数学奥林匹克问题

本期问题高417平面上给定n个点A₁,A₂,…,A_n,满足对于任意的1≤i≠j≤n,均有max{i,j}≤A_iA_j≤i+j,其中,A_iA_j表示A_i、A_j两点间的距离.证明:n≤13.高418已知斐波那契数列{F_n}:F₁=F₂=1,F_n+2=F_n+1+F_n.证明:对一切x∈R,n≥2均有sun from（k=1）to n F_k|x-k|≥F_n+2+F_n-n-1.高419对任意的正整数n,函数f（n）为十进制下n²+3n+1的各位数字之和（即数码和）.问:是否存在整数n,使得f（n）=2 013或2 014或2 015?高420设△ABC的外心、内心分别为O、I,AI、BI、CI与△BIC、△CIA、△AIB的外接圆的不同于I的交点分别为D、E、F,过D、E、F分别作BC、CA、AB的垂线l_a、l_b、l_c.证明:（1）直线l_a、l_b、l_c交于一点K;（2）K、O、I三点共线.     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

—个有趣的定值命题及其引伸

众所周知,在直角坐标平面内,若点M((?,?))为有限点集{A_1,A_2,…,A_n}的重心,A_i(i=1,2,…,n)的坐标为(x_i,y_i),则有 (?)=1/n sum from i=1 to n(x_i),(?)=1/n sum from i=1 to n(y_i) (*) 据此,我们可以推得一个有趣的命题: 命题1 以平面有限点集的重心为圆心、定长为半径作圆,则此圆上的任一点到该     

一道竞赛题结论的再推广

一、原题结论及其推广题目（2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题）已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）,其长轴为A₁A,P是椭圆上不同于点A₁A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,试证明:以线段MM₁为直径的圆必过椭圆外的一个定点.推广1已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）（或双曲线（x²）/（a²）-（y²）/（b²）=1（a>0,b>0））其长轴（或实轴）为A₁A,P是椭圆（或双曲线）上不同于点A₁、A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,则以线段MM₁为直径的圆必过两定点（（a²-b²）/c,0）和（（a²+b²）/c,0）.     

椭圆与双曲线中点弦的存在性研究

为了不失一般性,我们将椭圆与双曲线方程统设为x²/m+y²/n=1,其中m,n不同时为负数,当m>0,n>0且m≠n时,方程表示椭圆;当m·n<0时,方程表示双曲线.首先来熟悉一下椭圆与双曲线的中点弦性质:设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.说明（1）此性质可由"点差法"很容易得     

正多边形同心圆锥曲线的两个性质

<正>文[1]研究了正多边形的同心圆(即圆心在正多边形中心的圆)的两个性质:(1)正多边形同心圆上的任意一点到各顶点距离的平方和是定值;(2)正多边形同心圆上任意一点到各边距离的平方和是定值.文[2]推广了文[1]的结论,得到了正多边形的同心椭圆(即椭圆中心在正多边形中心的椭圆)的两个性质:(1)设G为正n边形的中心,则以G为中心的椭圆上任意一点到正n边形的各顶点的距离的平方和与该点到椭圆两焦点距离的乘积的n倍之和为定值;(2)设G为正边形的中心,     

三角形重心性质的有关推论及应用

三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论:推论1三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分.如图1,△ABC的三条中线AD,BE,GF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S₁=S₂     

平面有限点集重心的一个性质及逆命题

由平面内n个点A1,A2,…,An组成的集合V={A1,A2,…,An}称为平面有限点集．设O是平面内一定点,若点G满足等式OG=1/nn∑i=1OAi,则点G称为平面有限点集V的重心．     

巧用圆锥曲线弦中点性质解题

直线与圆锥曲线问题,一直是高中数学研究的重点所在,而作为直线与圆锥曲线中特殊的点——弦中点问题,更是为我们平常之所见.一、椭圆与双曲线的弦中点性质设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.证明（点差法）如图1,设A(x₁,     

例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

分节求和迭代变换下的黑洞数

把正整数A₀从个位起k位一分节,所有分节数的和称为A₀的k分和a₀,把A₀的k分和a₀乘以■(a=3,6,9),得到A₁。我们把从A₀到A₁的过程叫作A₀的f迭代变换,记作f(A₀)=A₁。对A₁继续作f迭代变换,得到f(A₁)=A₂;对A₂继续作f迭代变换,……,那么,A₀经过有限次f迭代变换后最终为■,而且■。     

圆锥曲线的两个孪生命题

<正>命题1椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,斜率为k且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,OA→+OB→与a=(m,n)共线,其中-1(1/2);若M为椭圆上任意一点,满足OM→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),且n/m=-k/2k(1/2);若M为椭圆上任意一点,满足OM→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),且n/m=-k/2k²+1,那么λ2+1,那么λ²+μ2+μ²=1.命题2双曲线的中心在原点O,焦点在x轴上,     

多条妙计智取解几压轴题

题目已知曲线C_n:x²-2nx+y²=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n,切点为P_n（x_n,y_n）.（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式;（2）证明:x₁·x₃·x₅·…·x_2n-1<（（1-x_n）/（1+x_n））^1/2<2^1/2sinx_n/y_n.     

从高考答卷的错误反思教学的缺失

1问题背景先看看近两年关于"曲线与方程"的两道高考试题,了解学生答卷情况.第一题（2010年高考广东卷理科第20题）已知一条双曲线（x²）/1-y²=1的左、右顶点分别为A₁,A₂,点P（x₁,y₁）,Q（x₁,-y₁）是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方     

一类抛物线内接三角形的性质初探

文[1]、文[2]研究了以椭圆中心为重心的椭圆内接三角形的一些性质及其定值,笔者进一步类比探究发现以抛物线焦点为重心的抛物线内接三角形也有许多优美的性质,下面就这一类三角形的一些性质与大家一起探讨.如图1所示,A(2pt²₁,2pt₁),B(2pt²₂,2pt₂),C(2pt²₃,2pt₃)是抛物线y²=2px(p>0)上的三个不同的点,F(p/2,0)抛物线y²=2px(p>0)的焦点,已知点F是ΔABC的重心,抛物线在点A,B,C处的切线分别为l₁,l₂,l₃,且l₁∩l₂=C′,l₂∩l₃=A′,l₃∩l₁=B′.     

析真题 引教学 育素养——以2023年全国甲卷理科第12题为例

<正>1.真题呈现(2023·全国甲卷·理12)已知椭圆■1,F₁、F₂为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F₁PF₂=3/5,则|OP|=()■2.解法探究根据题意知a=3,b=■,c=■,焦点在x轴,设PF₁=r₁,PF₂=r₂,P(x₁,y₁),不妨设x₁>0,y₁>0,则r₁+r₂=6.     

一道立体几何调研题的解法赏析

<正>题目三棱锥P-ABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形,且AC=■,各侧棱长均为3,点E为棱PA的中点,点Q是线段CE上的动点,点E到平面ABC的距离为;设Q到平面PBC的距离为d₁,Q到直线AB的距离为d₂,则d₁+d₂的最小值为．     

抛物线的一条性质在解中考题中的运用

<正>命题如图1,P是抛物线y=1/4x²-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m2-1上任意一点,点P到直线l:y=-2的距离为PH,则有OP=PH.证明设点P的坐标为(m,n),则n=1/4m²-1,OP=(m2-1,OP=(m²+(1/4m2+(1/4m²-1))2-1))²)2)^(1/2)=1/4m(1/2)=1/4m²+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m2+1.因为直线l过点E(0,-2)且平行于x轴,所以点H的纵坐标为-2,所以PH=1/4m²-1-(-2)=1/4m2-1-(-2)=1/4m²+1,所以PO=PH.     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有: