错在哪里

四川蓬澳县教师进修学校周余孝题:、长函数夕=x+了Ib牙二乏5二无万的值 (封一x)三二10x一23一名望即Zx资一2(g+。)劣+(,,·厂23)二o⑤ ,.’劣是实数,又 .,.△==4(奋+5)2一心xZ(升子+23)势0解得3《肚‘7 将沙==3代入③得:=4满足②,,’.甘‘.,a’ 将,=7代入③得:=6满足②,稿。来.域解t‘.’夕=x+认10x一23一x,10x一23一劣2奋O5一斌万《丫《5+了万由①可得①②令得少。.二了。函数夕=x,亿1石无二乏丁而百的值域是〔3,7〕。 解答错了!错在哪里? 因为方程③是方程①的结果,即方程①的解都是方程③的解,但方程③的解不一定是方程①的解。事实上,…     

错在哪里

一、陕西省丹凤一县丹风中学许水兆来稿题:实数a满足什么条件,方程1 匹瓮多业·2‘。‘·2有解。来确定。解②易得: a》100,且a今100侧而即当a)100且a午100侧而时,原方程有解。 解:原方程可化为 109:x l叱:(lgaZ一劣)=2 109:(x一lgaZ一x么)=2即xZ一x.lgaZ 4=0 要使①有解,必须题江苏江阴市一中李尧亮未稿“为何值时,①方程 lgZx19(x 不=2有唯一解?“少戮即{.>0(21ga)“一16》0解由命怒厂20(a《1八00或a)100:.原方程当a〔(0,1八00〕U〔100, 二)时有解。.’ 解答错了!错在哪里? 错在原方程化为并非同解变形。事实上,原方程有解的充要条件是…     

错在哪里

一、江苏江阴市一中李亮尧来稿题:过点B(0,一的作椭圆=1(a>b>O)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(万,扩是椭圆上任一点,则{BMI“=护·、(,月一幻“ =尸傀一犷斗劝y一卜护由多十豁二,,知X艺二豁‘、一y·,, 二、江苏南通市十三中学黄尔慈来稿 题:若实系数方程护卜.l)x 叮二0的两根为l)、q,试求夕、叮之值。 解:夕、q为方程护十Px十q二O的两根,则P、了分别满足方程, 犷夕2 了,2 口=0 轰口‘十夕q g“O 解此方程组得:(解方程组的过程略)p二一衡.Jp二1g=一仓’tq二一2 .2nUn甘一一一一入尸q‘.矛、.,代入上式,得}BM!2二(1一a,/bZ)夕2 Zb夕 …     

对一道习题解法的思索

题目:求函数,一coso 扁的值域· 错解:由题知eosse[一1,o)U(o,l] 利用基本不等式,当coso〔[一1,0)时,y一coso 2__/,2_一、.一斗几(一2人/eos夕..止下-一2了2;当eoso任(0,1飞eoso一句‘V“-一eoso。’‘’习一~一“、、“’人J 2.__/。2_~时,y一c。叨 分石夯2人/c。s0·丁妥币一2了2.”J’J--一‘eoso夕一‘V‘“一“eoso“’“‘ 所以原函数的值域为 (一二,一2罕/万」u[2甲厂了,、一co) 错误原因:错解中的不等式的等号,当且仅当cos口 2。。。。_.~_.。,_~二,。~_一一三求刁,即co“’0一“时取,而}co”0}(1,因此等一号不可能成立. 那么该…     

错在哪里

1.江西遂川二中肖是明来稿(邮编:343900)即/APO连AO、 在△DPO一/DPO,DO 题若a渭是方程xZ一Zx+乏盆二o的两个根,且a,a+夕,夕成等比数列,求h的值。 解:’:a渭是方程扩一Zx十kz=0的两个根,△APO中丫AO二DO,┌─────┐│、\ ││ “、O │├─────┤│ J ││ / ││ / ││ / ││/ │└─────┘:.,,达定理得{a+夕二2a,夕=kZ①又‘:口,a+夕渭成等比数列.:.(a+口),=。·夕② 将①代入②得2,=尸解得k二土2 将k=士2代入原方程得 xZ一Zx+4=0,.’乙=(一2)2一4义1丫4=一12<0 :’满足条件的k值不存在。此题无解。 解答错了,…     

1991年四川省初中数学联赛决赛

一、已知a为实数,且关于、的方程x“一ax十a二O有二实根a,民试证:a“+口艺)2(a+夕). 二、解关于实数x,夕,‘的方程(8‘xz一27万2+9梦z)2+(3yz一y之+2之2一8劣)2+9“6x一x 2. 三、如图,在△ABC外作△BPC,△CQA,△ARB,使匕PBC=匕CAQ=45。,匕BCpe二艺QCA=30“,乙ABR二匕BAR=15“.求证:△PQR是等腰直角三角形.即aZ+刀2+Za夕一4a)0今aZ+刀“一Za)0. 所以,a“+口2)Za=2(a+厅). 二、解原方程化为 (szx么一27封2+99之)2+(3夕乞一夕z+222一sx)“十(x一3)2=0.由非负数的性质,有{于一{“2么{“2歹‘一27犷龙”吧二U二\3互‘一夕之十22…     

利用函数方程解题一例

我们知道斌1一千讶了不芍下的值是容易求出的,因为它的序列是单调递增且有界的,故极限必存在,设此极限为‘,则有,2二1、、即可得.班要生。 乙 但是求了1十Zv/1+3侧百不夕不的值就不那么容易了, (x歹1)显然,它满足函数方程 厂’(x)二1+万苦(J+1).不难观察到,L述函数方程的一个解是 f(x)二·工+1. 问题是足个解是唯一的吗了如果是唯一的,则应得:了厂斗·4、补“2’一2十’一3·一1-F一卜l护训﹀11丫等等的值就更普飞{污厂不万」一下一石、}土一卜~二~、… ‘V匕 厂/3\3.‘一代丁/二丁十上了夕了U,求困难柔女试图介绍一种利用函数方程解题(…     

例谈解二元二次方程组的思想方法

解二元二次方程组除运用转化的思想方法外,还有:一 一、降次、消元的思想方法 例1解方程组①②x”一少二3x十3y尹一xy+少一27:由①有:(x+户(二一户一3(x+y)~。,仁l卜解:.(二+必(x一y一3)=o(降次)故原方程组可化为以下两个方程组:}‘+夕一o,_lx‘一习十y乙一27{’厂’一3一夕,Lx‘一秒十少一27用消元法可求得方程组的解为:一一3,二3; q口XyIJI.了l~3,y、一一3;J一3一6,y3一3;一一3,~一6.八为了.沪护、几!、了.1.‘es.二、整体思考的思想方法例2已知方程组{二+夕十少卜的两组解为lJ{互}一“曰一乞;了2一a,夕:一b:.则alb。十uZ乃的值为 分…     

一类“希望杯”试题的统一解法与推广(高二、高三)

题， ·:[0， 图象关于直线x一阴)十c一。对称，则 二刁 艺」 已知a是方程x十五nx一1的根，且 声是方程x arcs动x一1的根，则 “十夕一 2”沃一Ze 1十mZ a 尹一 解 (第十六届“希望杯”高二培训) 将已知方程变形为 五nx一1一x， 口z‘五nx一1一x. 作出函数y~五nx，① y一ar“认     

抽象函数并不抽象(高一、高二、高三)

任取x>o,y>。且x祥y,则z才‘t、z了.‘、 1.讨论f(习的单调性 例1已知函数y一f(x)对于任意实数x,y都有f(xy)一f(x)·f(贝,且当x>1时,f(x)<1,又f(x)并0.试判断f(二)在(0, oo)上的单调性.九(x) 2几(y)一3几解设。1, X1f(x2).f(与<1. X1·f(1)及f(x)护0,f(1)一1,f(二)=f(1)二1,=(x 1)2 2(夕 1)2一3 2,一下丁戈x一y少‘夕U, O学)三沪川即九(X, 2九(:)>3、祥沪) 一一)、、声夕11,塑x1f(件历式=f又f(l)可推出且所以,,1、J又—)一 1f(二)即有f(xZ)f(二z)<1.而对于任意f(x)都有 f(x)一‘厂(石·丫万) 一f(石)·f(不石)一尹叮于),因为…     

化简二次曲线方程的简易方法

设一般二次曲线方程为 Axa十Bxy+O犷+Dx+E歹十F二。. (l) 1.若(l)为有心二次曲线,则可化为 A‘:““+C‘夕“一二F‘.(2) 我们来推导」‘,F‘,C‘的表达式.由于A’+C‘=A十C,BZ一4注C=一4几尹C’ ,,。,l/.J,~、、即A‘C‘一宁(4互‘一B“),A‘、C‘为方程 ,月.。、__.1月。。。、“一气八一r‘夕u宁二一气4八一U刀“)=O 住的二根(由于(1+C)一4。 (3)一(4AC一B)“l一4、、产盛,口,︸夕‘、=(A一C)““一BZ)0,且可以求得总有实根)_,1!_厂‘=二丁;六-下尸二苏丁丁!万 乙又。一4且‘夕} }D BD2口EE ZF (4) 例1.化简方程: 4:夕…     

一种特殊方程组的简捷解法

对于方程组: 厂2x一万一1~。 飞2;一二一1一D,、 我们通常用消元法求解,即从第一个方程中得到,一2x一1,代入第二个方程中解得,x一1,夕一1。下面介绍另一种简捷的解法. 先观察一下这个方程组,可以容易看出,将其中一个方程中的x与夕互换就得到了另一个方程,这也就是说,这两个方程中x与y所表示出来的函数关系是互为反函数.我们知道,互为反函数的两个函数的图象是关于直线夕一x对称的,它们的交点必在直线夕一x上,而二元方程组的解就是这两个方程所对应的两条曲线交点的坐标,因此,有如下性质:方程组{“一({· 忆x=T又g)和!“一‘(‘’或}’‘一…     

1983年广西高考预考数学试题(理工类)

一、填空(每小格3分,共15分)。极限卿(,十劲冬的值~;②函数,=x一1n(l+幻在_是减函数.在 ③从eos,是增函数;.lgx,}劣】+2,2劣及2x2中选择满足(甲)、(乙)条件的函数.填在小格里.‘甲,”“二,一‘。”,{1(乙)f(一二)二j恤)且j(0)二0 }.} 二、(8分) 方程妒十2邸+19(2砂一a)=0的两个实数根一正一负,且正根的值大于负根的绝对值,求a的取值范围。 三、(8分)已知:’‘a一3“”(。‘““烤), 求夕,“一刀的最大值. 四、(8分) 求证:函数,=3劣是方程梦『‘一奋俨二0的解. 五、(8分) 求由2、4、6、8、四个数字组成的所有没有重复数字的四位数之和. 六、(…     

美国数学竞赛题和解答

第四届(1975年) 1.(a)敲明 〔5刘弓一〔5川坏13洲一刃十〔3夕 刘,这里、,夕二0.其中「“〕表示不大于“的最大整数(例如〔丫丁]二1). (乙)利用(召)或不利用(a),敲明 (5,,2)乞(sn)1 而,:万汉不石呼一。)汉3,千石乃。’对任何正整数。,n均为整数。征(a)实际上我仍可以征明〔5刘十〔5夕〕)〔3、十y〕 厂3夕十劣〕详一〔万了 厅」 (1)祀了一二一〔刘,犷一,一[列,’那么O泛二‘<1,o《,‘(1. [5、〕 !5夕〕一[5[二] 5、,」 [5[y〕 5夕,〕 一5 tx}」一!5二‘〕 51,〕十15,‘〕, 〔3、十夕〕一于〔3夕斗一二〕 「劣〕 「夕〕 二3〔x} 〔y] 13.、‘ …     

巧用代换

在一元二次方程根与系数的关系、二次函数中,对于一些习题,巧用数量代换有利于拓宽解题思路,提高灵活应变能力.现举例如下. 例l已知方程尸一Zx一l一。,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根是原方程各根的平方. 解设所求新方程的根为y,则y一扩,…x一士丫y.把二一士厂歹代入原方程得 (土、今)“一2(士侧丁)一i一。,化简整理后得了一6y十1一0· 注本题一般用一元二次方程根与系数的关系来解.现用数量代换解亦较简捷. 例2将抛物线y,一粤、一4x+6向左平移:个单位,再向 一‘一“,~’‘一J上2--一’一’‘一”7一”‘一”‘’‘上平移3个单位,…     

数学练习题(十四)解答

润.设a与夕为尸一8x+1一。的二根,习之初;a“十声‘(儿为自然数)为一不能被7整除的整数. 证由根与系数白;关系知:a十刀一8,a·夕~1.当:二二1,2,3时,a+口一sa卫+夕“一(。一考一夕)“一Za·刀一64一2二62 。乙+‘月一‘己,尽,3一3·“,岁·(a十尽)一8:一犷_一逃88,命题显然成立.没当:<左时命题成立,则当九二k时十尸一2)二8(a七一‘十少“‘)一(a“一2+刀‘“2)…a充+夕‘=(a+夕)(a“一‘+夕是一‘)一a月(a‘一’+①以介一1易k有:护一’+尸一’一创砂一“十歹‘一“)一(砂一3十尸““)…②以②代入价担:、乏一L尸一63(a‘一2十尸““)一8(a走…     

一组解析几何试题(1982年日本高考题选译)

①②一、昭和医科大学题题设有二曲线,~护(1)(2) 红二尸一Zx+3求①和②的公切线在①上取一点P,在②上取一点口,p和p‘的夕坐标设为yl、一y,,作出直线AP和A’P‘的方程,可以求其交点.利用点(x,,万,)在椭圆上,消去x,、刀,即可. 解答平行于y轴的直线为x~x、,P、p’的坐标一没为②③线段pQ的中点设为R。图示点R所在的区域.解(功所求公切线设为y一ax+乙,对于①、②有 xZ一刀x一乙一O,xZ一(2+。)x+3一b一0。的判别式各为0, 即a“斗4b一0, (2+a)“一4(3一b)一0 解之a~2,b一一1. 答:歹~Zx一1. (2)设P(a,aZ)、Q(口,夕2一2口+3),中点R的坐标(X…     

从一道竞赛题的简捷解法谈一个恒等式的巧妙应用

第四届美国数学迫后赛(AIME)试题中有这样一道题: 多项式1一二 妙一二3十… 二‘。一xl7可以写成下列形式: 内 仍夕十心犷十几犷十… a,。,‘“ a:,万,7其中y二二 1,;*(‘==o,工,2,…,17)都是常数,求a:的值。 在安师大《中学数学文摘》(A)杂志1986年第四期中给出两种解法。转述如下: 解一:以二二y一1代入前一多项式,得1一(万一1) (万一i)2一(军一i)“ … (少一1)’6一(夕一i)’7,可得召2的 a。(工十1)“十…十a,7(x十工)’7 二1一州一护一xs十一 扩6一xl7对此式连续两次求导,可得 Za: 3·夕a。(戈 1)气-… 17,16aJ7(戈 1)‘6 二2一3 …     

精心联想 巧妙构造

构造方程(组) 例1。‘“=ab一实数a,乡9。求证ac满足a=6一乙,乙。由韦达逆定理联想到构造二次方程 之,一6之 c’ 9=O,a,白是它二根,再证它判别式等于零即可. 构造二次函数 例2.已知a,b,‘为△ABc三边,S为面积.求证a’ 石’ 。‘)4侧丁5. 设AD为BC边上的高,AD=h,BD=m,DC=n.则 a’ 乙气 c’一4了丁s =(m n)’ ,n乙 ,:‘ Zh“ 一2训丁(m十n)h.把右式看作几的二次函数厂(h),证明广(的)0即可。 构造恒等式 例3.求证(x y 劝“=(一x 夕十劝 (x一g 之)3 (x g一之)3 24x对之- 在恒等式(: 乙 c)“=a” 乙“ c. 3(a 乙)(乡 c)(c a)中命a=一x , …     

上海市1995年初中毕业中等学校招生文化考试数学试题

一、填空题(本题共25小题,每小题2分,满分50分)1一3的绝对值等J几2.计算:(一2)“一3.计算:m“一(3阴 ,n”)一4.计算:(a十Zb)(a一b)一5.计算:(a2/’)3一6.分解因式:,2一十52一6一7.如果分式兰卫…的值为零,那么二 8一元二次方程尹一x一1一。的根的判别式的值等于 9.如果一元二次方程的二次项系数为1,它的两个根分别为一l和2,那么这个方程是 10.方程了丁一二的根是 11.函数y一丫百二丁中,自变量二的取值范围是点(:‘的位置上.如果方〔一4,那么B(、’}竹民等)’ 21.如果一组数据厂,.狗,二,.‘二。,二。的方羊是2一加么数据(二,一3),行一3),(…