二重积分integral from n=a to b(dx) integral from n=c to d (f(x,y)dy)的柯特斯公式及其误差分析

重积分是高等数学的主要内容之一。柯特斯公式是定积分数值算法的一种重要方法,其具有误差精度高的优点,误差精度可达到6阶,将结合定积分柯特斯公式与二重积分的特点,将柯特斯公式推广到二重积分的情形。首先,给出了柯特斯公式的表达式及其误差公式;然后,将定积分的柯特斯公式推广到二重积分的情形,并结合积分中值定理推出其误差表达式。误差结果表明,推广到二重积分后的柯特斯公式仍具有6阶精度。     

无穷积分integral from n=a to (+∞)(f(x)dx)收敛,lim(f(x))=0所需的条件

本文给出了在无穷积分∫.f（x）dx收敛的前提下,limf（x）x→+∞=0所需的条件。     

integral from n=α to ∞(f(x)dx)收敛时,lim f(x)=0的条件

本文给出了无穷积分integral from n= to ∞(f(x)dx)收敛时,被积函数f(x)的一个条件,并给出了几个具体例子。     

关于广义积分integral from n=0 to +∞(e~(-x~2) dx)的计算和推广

推导出广义积分(?)e-x2dx结果,并且用微分以及偏微分方程等方法求出几种含有e-x2类型的广义积分,并给出了此积分的几个应用。     

多种方法巧妙计算积分integral from n=0 to +∞((sinx/x)dx)

通过二重积分、含参变量无穷积分、黎曼引理、傅立叶级数展开及复变函数中利用留数计算实积分integralfromn=0to+∞((sinx/x)dx)     

巧用“∫f(x)dx from b to a、■f(x,y)dxdy是一个常数”解题

定积分在《高等数学》中占有重要的地位,它具有十分丰富的内容,有关定积分的计算方法是"多姿多彩",令人"眼花缭乱",本文就利用"定积分是一个常数"这个简单结论,来分析它在定积分中解题时的技能与技巧,以资培养学生的解题能力.     

无穷积分integral from n=1 to ( ∞) (((sinx)/x)dx)的敛散性的判别和计算

本文就无穷积分0!sixn xdx这一反常积分问题,给出了Dirichlet判别法、留数计算法、Laplace变换(像函数积分法)、无穷级数(近似)计算法。这些无疑是解决诸如 ∞!sixn xdx类积分问题的有效手段。     

略谈integral from n=a to +∞ f(x)dx收敛与x→+∞ lim f(x)=0的关系

本文integral from n=a to +∞(f(x)dx)给出了在收敛的前提下,x→∞+limf(x)=0的若干充分条件。     

integral from n=a to b (f~(n+1)(x)·(b-x)~ndx)=?

在(1)式中,适当选取不同的函数f~(n+1)(x)和积分限a、b的值,就可以得到一些具体的定积分的计算公式。例如:     

关于integral from n=0 to 1 ((lnx)~2/(1+x~2))dx的计算

通过构造两个辅助函数f(t)及 φ(x) ,并分别将其展开为马克劳林级数及富里哀级数 ,在这两个级数各自收敛域内 ,当自变量t及x分别取某特定值时 ,得到同一级数 ,从而使这个积分问题得到了解决     

关于定积分integral from n=0 to 2π (1/(a~2sin~2u b~2cos~2u)~n)du(n∈N,a,b∈R~ )的计算

提供一类含有三角函数的定积分的计算方法及计算公式。     

integral from n=0 to (π/2)sin~n xdx与瓦里斯公式的一个应用

对与定积分integral from n=0 to (π/2)sin~n xdx有关的一些积分进行了讨论,介绍瓦里斯公式及其证明,给出了瓦里斯公式在级数研究中的应用问题。     

重要积分integral from n=0 to ( ∞)()sinx/xdx的几种证明方法

从不同角度给出了积分∫ ∞0sinxx dx七种不同的证明方法     

Bernoulli数与广义积分integral from n=0 to (+∞)｛〔x~(k-1)〕/〔e~x±1〕｝dx的精确表示

本文利用Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数,获得了两类重要广义积分ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｒｏｍ　ｎ＝０　ｔｏ（＋∞）｛〔ｘ~（ｋ－１）〕／〔ｅ~ｘ±１〕｝ｄｘ的精确 表达式,得到了它们与 г函数和ζ函数的奇妙关系,同时还给出两类积分在Ｅｕｌｅｒ 积分等方面的应用。     

∫ from x=a to ∞ (f(x)dx)收敛与(lim from x→ ∞ f(x))=0的关系

本文讨论了∫ ∞a f (x) dx收敛与 limx→ ∞f( x) =0的关系。首先举出反例说明 ,一般情况下∫ ∞a f( x) dx收敛不能推出 limx→ ∞f( x) =0 ;其次得到∫ ∞a f( x) dx收敛可以保证至少存在一列 {xn}∞n=1 ( xn→ ∞当 n→ ∞时 ) ,使得 limx→ ∞f( xn) =0成立 ;最后证明了如果 f( x)一致连续、或单调、或∫ ∞a f′( x) dx收敛 ,那么只要∫ ∞a f ( x) dx收敛 ,就有 limx→ ∞f( x) =0。     

关于无界函数广义积分integralfromn=atob(f(x)dx(a为奇点))的两个性质

由无穷限广义积分和无界函数的广义积分的关系,得出了无界函数的广义积分integral from n=a to b (f(x)dx(a为奇点))收敛的两个性质。     

“integral(1/x)dx=1+(integral(1/x)dx)”说明了什么

学过一元函数微积分的人都知道,分部积分法是一元函数积分的一个非常重要的方法,许多函数的不定积分离开分部积分是无法计算的。     

一类广义积分integral from n=0 to ∞( [sinαx/x])~ndx的计算

利用三角函数幂公式、L’Hospital法则、分部积分公式和数学归纳法,得到含有三角函数的第一类广义积分∫∞0sinαxxndx的计算公式,其中n≥2且α≠0.     

基于概率积分∫_(-∞)~(+∞)ae~(-bx2)dx=a((π/b)~(1/2))(b>0)的几种求法

基于比较特殊的概率积分∫_(-∞)~(+∞)e-x2dx=(π/(1/2)),给出了比较复杂的广义概率积分∫_(-∞)~(+∞)ae~(-bx2)dx=a((π/b)~(1/2))(b>0)的几种简便方法.     

定积分integral from n =0 to π/2(cosθ/(sinθ+cosθ))dθ的解法

定积分I=integral from n =0 to π/2(cosθ/(sinθ+cosθ))dθ有多种解法,除一般解法外,还有若干简单、灵巧的解法。以此为例,强调"一题多解"对学习数学的意义和作用。