第37届IMO中国国家队选拔赛试题解答

一、以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D和E.过D、E作BC的垂线,垂足分别为F、G.线段DG、EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

第35届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1994—03—25) 1.求所有的由四个自然数a,b,c,d组成的数组,使数组中任意三个数的乘积除以剩下的一个数的余数都是1。 (中国科技大学李尚志 供题) 2.在n×n方格纸的每一方格中填入一个数,使得每一行和每一列都成等差数列,这样填好数的方格纸称为一个等差密码表,如     

第36届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1995-03-27) 一、求不能表示成|3~a-2~b|的最小素数p,这里a和b是非负整数。     

第34届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1993一04一04)1.对素数户)3,定义pZIF(,)一艺、,,。,二,二、_l}F(P川J、PZ一兀丁一{—万一一卜 自l尸!这里{x}~x一〔x〕,表示x的小数部分.求f(P)的值. (张筑生供题) 2.n是给定的自然数,、妻2.若a,b,。,d是自然数,且满足牛十共相似文献   

第34届IMO中国国家队选拔赛试题解答

1.解作120除以p一1的带余除法 120~q(P一1)十r,。(r成P一2.因为12。与P一1都是偶数,所以,也是偶数.定义G(P)一习‘·它们构成缩剩余系的一组代表).又因为 2(a,一1)G(P)三0(modP), 2(a‘一1)笋o(modP),所以,G(P)“0(modP).认对这种情形,1︸2根据费尔马小定理,对于k~ k,一1主l(modP)·所以,F(P)“G(P)(modP),,…,2于工有 ‘f(P)~生一{二丛丝-2 tP 下面判定哪些素数P)3属情形1.使得(P一1)}120的素数P〕3,有二,、_1 fF(P)lJ、Pj一-矛一、一~工一f ‘“尸 1丁G(P)l 2 t PJ’以下分两种情形讨论情形I:r一。.对这种情形,3,5,7,11,13,3…     

一道第37届IMO选拔赛试题的推广

题目(第37届IMO中国选拔赛试题): 以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG,EF交于点M.求证:AM⊥BC.     

一道第37届IMO选拔赛试题的椎广

题目（第37届IMO中国选拔赛试题）： 以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB,AC分别交于点D和E,过D,E分别作BC的垂线,垂足分别为F和G,线段DG,EF交于点M．     

第38届IMO中国国家队选拔考试试题

一、给定λ>1,设P是ΔABC外接圆的弧BAC上的一个动点,在射线BP和CP上分别取点U和V,使得BU=λBA,CV=λCA,在射线UV上取点Q,使得UQ=λUV,试求点Q的轨迹. (张筑生 供题) 二、有n支足球队进行比赛,每两队都赛一场,胜队得3分,负队得0分,平局各得1分,问一个队至少要得多少分,才能保证得分不少于该队的至多有k-1支队,其中2≤k     

第39届IMO中国国家队选拔考试试题

第一天 (1998-03-30 8:00～12:30) 一、求正整数k,使得 (a)对任意正整数n,不存在j满足0≤j≤n-k 1,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(j k-1)成等差数列; (b)存在正整数n,使得有j满足0≤j≤6n-k 2,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(j k-2)成等差数列.     

第40届IMO中国国家队选拔考试试题

第一天 (1999-04-01 8:00～12:30) 一、对于满足条件x_1 x_2 … x_n=1的非负实数x_1,x_2,…,x_n,求的最大值. (张筑生 供题) 二、试求满足以下条件的全部质数p: 对任一质数q相似文献   

第37届IMO试题解答

1.设ABCD是块矩形的板,|AB|=20,|BC|=12,这块板分成20×12个单位正方形。 设r是给定的正整数,当且仅当两个小方块的中心之间的距等于r~(1/2)时,可以把放在其中一个小方块里的硬币移到另一个小方块中。 在以A为顶点的小方块中放有一个硬币,我们     

第40届IMO中国国家队选拔考试

一、对于满足条件x1 x2 … xn=1的非负实数x1，x2，…，xn．求∑j=1^n(xj^4-xj^5)的最大值．     

第39届IMO中国国家队选拔考试

一、求正整数k,使得 (a)对任意正整数n,不存在j满足0≤j≤n-k 1,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(k-1)成等差数列; (b)存在正整数n,使得有j满足0≤j≤n-k 2,且C_n~j,C_n~(j 1),…,C_n~(j k-2)成等差数列.进一步求     

第38届IMO中国国家队选拔考试

第一天 (1997-04-01 8:00～12:30) 一、给定λ>1,设点P是△ABC外接圆的弧BAC上的一个动点,在射线BP和CP上分别取点U和V,使得BU=λBA,CV=λCA,在射线UV上取点Q,使得UQ=λUV,求点Q的轨迹.     

第28届IMO试题

第一试 地点:哈瓦那,日期:七月十日 (每题7分,时间4去小时) 1.命尸。帆)是集{1,2,…,。少爪保持无个点不动的排列的数「{.求证:」a,劣,nZ劣2汁‘”‘一“几忿“<卫二生-业 汤”一工乙。尸。(。犷、·二,!。 2.锐角三角形ABC的顶角山均内分角线交BC边于L,又交三角形的外接圆于万,过L分别作AB和AC边的垂线乙兀和L刃,垂足是K和M.求证:四边形」KNM的而积竹于三角形ABC的面积. 3.命z,,x:,二二n,是实数,满足条州、,2十:22+.二十‘二1.求证:对于何一整数无)2存在不全为。的整数a,,a:,…,。n使得」a‘J蕊无一l,对于所有的整数艺,井且 第二…     

第35届IMO试题

第35届IMO于1994年7月12日到7月19日在香港举行,69个国家和地区的385名选手参加了角逐。7月12日下午举行了开幕式,7月13日、14日两个上午举行了考试,7月16日下午阅卷、协调完毕,全部选手成绩打印装订成册,7月17日晚上,在香港科技大学承行了本届竞赛最后一次领队会议,经表决,获4O分、41分、42分者为金牌选手,获30分至39分者为银牌选手,19分至29分者为铜牌选手,在全部参赛选手中,有30名选手获金牌(约占全部     

第34届IMO试题

第一天(4个半小时,共三题,每题7分)1.设 f(x)=x~n+5x~n+3,其中 n 是一个大于1的整数.求证:f(x)不能表示为两个多项式的乘积,其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次.2.设 D 是锐角△ABC 内部的一个     

第51届IMO试题

第51届国际数学奥林匹克（IMO）于2010年7月2日至14日在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳（Astana）举行,来自98个国家及地区的517名学生参加了这次比赛。     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

第46届IMO试题

第一天1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选点A1、A2,在边CA上选点B1、B2,在边AB上选点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数.如果对每一个正整数n,整数a1,a2,…,an被n除后所得到的n个余数互不相同.证明:每个整数恰好在数列a1,a2,…中出现一次.3.正实数x、y、z满足xyz≥1,证明:x5-x2x5 y2 z2 y5y 5z-2y 2x2 z5=z5x-2z 2y2≥0.第二天4.数列a1,a2,…定义如下:an=2n 3n 6n-1(n=1,2,3,…).求与此数…