剖析不等式f(x)(g(x))(1/2)≥0的解法

在多年的教学中,我发现学生在求解形如f(x)g(x)≥0的不等式中往往会因为一些原因不清楚而得到错误的结论,究其原因不外乎对式子中的等号理解不透,如何处理这类题呢?下面就以一个例子作为说明.题目:解不等式(x-2)x2-4x 3≥0.误解一:原不等式等价于x-2≥0x2-4x 3≥0,化简得:x≥3,     

不等式F(x)·(√φ(x))≥0的解法探讨

一、引例 解不等式:(x-4)√x2-3x-4≥0 在一次练习中,几乎所有的学生都采用了如下解法: 原不等式等价于不等式组 {x-4≥0 {x≥4 x2-3x-4≥0 即 x≥4或x≤-1 故原不等式解集为|x|x≥4}     

sum (a/r_a)≥2(3~(1/3))的加强

文[1]建立有如下一个几何不等式;设△ABC的三边长为a、b、c,旁切圆半径为r_a、r_b、r_c,则\sum (a/r_a)≥2(2~(1/3))①其中∑表示循环和,下同.本文将①加强为7a>以aR十)一oV4R‘ 4Rr 3r‘其中R、厂分别是否ABC的外接圆和内切国半径.证明 设八**C的面积、半周长分别为A、S,由r.一A/(—a)等.知②等价于     

函数f(x)=λ_1((x-a)~(1/2)) λ_2((b-x)~(1/2))极值的又一种解法

题目所示函数在λ_1>0,λ_2>0,a相似文献   

不等式2((n+1)~(1/2)-n~(1/2))<1/n~(1/2)<2(n~(1/2)-(n-1)~(1/2))的推广

设n∈N,则有这是中学数学中一个熟知的不等式,它的一个熟知的用法是推出     

(a~2)~(1/2)与(a~(1/2))~2

正确认识与的含义,深刻理解与的相同点与不同点,是我们进行二次根式化简与计算的基础．一、相同点与都表示一个非负数．因为表示a2这个数的算术平方根,所以它是一个非负数,而是一个平方数,所以它也是一个非负数．二、不同点1．运算顺序不同．rp是光算。的平方,后进行开方,而（／z）’是先进行开平方,后进行平方．2．字母a的取值范围不同．由于运算顺序不同,所以。的取值范围也不同,As是先平方后开方,所以a可以取一切实数;由于负数不能开平方,故ffe）‘中apeo．3．化简后的形式不同．In是表示求／2这个数的算术平方根,故As20…     

巧用a~(1/2)≥0解题

注意到ａ表示非负数ａ的算术平方根 ,那么ａ≥ 0 ,对于某些与二次根式有关的问题 ,巧用这一性质 ,可使解题简易 ,下面实例说明。例 1　若ａ =ｘ +2 ,ｂ =3-ｘ ,化简 (ｘ +3) 2 +(ｘ - 4) 2 .解 :由ａ≥ 0 ,ｂ≥ 0 ,得ｘ +2≥ 0 ,3-ｘ≥ 0 .∴ - 2≤ｘ≤ 3.　∴ｘ +3>0 ,ｘ - 4<0 .原式 =|ｘ +3|+|ｘ - 4|=(ｘ +3) +(4 -ｘ) =7例 2　如果ｘ3+3ｘ2 =-ｘｘ +3,那么ｘ的取值范围是 (　　　 ) .Ａ .ｘ≤ 0 ;　　Ｂ .ｘ≥ - 3;　　Ｃ .0 <ｘ <3;　　Ｄ .- 3≤ｘ≤ 0 .解 :由ｘ3+3ｘ2 ≥ 0 ,得 -ｘｘ +3≥ 0 ,∵ｘ +3≥ 0 ,∴ -ｘ≥ 0 ,ｘ≤ 0∵ｘ …     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

二次根式中两个重要公式．不少同学对这两个公式常混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母a的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式人和M，因为它们都是算术平方根，所以被开方数都应该是一件负数．即中a≥0，中≥0．由于a2一定是非负数，所以中a可取一切实数．例如：无意义，而则有意足．又如中，只有当x≥3时才有意义，而根式中，x无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同表示算术平方根后再平方，而In表示先平方再算水平方根，因此它们的运算顺序不同．例如：（…     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

（ａ≥０）和＝｜ａ｜＝是二次根式中的两个重要公式．不少同学常把这两个公式混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母ａ的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式和，因为它们都表示算术平方根，所以被开方数都应该是非负数，即中ａ≥０，中ａ≥０．由于ａ２一定是非负数，所以中ａ可取一切实数．例如：（）２无意义，而则有意义．又如（）２．只有当ｘ≥３时才有意义，而根式中，Ｘ无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同（／二）。表示。的算术平方根的平方，而Ｉ…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析

∠QED，故QD＝QE，故AQ＋QB＝AQ＋QE＋BE＝AQ＋BP＋QD＝AD＋BP＝AB＋BP，即BQ＋AQ＝AB＋BP．思考四：引平行线证法９：过P引PD∥BQ交AB的延长线于D．（以下同证法１）《二次根式》一章内容中有两个重要等式：（１）（a√）２＝a（a≥０）；（２）a２√＝｜a｜＝a（a≥０），－a（a＜０） 许多同学由于对（a√）２与a２√认识不清，而出现解题错误．下面我们来讨论（a√）２与a２√的区别、联系，以及应用上述两个等式时需要注意的问题．一、区别１．数学含义不同．（a√）２表示a的算术平方根的平方，是幂的形式；而a…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

１．字母ａ的取值范围不同 中 ，即ａ是非负数。而 中ａ可取一切实数。例如：等式 成立的前提条件是 ，到，即 。而等式 ，不论ｘ　或 都成立，并且根据绝对值的定义有： ２．运算顺序不同 是先求ａ的算术平方根，然后再求算术平方根的平方。而 是先求ａ的平方，再求ａ２的算术平方根。例： ３．计算结果都是非负数，但又有区别 是二次幂，其结果直挂得到ａ，即“一个非负数算术平方根的平方，其结果是这个非负数本身”。 是算术平方根，其结果因ａ＞０与巴＜０而异，即“任何一个实戮的平方的算术平方根，其结果是卜一Ｈ负数。若这个数是正…     

浅谈(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

1 .相同点( 1 )它们都是二次根式 ;( 2 )它们都是非负数 ;( 3)当a≥ 0时 ,(a) 2 =a2 =a .2 .不同点( 1 )写法不同 :(a) 2 有括号 ,a2 没有括号 ;( 2 )读法不同 :(a) 2 读作a的算术平方根的平方 ,a2 读作a的平方的算术平方根 ;( 3)意义不同 :(a) 2 表示非负数a的算术平方根的平方 ;a2 表示实数a的平方的算术平方根 ;( 4 )取值不同 :(a) 2 中的a为非负数 ,a2 中的a为一切实数 ;( 5)运算顺序不同 :(a) 2 是先求a的算术平方根 ,再求它算术平方根的平方 ;a2是先求a的平方 ,再求平方后的算术根 ;( 6 )计算结果不同 :(a) 2 =a ,a2 =|a| =a(a≥ 0 ) …     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的不同(初二)

同学们知道:这是根式的两个基本性质,很重要.本文分析它们的不同,以引起同学们的注意. 1.a的取值不同(1)中必须a≥0,(2)中a可取一切实数. 2.运算顺序不同(1)是先求a的算术平方根,然后求算术平方根的平方;(a~2)~(1/2)是先求a的平方,再求a2的算术平方根.     

af(x)+b f(x)~(1/2)=c的简捷解法

方程af(x)+f(x)~(1/b)=c,一般用代换法来解。但当a、b、c为整数,a>0时,用观察法来解,显得更为简便,下面介绍这种方法。定理:如果存在平方数m≥0,使 c=am+m~(1/b)则方程af(x)+f(x)~(1/b)=c ①与方程(f(x)-m~(1/2))(f(x)+b/a+m~(1/2)=0同解②其中f(x)为x的解析式。证明:设a是方程①的解,则 af(a)+f(a)~(1/b)=am+m~(1/b)∵ f(x),m≥0,     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)相同吗?

有不少同学把(、万),与丫丁混为一谈,其实它们有着原则的区别,主要有以下四点: 1.读法不同:临/百)2读作。的算术平方根的平方;、侣三读作a平方的算术平方根. 2.运算顺序不同:(了万),先算丫万,再算(必万)2;侧牙,先算矿,再算丫了3.运算结果不一定相同:、)2一。。。、。);、一。一) }a,倪>O,O,a=O,一口,a<0. 4.取值范围不同:在朴2万)2中,a的取值范围是“)。;在、7中,“的取值范围为一切实数. (江苏省盐城市马沟中学吴友智)(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)相同吗?@吴友智$江苏省盐城市马沟中学~~…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析及运用

在学习二次根式时,部分同学常将(a)2与a2混为一谈,误认为(a)2=a2,其实,二者并不一样,现从以下几个方面加以辨析:1、写法不同:(a)2中平方在根号外;而(a2)中平方在根号内。2、读法不同:(a)2读作a的算术平方根的平方;a2读作a的平方的算术平方根。3、运算顺序不同:(a)2是先求a的算术平方根,然后再求这个算术平方根的平方;而a2先求a的平方,再求a2的算术平方根。4、取值范围不同:在(a)2中,a的取值范围是非负实数,即a≥0;当a<0时,无意义;而在a2中,a的取值范围是全体实数。5、结果不同:(a)2=a(a≥0)(a2)=|a|=a(a≥0)-a(a<0)在具体计算时,(a)2(a≥0)…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的关系及运用

有些同学在学习二次根式时，将与混为一谈，误认为其实．二者并不是一回事．为了帮助这些同学纠正这一错误认识，现将与的区别与关系归纳如下．与的区别有以下几点：1．形式不同：中平方号在根号外，而中平方号在根号内．2．意义不同：表示a的算术平方根的平方，而表示a的平方的算术平方根．3．运算顺序不同：是先求a的算术平方根，然后再求这个算术平方根的平方，而是先求a的平方，再求a2的算术平方根．4.a的取植范围不同：在中，a的取值范围是非负实数，即a≥0；而在中，a的取值范围是全体实数．5.得出计算结果的依据不同：是根据平方根的…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的关系及运用

有些同学在学习二次根式时，将与混为一谈，误认为．其实，二者并不是一回事．为了帮助这些同学纠正这一错误认识，现将与的区别与关系归纳如下．与的区别有以下几点；1．形式不同：中平方号在根号外，而中平方号在根号内．2．意义不同：表示。的算术平方根的平方，而表示的平方的算术平方根．3．运算顺序不同：是先求a的算术平方根，然后再求这个算术平方根的平方，而是先求a的平方，再求a2的算术平方根．4.a的取值范围不同：在中，a的取值范围是非负实数，即；而在中，a的取值范围是全体实数．5·得出计算结果的依据不同：（／a）’一a（…     

构造F(pi;xi)≥0巧证分式不等式

分式不等式的证明是一热门话题 ,方法颇多 .本文介绍Ｃａｕｃｈｙ不等式的一个变形 :定理　设 ｐｉ ∈Ｒ+ ,ｘｉ ∈Ｒ ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,则(ｐ1ｘ1+ｐ2 ｘ2 +… +ｐｎｘｎ) 2 ≤(ｐ1+ｐ2 +… +ｐｎ) (ｐ1ｘ21+ｐ2 ｘ22 +… +ｐｎｘ2 ｎ) .该定理可记为Ｆ(ｐ1,ｐ2 ,… ,ｐｎ;ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ)≥ 0 ,或简记为 :Ｆ(ｐｉ;ｘｉ)≥ 0 .定理广泛应用于一类不等式的证明 ,尤其是证明一类分式不等式 :只须适当地、巧妙地选取 ｐｉ,ｘｉ;换言之 ,只须恰当地构造Ｆ(ｐｉ;ｘｉ) ≥ 0 .1　巧证一类不含等号的不等式例 1　 (第 32届乌克兰数学竞赛试题 …