨迹都是定直线l:xa02x+yb02y=1;(2)当圆锥曲线为双曲线22ax2?by2=1(a>0,b>0),且点F(x0,y0)不为坐标原点时,点M...     

点击抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在…     

韦达定理的一种几何解释

定理设抛物线y=x2 bx c与x轴交于A,B,与y轴交于C,则△ABC的外接圆过定点D(0,1).     

圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质

最近文[2]对文[1]中关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件作了推广,得出椭圆和双曲线的弦对顶点张直角的几个充要条件.本文我们要探讨的问题是将圆锥曲线的顶点改为圆锥曲线上其它任意的一个定点时,若所张角依然为直角,那么弦会过定点吗?反之弦过此定点时,弦所张角会为直角吗?回答是肯定的,即有下面的:定理1设直线l交椭圆xa22+by22=1(a>b>0)于A,B两点,点M(x0,y0)是椭圆上不同于A,B两点的一个定点,则MA⊥MB的充要条件是直线l过定点Nx0(a2-b2)a2+b2,y0(ab22+-ba22).证明先证必要性:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入方程x2a2…     

抛物线中的两个定理及其应用

一、两个定理及其推论 定理1:过点(k,0)作一条直线和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则x1x2=k2,y1y2=-2pk.     

由一个例题到圆锥曲线“相交弦定理”的探索

例已知抛物线y2=4x外一点P(5/2,1)．(1)过点P的直线l与抛物线交于A、B两点,若点P刚好为弦AB的中点．(Ⅰ)求直线l的方程; (Ⅱ)若过线段AB上任一点P1(不含端点A、B)作倾斜角为π-arctan2的直线l1交于A1、B1两点,求证:|P1A|·|P1B|=|P1A1|·|P1B1|．分析:(Ⅰ)y=2x-4;     

抛物线的一个美妙性质

定理 若动直线l过一个定点T（m,0）,（m〉0）,且和抛物线y^2=2px（p〉0）相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,OA,OB所在直线的斜率分别记为k1,k2,则有下列结论：     

抛物线的一个定理及应用

定理过点(k,0)作直线AB和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有x1x2=k2,y1y2=-2pk.证明设直线AB的方程为x=my+k,代入y2=2px,有y2-2pmy-2pk=0.因为直线AB与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,于是y1y2=-2pk.由y21y22=4p2x1x2,得到x1x2=y21y224p2=4p2k24p2=k2.推论(焦点弦定理)若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2=-p2,x1x2=p24.在解决某些与抛物线相关问题的时候,应用该定理和推论的内容,能简洁、快速地解题,同时也能达到优化解题过程的目的.例1如图1所示,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0…     

一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

抛物线定点弦的几个有趣性质

对抛物线的定点弦深入研究,能得到很多有趣的性质.本文给出五个和抛物线的定点弦有关的定值性质.性质1若直线l过定点M(m,0)(m∈R),且和抛物线y2=2px(p>0)相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2均为定值.     

一道中考题的破题思路

题目如图1,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-5)和(-2,4).(1)求这条抛物线的解析式.(2)设此抛物线与直线y=x相交于点A和点B(点B在点A的右侧),平行于y轴的直线x=m(0相似文献   

数学问答

17.已知直线x y=0,x-y=0,点P(1,2),过点P作直线l与这条直线交于x轴上方的两点A、B,当△ABO面积最小时,求l直线方程.(广西张晓妹)学生数理化中高二版解:过P(1,2)作PD⊥OA于D,作PE⊥OB于E.则PD=22,PE=322.设AD=t,则PBEE=APDDBE=PEA·DPD=23t.S△ABO=12OA·OB=12322 t22 23t=213 22t 94t2=23 42t 29t≥23 42·229=3.当且仅当t=29t时,即t=322时上式取等号,此时A(2,2).故直线l的方程为y=2.(河南介志刚)18.设点C(a,b)(ab≠0)为定点,过点C作两条互相垂直的直线l1与l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求:(1)线段AB的中点M(x,y)…     

一道高考题的几种求解策略

问题：给定抛物线C：y^2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于于A、B两点，设FB=λAF，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．     

一道全国联赛试题的思考

题目 :已知点 A(1,2 ) ,过点 (5 ,- 2 )的直线与抛物线 y2 =4x交于另外两点 B,C,那么△ABC是 (　 )(A)锐角三角形　 (B)钝角三角形(C)直角三角形　 (D)答案不确定(1999年全国高中数学联合竞赛试题 )答案选 (C) ,解答略 .原题可以改述为 :过点 A(1,2 )的两条互相垂直的直线与抛物线交于另外两点 B,C,则过 B,C两点的直线恒过定点 (5 ,- 2 ) .思考 1　显然点 A(1,2 )是抛物线 y2 =4x的通径的一个端点 ,一般地 ,抛物线 y2 =2 px的通径的端点是否也具有这一性质 ?答案是肯定的 .过点 A(p2 ,p)的两条互相垂直的直线与抛物线 y2 =2 px相交…