含参数的二次方程的解法

题目已知关于x的方程x2+(1-2m)x+m2-m=0有两个根,其中一个根大于2,一个根小于2,求m的取值范围.     

确定二次方程实根范围的方法

<正> 对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(c≠0)两实根范围的问题,除有一根大于零而另一根小于零,两根大于零,两根都小于零三种情形较简单外.其余情形的讨论都较难,本文现介绍两种不同的方法以供大家参考. 例1 已知方程x2+(m+2)x+3=0的两根都比1大,求m     

对含字母的二次方程中六种错解情形的剖析

二次方程是今后学习二次函数的基础,也是解决某些综合性问题的基础.为打好基础,提高素质,现针对有关含字母的二次方程在解题中的错误举例剖析如下: 一、忽视判别式的条件而错例1 若x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根,则x12+x22的最大     

考虑问题要周详

<正>一元二次方程根的判别式b2-4ac揭示了根与系数之间的内在联系,利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况,是一元二次方程的重要内容.但有些同学因粗心大意,常常出现一些问题.举例说明如下:一、"少此一虑"致误例1若关于x的一元二次方程a2x2+(2a-1)x+1=0有两个实数根,则a的取值     

关于二次方程的一个定理及其应用

应用关于一元二次方程“‘’十b‘+c=o(a戈0)的根与系数关系的定理可以证明: 定理方程ax“十bx十c二o(a、0)的一根比另一根的k倍大m的充要条件是 kbZ一(k+1)“ae=仍a〔仍a一(沦一1)b〕。 例1.a为何值时,方程 (a+l):艺+(a一3)x+(a一5)=o的一根比另一根大3? 解:定理中取无=l,m二于则 (a一3)2一4(a十l)(a一5)=9(a+1)2, 5a=l或一马. J 例2.方程a:’十bl+。二2:3,求证6b2=25a。. 解:设两根为::,::.有0两根之比一为则21二2:,/3艺a、.了扣一(;·即6b2=25ae. 例3.求证:无论。戈1为任何数,方程 4(明一1)2x2+4(阴一1)(切+3)才 +(仍+1)(”弓+5)=0恒有…     

初三代数综合训练

一、单项选择题 1.若k为实数,则关于x的方程x~2+(2k+1)x+k-1=0的根的情况是().(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根     

解题中的联想

例1已知(二一x)’一4(x一y)(y一z)~O,且x笋y.求证:Zy一x+z. 分析根据已知,联想到一元二次方程根的判别式△一犷一4ac.因此,可构造一元二次方程(x一y)tz+(二一x)t+(y一劝一。 丫△一(z一x)2一4(x一y)(一二)~O, :.此方程有两个相等的实数根. 观察到方程各项系数之和为。,故知有一根为1,则另一根也必为1,从而两根之积为1. y一之 X一y:.Zy一了+2.这样证明简捷明快,十分巧妙.例2已知:a、b、‘、d都是正数,证明:存在这样的三角形,它的三边等于了护+。2,丫砂十护十护+Zcd,丫彭+夕+砂+Zab,并计算这个三角形面积. 分析本题初看不容易理出头绪.我们…     

利用根的定义解题初探

数学的定义是建立数学大厦的基石,求与一元二次方程的根有关的代数式之值的问题时,若能恰当地用根的定义来解,则简捷明快,事半功倍.一、求代数式的值例1若m、n是关于x的方程x~2+(p一2)x+1=0的两个根,求代数式(m~2+mp+1)(n+np+1)的值.析解若展开变形求解,则相当繁冗.但依题意易想到方程根的定义,有m~2+(p-2)m+1=0,n~2+(p-2)n+1=0.再观察待求式,又可想到将此二式继而变形为m~2+mp+1=2m,     

一元二次方程错解分析

许多同学在解一元二次方程时,由于概念不清、理解不透,在解题中出现这样或那样的错误.本文列举了容易出错的几种情况,以期引起同学们的重视. 例1 a为何值时,方程a~2x~2+(2a-1)x+1=0有两个实数根?错解∵方程有两个实数根,     

《一元二次方程》单元测试卷

一、填空题1.关于x的方程(m-1)x2+(m+1)x+3m-1=0,当m时,是一元一次方程;当m时,是一元二次方程.2.当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.3.若连续两个奇数的积是15,则这两个数是.4.某厂2003年的钢产量是a吨,计划以后每一年比上一年的增长率为x,那么2005年的钢产量是吨.5.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m的值是.6.写出一个方程,使它的一个根是1,另一个根满足-1相似文献   

让学生多看妙解实例

大家知道,在方程ax~2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则必有一根为1,另一根为c/a。对于这一结论的证明,学生不会感到困难,但如何广泛而巧妙地应用这一结论,就有较大的难度。怎么办泥?我以为教师不妨多引导他们看着以下的妙解实例。 例1 已知方程(b-a)x~2+(a-c)x+(c-b)=0有两个相等的实数根,求证a+c=2b。     

一类区间上参数取值问题的解法

含参数的一次函数、二次函数在某区间上根的问题,是初中学习中综合性较强的内容.此类题目的解答一是有其特殊的方法,另外如果不填容易出现错误.现举例如下:例1已知函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上存在x0,使f(x0)=0,求实数a的取值范围.分析易知f(x)的图象在区间[-1,1]上为一条线段,且这条线段与x轴有交点.应该满足f(-1)·f(1)≤0,即(-5a+1)(a+1)≤0,解得a≤-1或a≥51.例2已知方程x2+(m-2)x+2m-1=0有具只有一个实根在(0,1)内,求实数m的取值范围.分析令f(x)=x2+(m-2)x+2m-1=0,图象为开口向上的抛物线,要使f(x)=0有具只有一个根在区间(0,1)内,…     

一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大,是中考特别是竞赛中的爬坡题型.本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法. 例1 已知方程x2+(α-6)x+α=0(α≠0)的两根都是整数,试求整数α的值. 思路分析:当α取值不同时,方程的系数就随之不同,方程的根的情况也就发生变化.究竟什么情况下,方程的两根都是整数呢?还是从根与系数的关系人手比较好. 解:设方程的两整数根为为x1、x2,根据根与系数关系得     

倒数方程解法综述

倒数方程是一种特殊的高次方程，它有四种基本类型，每种类型都有常规的解法。本文就从四个方面对这个问题作以综述。一、第一类型的偶次倒数方程的解法例1、解方程x~4+7x~3+14x~2+7x+1=0解：显然x=0不是方程的根，两边同除以x~2，得（x~2+(1/x~2)）+7（x+(1/x)）+14=0令x+(1/x)=y，测x~2+(1/x~2)=y~2-2测有y~2+7y+12=0（y+3）（y+4）=0∴y=3或y=4当x+(1/x)=-3时，x~2+3x+1=0     

用判别式解题不可忽视隐含条件

[题目]若关于x的方程2x+1√=x+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.错解一:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵方程有两个不同的实数根,∴△=(2m-2)2-4(m2-1)>0,即m<1.分析:此解法出错的原因是,思路停留在套用公式上,而完全忽视了题目给出的隐含条件.错解二:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵2x+1≥0,即x≥-12,设f(x)=x2+(2m-2)x+m2-1,则△>0,f(-12≥0 解得m<1.分析:错解二的思路是正确的,但却忽视了题目给出的另一个隐含条件x+m≥0.所以,本题的正确答案应是:12≤m<1.一般地,在判断形如ax2+bx+c=0,x∈(t1,t2)的二次…     

你知道韦达定理的作用吗?

在人教版初中《代数》第三册第十二章中,有一小节的内容是讲一元二次方程的根与系数的关系的。根与系数的关系可表述为“如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1·x2=ca”。对一元二次方程来说,根与系数的关系称为韦达定理。利用韦达定理,可以避免解方程的繁琐,直接把条件与条件、条件与结论连接起来,达到快速解题的目的。现以初中毕业、升学考试题为例来说明这个问题。例1.设x1,x2是关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0的两个实数根,当m取什么值时,(x1-x2)2=15?(江西省数学试题)分析:如果利用求根公式求出x1,x2,再代入(x1-x2)2=…     

利用数形结合思想解直线与抛物线综合题

<正>一次函数y=kx+b的图像是一条直线,其中b是直线与y轴交点的纵坐标,如果直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c综合起来再求b的相关值,题目就会增加很大难度.若充分利用数形结合思想来分析则可以巧妙解决此类问题.1直线与其它图像只有一个交点例1已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m=0.此方程有一个根是-3,在平面直角坐标系x Oy中,将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位,得到一个新的抛物线,当直线     

中考一元二次方程常见错解例析

一元二次方程是初中数学的主要内容之一,是中考的一个必考内容.同学们在解题时,由于考虑问题不全面,思维不严谨,常会出现这样或那样的错误.现举例分析,供参考. 一、忽视一元二次方程中二次项系数a≠0造成错误例1 (2001年济南市)已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2,求k的取值范围. 错解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴原方程为一元二次方程且△>0, 即(2k-1)2-4k2>0,     

初三数学期末检测题

(考试时间100分钟,总分100分) 一、选择题(每题4分,共32分) 1.下列各方程中,有两个相等实根的一元二次方程是( ). A.10x2+3x+5=0 B.3x2-4x-1=0 C. D. 2.若关于x的一元二次方程(a-2)x2+(1-2a)x+a=0有实数根,则( ).     

应用反证法证题

反证法是一种间接证法,它从"否定命题的结论"出发,通过正确的逻辑推理,推导出与已知条件、定义、公理或定理相矛盾的结果,从而"肯定这个命题真实".下面举例加以说明,供参考.一、证明与一元二次方程有关的问题.例题1已知a>2,b>2,请判断关于x的方程.x~2-(a+b)x+ab=0与x~2-abx+(a+b)=0有没有公共根;并说明理由.分析考虑应用反证法来证明,首先假设已知的两个方程有公共根,并把公共根代入到两个方程中,得出