从一道预赛试题探究椭圆焦点三角形外接圆的性质

<正>1题目呈现(2019年江西省预赛第9题)如图1,椭圆C的两焦点为F_1、F_2,两准线为l_1、l_2.过椭圆上一点P,作平行于F_1F_2的直线分别交l_1、l_2于M_1、M_2,直线M_1F_1与M_2F_2交于点Q.证明:P、F_1、Q,F_2四点共圆.     

线性映射的零空间与值域的若干性质

本文讨论了数域F上向量空间上线性映射的零空间和值域的一些性质,证明了秩与零度定理,并研究了n维向量空间V上的两个线性变换的零空间和值域之间的关系。     

有心圆锥曲线的一个性质的推广

1引言文[1]给出了有心圆锥曲线22ax2±by2=1上一点P,PP'为曲线的直径,点Q为过P点切线与x轴的交点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,P'M,P'N分别交x轴于M0,N0,则总有OM0=ON0.文[1]未指出:文中的性质能够推广到更一般的情形吗?回答是肯定的,我们有:推广设P为有心圆锥曲线22xa2±by2=1上一点,PP'为曲线直径,点Q为过P点切线上任意一点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,直线QO交P'M,P'N分别于M0,N0,则总有OM0=ON0.2推广的证明分两种情况(1)当曲线为22ax2 by2=1时,如右图.设P(a cosθ,bsinθ),则P'(?a cosθ,?b sinθ),过P点的切线方程为…     

引导探究，提高能力

在课堂教学研究无理型函数值域求法的过程中,我们遇上这么一个问题:求函数 22125245yxxxx=-+--+ 的值域. 这类问题的解决方法通常是构造应用两点间的距离公式,转化为动点到两定点的距离的和、差问题,再利用三角形不等式(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边),求其最值. 分析 函数 22125245yxxxx=-+--+ 2222(6)(04)(2)(01)xx=-+---+- 即动点(,0)Px到定点(6,4)A的距离与点P到定点(2,1)B的距离的差的取值范围. 由右图数形结合 知,当点P为直线AB 与x轴的交点时, y取 得最大值,直线AB的 方程为1y-=3(x- 2)/4,令0y=, 解得x=2/3.即2/3x=…     

数形结合,相映成辉——巧构图形解竞赛和高考题

数形结合是中学数学的重要思想方法之一,数与形是数学的两翼,是我们解决数学问题的一柄双刃利剑,活用数形结合,可以培养不循常规、不拘常法、不落俗套的创新思维.例1　(1996年全国高中数学联赛试题)求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意θ∈[0,π2]恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18.分析1:设sinθ+cosθ=t(1≤t≤2),条件转化为不等式(x+t2+2)2+(x+at)2≥18恒成立,利用数形结合,由上式的结构特点,联想到构造距离,即只需求点P(x,x)到定点A(-t2-2,-at)距离平方的最小值不小于18即可.而点P(x,x)的轨迹为、象限的角平分线x-y…     

cosθ=cosθ1·cosθ2的一个妙用

在立体几何中,有一个常见的模型 如图1,已知直线a、b、l与平面α满足a(α, b(α, a∩b=P, P∈l, l与a、b成相等的角θ,在l上任取异于点P的Q点,过Q作QK⊥α于K,那么K点到直线a、b的距离相等,即K点落在∠APB(或其补角)的平分线所在的直线上,记∠QPK=θ1, ∠KPB=θ2,不难得到cosθ=cosθ1·cosθ2.     

对一道数学竞赛解几试题的探究与拓展

<正>一、真题呈现题目 (2019年全国高中数学联赛江西省预赛题)设椭圆C的两焦点为F_1、F_2,两准线为l_1、l_2,过椭圆上的一点P,作平行于F_1F_2的直线,分别交l_1、l_2于M_1、M_2,直线M_1F_1与M_2F_2交于点Q,证明:P、F_1、Q、F_2四点共圆.试题以椭圆为背景,考查了椭圆的相关性质,简洁优美,内涵丰富,完美地将几何、代数、三角融为一体,很好地考查了学生的数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养.     

准线的一个性质与应用举例

定理设P是圆锥曲线准线l上的一点,F、A是和准线l相对应的焦点和顶点,l交圆锥曲线的对称轴于一点H,e是离心率,p是焦点F到相应准线的距离,∠FPA=θ,则θ为锐角且有sinθ≤e/e+2(当且仅当|PH|=p/(√1+e)时取等号).     

三割线定理的推广

文[1]中的“三割线定理”可推广为:图1定理(如图1)自二次曲线L外一点P作直线交L于A,B,C,D,弦AD,BC交于Q,PQ交L于E,F,则1PE+P1F=P2Q.我们需要引理[2](如图1)自二次曲线L外一点P引切线PM,PN,M,N为切点,过P引割线PAB,PCD,交L于A,B,C,D,则AD,BC,MN共点.定理的证明以P为原点,过P任一割线为x轴建立坐标系,那么过P的直线的参数方程为x=tcosθ,y=tsinθ(t为参数).1设L:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,2则切点弦的方程为D2x+E2y+F=0.即Dx+Ey+2F=0.3考虑直线PEF:把1代入2得(Acos2θ+Bcosθ·sinθ+Csin2θ)t2+(Dcosθ+Esinθ)t+…     

秩2投影集的几何结构

Wigner定理指出Hilbert空间中秩1投影集上的等距满射由酉算子或反酉算子导出,Geher与Semrl将Wigner定理推广到了秩k的情形. Geher与Semrl在证明过程中利用了秩k投影集的几何性质刻画投影的正交性.讨论了4维空间H上秩2投影集P₂(H)的几何结构,指出P₂(H)中两两距离为1的投影至多有6个.     

《物质结构元素周期律》导析

1原子的组成1.1掌握原子的组成及3种基本微粒间的关系①原子(AZX)原子核质子(Z个,带正电)中子(A-Z)个不带电核外电子(Z个,带负电)②质子数决定元素的种类,质子数和中子数决定元素原子的种类,质子数和核外电子数决定微粒所带的电荷.③中性原子其质子数等于核外电子总数等于核电荷数,质量数等于质子数与中子数之和.阳离子其质子数大于核外电子总数,阳离子的正电荷数等于质子数与核外电子总数之差.阴离子其质子数小于核外电子总数,阴离子的负电荷数等于核外电子总数与质子数之差.1.2描述同位素的3个特点①同位素是指具有相同的质子数和不同…     

错在哪里

题 函数y=cosθ-2/sinθ(θ∈(0,π))的值域是_____. 分析cosθ-2/sinθ可以看作是经过点A(cosθ,sinθ)和点P(2,0)的真线AP的斜率.     

幂等算子核空间上的投影

记H为复可分无限维Hilbert空间,H上的有界线性算子F若满足F²=F,则称F为幂等算子,P₍N(F)),P_F分别为幂等算子F的核空间N(F),值域R(F)上正交投影.借助算子分块技巧,给出P_FP₍N(F))范数的表达式,进一步研究了P_QP₍N(Q))及P_Q-P₍N(Q))范数的最大值与最小值,其中Q是满足R(Q)=R(F)的H上的幂等算子.     

换个角度看焦点弦长度

1．斜率或倾斜角 定理1 过横向型圆锥曲线（焦点在x轴上）的焦点F作斜率为k或倾斜角为θ的直线,交圆锥曲线于P、Q两点,若离心率为e,焦点到相应准线的距离为P,则     

幂等算子组的联合谱

通过将问题简化为计算一个投影算子P和一个幂等算子Q的联合谱，得到两个幂等算子的联合谱.首先计算P和Q的值域投影的联合谱这一特殊情况，接着计算一般情况下的联合谱.最后讨论了I、P、Q的联合谱，通过这个特殊的联合谱，对P+Q和P-Q的谱进行了刻画.     

以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系——由新课标苏教版的一道习题引发的反思

习题经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线与抛物线相交于P1、Q1两点,求证:以线段P1Q1为直径的圆与抛物线的准线相切.证明设P1Q1的中点为M,点P1、Q1、M在抛物线准线上的射影分别为点P2、Q2、N,则P1P2=P1F,Q1Q2=Q1F.因为MN是直角梯形P1Q1Q2P2的中位线,所以MN=1/2(P1P2 Q1Q2)=12(P1F Q1F)=1/2P1Q1,圆心M到准线的距离等于圆的半径,所以此圆与准线相切.结论以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线相切.反思1若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应的准线相切,那么此圆锥曲线是否是抛物线?判断设圆锥曲线的焦点F,过焦点的弦为PQ,…     

也谈三角换元求一类无理函数的值域

贵刊2000年第11期第34页介绍了函数y(ac<0)值域的一种三角换元求法.但笔者认为,过程不简,运算量大,可改进为如下三角换元. 容易证明:若0≤x≤π/2,则 (1)当0<θ≤π/4时,sinθ≤sin(x+θ)≤1; (2)当π/4<θ<π/2时,cosθ≤sin(x+θ)≤1. 例1 求函数的值域. 解:所给函数化为     

求函数值域一例

在高中数学中,求函数的值域是一种较为复杂的问题,往往方法较为灵活.现举一例,给出多种解法,同学们可从中受到启发.例题求函数y=sinx2-cosx的值域.解法一:(利用三角函数的有界性)去分母化为sinx+ycosx=2y,即y2+1sin(x+φ)=2y.因为|sin(x+φ)|≤1,所以|2y|≤y2+1,即3y2≤1.解得值域是[-33,33].解法二:(利用解析几何方法)函数变形为:y=0-(-sinθ)2-cosθ.联想到斜率公式,(如图1)可知y是连结A(2,0)与圆x2+y2=1上的点(cosθ,-sinθ)的斜率.所求值域就是这斜率的取值范围.设AB,AC为两切线,它们的斜率分别是-33,33.所以值域是[-33,33].解法三:(…     

素环上的(θ,ψ)-Jordan导子

素环上的(θ,ψ)-Jordan导子在特殊的条件下是(θ,ψ)-导子.本文证明了特征不等于2的素环上的(θ,ψ)-Jordan导子就是(θ,ψ)-导子.     

cos_θ=cosθ_1·cosθ_2的一个妙用

在立体几何中 ,有一个常见的模型 :图 1　　　　　　　　图 2如图 1,已知直线a、b、l与平面α满足a α ,b α ,a∩b =P ,P∈l ,l与a、b成相等的角θ ,在l上任取异于点P的Q点 ,过Q作QK⊥α于K ,那么K点到直线a、b的距离相等 ,即K点落在∠APB(或其补角 )的平分线所在的直线上 ,记∠QPK =θ1 ,∠KPB =θ2 ,不难得到cosθ =cosθ1 ·cosθ2 .运用上述结论 ,可解决过空间一点P且与两直线 (包括二异面直线 )成等角的直线的条数问题 .2 0 0 4年高考数学 (湖北卷 )第 11题 :已知平面α与 β所成的二面角为 80° ,P为α、β外一定点 ,过点P…