对一个问题求解的再思索

1 问题及求解 不久前一位参加竞赛的同学问及这样一个问题： 已知凸四边形ABCD,AB=12、BC=13、CD=3、DA=4,求凸四边形ABCD面积的最大值．     

问题5.1解法

题目如图1,把一个任意凸四边形ABCD的一组对边分别3等分,连结对边分点,将四边形分为3块,试判断中间一块的面积是整个面积的几分之几,请说明理由. 结论四边形几了MGHN的面积是四边形ABCD 证明分别连结AG、GN、NC、AC.     

平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的:定理1平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有     

1991中国数学奥林匹克试题及其主要部分解答

1991中国数学奥林匹克试题一、平面上有一个凸四边形ABCD. (1)如果平面上存在一点P,使得△ABP,△BCP,△CDP和△DAP的面积都相等,问四边形ABCD要满足什么条件     

一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

第39届国际数学奥林匹克试题

第一天 1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部。证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。     

凸四边形的一个性质及其应用

<正>初中数学中的面积问题,一直是数学教学中必须面对的问题之一.尤其是涉及非特殊四边形面积问题(多涉及不规则图形面积的计算),无疑增加了解题的难度.为化解难点,本文介绍凸四边形的一个性质及其应用.一、性质如图1,已知凸四边形ABCD,对角线AC     

平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的：定理1 平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=C,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有4S≤√（-a＋b＋c＋d）（a-b＋c＋d）（a＋b-c＋d）（a＋b＋c-d） （1）,当且仅当四边形ABCD内接于圆时,式（1）取等号．     

1991年中国数学奥林匹克(第六届冬令营)试题及解答

一、平面上有一个凸四边形 ABCD.(1)如果平面上存在一点 P,使得△ABP,△BCP,△CDP,△DAP 面积都相等,问四边形 ABCD 应满足什么条件?(2)满足(1)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论.     

四边形的勃罗卡角范围

<正>如图,凸四边形ABCD中,点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=θ,则称点P是四边形ABCD的勃罗卡点,而θ叫四边形ABCD的勃罗卡角.本文给出四边形勃罗卡角的范围,并利用文[1][2]的结论,给出几个有趣几何不等式.定理若凸四边形ABCD的勃罗卡角为θ,     

四边形的一组新面积公式及其应用

本文借助于向量的数量积给出平面任意四边形的一组新面积公式,并举例介绍其应用.引理1对平面任意四边形ABCD,有SABCD=12AC·BD·sinα(其中,α是对角线AC、BD所成的角)图1证明:(1)如图1,若四边形ABCD是凸四边形,则SABCD=S△PAB S△PBC S△PCD S△PDA=12PA·PB·sin∠APB 12PB·     

变“任意”为“特殊”

例1 任意四边形ABCD(如图1),E、F、G、H为各边中点,那么四边形ABCD的面积是四边形EFGH面积的几倍?     

第39届IMO试题解答

1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部,证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 证明:先证必要性:即当A、B、C、D四点共圆时,有S_(△ABP)=S_(△CDP).     

研究中考试题 探究创新应用

如图1,任意凸四边形ABCD的对角线相交于O,记△ABO、△BCO、△CDO、△DAO．的面积分别为S1、S2、S3、S4．     

关于凸四边形的一个分划问题

给定一个凸四边形，引两条直线分一对对边成三等份（如图1），证明：夹在两直线间的面积为凸四边形面积的合．为了解决问题，如图1所示，连AG，＊H，PC，设凸人＊G，凸＊＊C的面积分别为工和。，那么凸＊＊H的面积等于今（X＋y）．事实上，它们的底相同，而凸EGH的高等于其它两三角形高的和的一半，如图2．．L述的论证对于图1中上边三个三角形同样适用、设其面积分别为。，专（ti＋v）和v，从而四边形ABCD的面积等于】（x＋y＋I。＋v），而四边形EGHF的面积等于】（。“y＋u＋v），gg为原四边形面积的j·更一般的结论：如果一组直…     

婆罗摩笈多定理和一道IMO题新证

第39届IMO第一题,是一个很有趣的几何题,题目如下: 题在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与CD不平行.点P为线段AB、CD垂直平分线的交点,且P点在四边形ABCD内部.证明:ABCD为圆内接四边形的充分而必要条件是:△ABP与△CDP的面积相等.     

评析引领教学走出"题海"的一道好题

1 问题提出 　　如图1,凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.……     

四边形边长与面积间的一个不等式

定理设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a,b,c,d和△,则有(a2 b2)(c2 d2)(b2 c2)(d2 a2)≥16△4.(1) 证明设四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,AC,BD交于O,夹角为θ,则ac bd≥mn.     

对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用

性质:对角线互相垂直的任意四边形性质的面积等于两条对角线乘积的一半.如图1:在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC⊥BD,垂足为P,则:四边形ABCD的面积=1/2AC×BD证明:因为AC⊥BD,所以S△ACD=1/2AC×DP,S△ACB=1/2AC×BP.因为四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB.     

凸四边形外接椭圆存在性的初等证明

三角形均有外接圆,而凸四边形在对角互补的条件下也存在外接圆,这是人们所熟知的,我们可以进一步地考察三角形与凸四边形外接椭圆的存在性问题,在本文中我们用几何的方法对这个问题作出肯定的回答,有下面的定理:定理任一凸四边形均存在外接椭圆.证明如图,四边形ABCD是任一凸四边形,如果它的对角互补,则它有外接圆,我们可把外接圆看作是凸四边形的一个特殊的外接椭圆.如果凸四边形ABCD的对角不互补,则必有一对角和小于180°,不妨设∠A ∠C<180°,且令∠B AC=α1,∠DAC=α2,∠B CA=α3,∠D CA=α4.(1)、若α1,α2,α3与α4均不等于90…