一道课本习题的七种证法及其应用

题 过抛物球y~2=2Px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1 、y_2. 求证:y_1·y_2=-p_2.（中师教材《几何》第二册习题七第8题） 这一是道能培养学生的思维的广阔性、灵活性等多种思维品质的好题。现行高中及各类中等专业学校的《解析几何》教材中均有此题,笔者现将此题的七种证法及其结论在解题中的应用归纳整理出来,供同行参考。     

浅谈复习课教学中对课本习题的深入探讨

复习课教学中,对课本习题进行再探讨,是培养学生基本数学思想和方法的重要途径。近年来高考试题源于教材,有的是取教材中的原题或仿制类似题。为此复习课应紧扣教材,有的放矢,力争做到“以不变应万变”。实践证明,复习课教学从课本例习题出发,可前后串联综合,乃至适当的拓广、延伸等,可使学生对所讲问题既有熟悉感又有新奇感,在兴趣盎然中巩固旧知识,获取新知识,提高解题能力和思维能力,真乃是一举多得。下面以我的复习课教案一例,以抛砖引玉。 解析几何课本第99页习题第8题:过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两交点的纵坐标分别为y_1,y_2,求证:y_1·y_2=-p~2 .下面我从两个方面对此题作些探讨。     

注重思维方式 促进能力培养

习题“抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物物线相交,两个交点的纵坐标为y_1,y_2,求证:y_1y_2=-p~2”,教材上使用的是常规证法,但就教学的本意而言,应该“发展思维,培养能力”,不仅要传授知识,更重要的是培养学生的思维能力,发展学生的智力。因此,一定要注重思维方式,如何让学生从多渠道理解和认识知识,从思维方式的转换去掌握方法,形成技能。在逐步的思维迁移过程中培养学生发现新知识和新方法的能力,则是时代赋于数学教学的使命。如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法。如果运用逆向思维去思考,从要证的结论y_1·y_2=-p~2出发,把y_1和y_2在图形上表示出来,由于直观是创造活动和几何学之间的连杆,思维想象则是另一重要连杆,则思维可多方面的联想、它带有飞     

发挥习题变通功能

近几年高考试题,直接源于课本原型的约占一半,一些较难的试题,也是在教材基础上,加工而成。充分发挥教材中习题的功能,使得通过练习能起到举一反三的作用,非常重要。兹从多解多变方面,举一例说明。现行平面解析几何教材习题八中有这样一题:过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交的两交点的纵坐标为y_1、y_2,求证:y_1y_2=-p~2。这是一道基本题。利用它的多种解法,可以激发学生学习兴趣,发展联想能力,使学生     

有关圆锥曲线的两个题组

运用题组进行教学,可以把有关知识综合串联起来,有助于开拓学生的思路,培养综合运用的能力。本文介绍“圆锥曲线”中的两个题组。 (一)抛物线的焦点弦有着广泛的应用,围绕着焦点弦、切线、准线等可以组成很多题目。为了帮助学生理清头绪,我们首先复习统编教材上证过的两个题:(1)已知经过抛物线y~2=2px上两点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)的两条切线相交于点M(x_0,y_0)。求证x_0=(y_1y_2)/(2p),y_0=(y_1 y_2)/2。(解几课本第120页第6题)(2)过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2。求证y_1y_2=-p~2。(解几课本第111页第8题)在学生掌握了这两题的证法和结论     

巧设方程 避免疏漏

高中《平面解析几何》第99页有这样一道题: 题 过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2,求证:y_1y_2=-p~2。 教学参考书(人民教育出版社)上的解答如下: 设过焦点的直线为y=k(x-p/2)(k≠0),即     

一道课本习题的求解与引申探究

人教版高中《数学》教材第二册（上）第132页有这样一道习题：在椭圆x^2/45＋y^2/20=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直．笔者在教学过程中引导学生对此题给出了多种解法，并作了适当引申．     

从一道解析几何习题谈起——拟一次高中学生数学讲座

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》P.111的第8题:“过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1,y_2求证:y_1y_2=-p~2”。若设两个交点的横坐标为x_1,x_2,由y_1y_2=-p~2,易知x_1x_2=p~2/4,这就是说“抛物线焦点弦(经过焦点,并且两个端点在抛物线上的线段)的两个端点的横坐标之积是常数,纵坐标之积也是常数”。此结论很重要,它反映了抛物线焦点弦的一个重要性质。解题时,为了减少引进参数,若设抛物线y~2=     

一道课本习题的求解与引申探究

人教版高中《数学》教材第二册(上)第132页有这样一道习题:在椭圆 x~2/(45)+y~2/(20)=1上求一点,使它与两个焦点的连线互相垂直.笔者在教学过程中引导学生对此题给出了多种解法,并作了适当引申.1 问题的求解思路1:设所求的点为 P(x_0,y_0),两个焦点分别为 F_1(-5,0),F_2(5,0).     

一道课后习题的多种解法

课后习题是对课本知识的巩固和加深,很多高考题都能找到课本习题的影子.对于课后习题,在教学时,不能就题论题,要倡导学生一题多解、一题多思、一题多变,培养学生的发散思维能力和创新能力.图11问题呈现人教版选修2-1（A版）第73页习题：如图1,M是抛物线y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°,求｜FM｜.     

一堂解析几何的一题多变课

教学目的:通过教材上习题一题多变的训练,培养学生应变能力和创造性思维能力,使学生重视课本,逐步学会“举一反三”,提高学习的效率. 教学过程: 一、复习抛物线的通径概念,指出通径两端点的纵坐标之积为-p~2(结合教材解析几何甲种本p.111习题5讲解).进一步提问:在抛物线y~2=2px中,过焦点的弦不垂直于它的     

“y1y2=-p~2”的巧用

题目:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,求证:.y1y2=-p2. (全日制普通高级中学教科书(试验修订本,必修)数学第二册(上)P119习题8.5第7题. 这个结论是抛物线焦点弦的一个重要性质.其证法甚多读者自证.如果能灵活运用,解证抛物线焦点弦等较复杂的题目,能使解证题快速简捷,事半功倍之效果.现举例供参考:     

变换课本习题提高复习效益

在数学教学中 ,有目的有意识地引导学生将课本中习题进行一题多变 ,对加强学生“三基”训练和培养学生思维灵活性、广阔性、深刻性及创造性是十分有益的 .特别是高考复习时 ,能够避免题海战 ,起到举一反三、以一当十之功效 .现以高中《平面解析几何》(必修 )第 99页习题第 8题为例加以说明 .原题　过抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ的焦点的一条直线和这抛物线相交 ,两个交点Ａ、Ｂ的坐标分别为 (ｘ1,ｙ1)、(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :ｙ1ｙ2 =- ｐ2 .证明 (略 )1　逆向变换变题 1　已知抛物线方程 ｙ2 =2ｐｘ ,一条直线和这条抛物线相交于Ａ、Ｂ两点 ,其坐标分…     

一道课本习题的研究性教学偶得

高中数学教材(试验修订本.必修)第119页有 这样一道习题: 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和 此抛物线相交,两个交点的坐标为(x1,y1)和 (x2,y2),求证:x1x2=p2/4,y1y2=-p2. 这道题的结论也被称为抛物线焦点弦的性质. 然而如果在教学中仅把此题作为一道习题来处理或 作为一个性质去介绍就未免有点"入宝山而空返" 了.在实践中由于笔者陈题新讲、大胆放手、适时点 化,收到了意想不到的效果.     

从一道高考题看加强基本题训练

通用教材中有些习题看来较简单,学生也往往满足于解出了之。若我们在教学中能对这些基本而又有较广应用的习题作进一步讨论,对提高学生思维能方和解题能力都是有益的。一九八二年高考题中有这样一题: 抛物线y~2=2px的内接三角形有两边与抛物线x~2=2qy相切,则这三角形的第三边也与抛物线x~2=2qy相切。(图)     

利用定义解题类型例说

数学概念通常是以定义的形式表述的,因此利用定义解题能沟通数学问题内在的本质属性,常常能达到化繁为简、化难为易的效果。本文分类举例说明定义在解题中的运用。 1.利用圆锥曲线的定义 例1 在抛物线x~2=Ay上有两点A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2),满足|AB|=y_1 y_2 2。求证:点A,B和这抛物线的焦点三点共线,(1989年广东理工类第二卷第四题 证明:如图,抛物线的焦点为F(0.1)。准线方程为y=-1.点A、B到准线的距离分别为d_1=y_1 1,d_2=y_2 1。     

抛物线焦点弦性质的证法赏析

<正>题目过抛物线y²=2px(p> 0)的焦点F(p/2,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).证明:y_1y_2=-p2=2px(p> 0)的焦点F(p/2,0)的弦(焦点弦)与抛物线相交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).证明:y_1y_2=-p²,x_1x_2=p2,x_1x_2=p²/4.此抛物线性质问题的证法很多,下面是笔者在平时的教学中,归纳出几种方法,供读者欣赏.     

圆锥曲线的顶点与对应焦点的弦的性质的探索

教学中,课本上一道脍炙人口的解析几何题引起了我的兴趣.经过探究之后,得到了如下一些结论与同行共享.原题:过抛物线y2=2px焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点M、N的纵坐标为y1、y2.求证:y1y2=-p2.(人教版高中数学第二册(上)第119页习题8.5的第7题)其证明一般是这样的(如图     

一道课本习题的推广及其应用

人教版教材高二数学（上）第119页有这样一道习题：过抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p^2．这个命题可推广如下：已知抛物线y^2=2px（p〉0）及点E（a，0）（a〉0），过点E的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点。求证：y1y2=-2ap．     

完善三道题的解法

现行高级中学课本《平面解析几何》(甲种本)的《教学参考书》中有三道题的解法值得完善。 1.第110页习题八第2题:“取经过焦点F且垂直于准线l的直线为轴,推导抛物线的标准方程”。《教学参考书》上答案是“抛物线方程是x~2=2py(p>0)”。这种解答遗漏了一个抛物线方程x~2=-2py(p>0)。原因是只考虑点在y轴的正半轴上,却忘记了焦点也可在y轴的负半轴上。 2.第111页第8题:“过抛物线y~2=