论正多边形的两个性质

我们知道正多边形是一个具有很好几何性质的平面图形.在这里,我们给出它的两个性质,并用矢量的方法给出证明,为此先给出以下几个引理.引理1:设l是一直线,(?)是任意几个矢量,则,     

正多边形的两个优雅性质

自从文[1]、文[2]对正三角形及正四面体的探究之后,笔者也对正多边形的性质进行了思考,在文[3]得出了一个正多边形又一个漂亮定值之后,今又得到了两个定值,现叙述如下．     

圆锥曲线的两个性质

笔者探索发现,圆锥曲线有如下两个重要的性质：性质1过椭圆 x2T/y2＋y2/b2=1（a〉6〉b）焦半径FP的端点P作椭圆的切线,交相应准线于点Q     

圆锥曲线的两个性质

本文给出圆锥曲线的两个性质,并举例说明其应用.性质1:圆锥曲线与过定点的直线相交于A、B两点,过A、B两点的两切线的交点在同一直线上.例1对于双曲线22ax2-by2=1(a>0,b>0),若过     

圆锥曲线中的两个性质

抛物线有如下一个性质：设点A,B在抛物线y2=2px（p〉0）上,且OA⊥OB（O为坐标原点）,则直线AB过定点（2p,0）．     

圆锥曲线中的两个性质

抛物线有如下一个性质:设点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且OA⊥OB(O为坐标原点),则直线AB过定点(2p,0).本文对以上性质作进一步的探讨,得到如下几个性质:     

圆锥曲线的两个统一性质

性质 1　不过圆锥曲线焦点Ｆ的直线ｌ1和圆锥曲线及Ｆ的相应准线ｌ2 分别相交于Ａ、Ｂ、Ｃ三点 ,则ＣＦ平分∠ＡＦＢ或其外角 .证明　如图 1、图 2 ,分别过点Ａ ,Ｂ作准线ｌ2 的垂线 ,垂足为Ａ′、Ｂ′ .　　　　　图 1　　　　　　图 2由圆锥曲线的统一定义知｜ＢＦ｜｜ＢＢ′｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＡ′｜ =ｅ ,从而｜ＢＦ｜｜ＡＦ｜ =｜ＢＢ′｜｜ＡＡ′｜ =｜ＢＣ｜｜ＡＣ｜.( 1)当ｌ1与双曲线的两支都相交时 ,依三角形内角平分线的逆定理知ＣＦ平分∠ＡＦＢ ;( 2 )其余情形 ,据三角形外角平分线的逆定理知ＣＦ平分∠ＡＦＢ的外角 .性质 2　过…     

圆锥曲线切线的两个性质

众所周知,圆有如下性质:过圆222x+y=r(r>0)外一点作圆的切线,PB(PPAA,B为切点),则OP平分弦AB;当∠APB为90时,点P在以O为圆心,2r为半径的圆上.通过类比,笔者发现圆锥曲线也有类似的性质.性质1过圆锥曲线外一点作它的切线,PPA     

同心圆锥曲线的性质再探

文[1]通过类比同心圆的定义,得到同心圆锥曲线的定义.受此启发,本文先从同心圆的结论出发,类比到同心圆锥曲线,然后利用超级画板进行验证所得结论,最后给出结论的解析证明与几何证明.     

圆锥曲线焦点弦的两个性质

文[1]、[2]给出抛物线焦点弦的性质和圆锥曲线焦点弦的一个统一性质,笔者最近用平几方法探得圆锥曲线焦点弦的两个统一性质.     

圆锥曲线两个性质的合并推广

文[1]给出圆锥曲线的一个有趣的性质:在圆锥曲线(等轴双曲线除外)的焦点所在的对称轴上必存在一定点,过该定点的弦被定点分成长为m,n的两部分,使得m12+n12为定值.实际上椭圆、抛物线还有一个有趣的性质:过焦点的弦被焦点分成长为m,n的两部分,则1m+1n为定值.文[2]探讨了上述第一个性质及推广,本文从另一个角度探索其本质.我们注意到焦点也在对称轴上,那么过对称轴上其它点的弦,究意有什么性质呢?笔者通过对该问题的探究,把圆锥曲线的这两个性质合并推广到一般情况.命题1设过定点P(q,0)(q≠0)的直线交抛物线y2=2px(p>0)于两点P1,P2,记│PP1│=m,│PP2│=n,则m12+n12+│2q(│p-mq·)n为定值.证明设P1P2方程为x=ty+q,代入y2=2px得y2-2pty-2pq=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则y1+y2=2pt,y1y2=-2pq.而m2=│EP1│2=(1+t2)y12,n2=│EP2│2=(1+t2)y22,所以1m2+n12+│2q(│p-mq·)n=(1+t2y)21·+(yy221y2)2+(1+t22()p│-qqy)1y2│=│q│...     

有关圆锥曲线焦点弦的两个性质

在江苏南通地区一次高三数学测试中，有这样一道试题：已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=1/2。     

圆锥曲线的两个几何性质及应用

人教版普通高中《数学》选修2—1,在第二章的阅读思考中,给出了圆锥曲线的光学性质,它在实际生活中有着广泛的应用,我们从圆锥曲线切线的角度来理解,性质还可表述为：     

有心圆锥曲线的两个性质及其应用

在解决有心圆锥曲线中点弦的问题时,人们常习惯于采用设弦端点的值代人方程作差的方法,找出弦中点坐标与弦的斜率之间的关系,     

对圆锥曲线两个统一性质的探索

<正>用与圆锥面的轴线成不同的角度去截圆锥,截口就会产生三种圆锥曲线.按照第二定义,到定点和定直线的距离之比为常数的动点轨迹也产生了三种圆锥曲线,而且在这个常数e从0到1变大的过程中,动点轨迹也随之从椭圆逐渐变扁到变为抛物线,再进一步     

有关圆锥曲线切线的两个优美性质

我们知道:过圆外一点向圆引两条切线,这两条切线的长度相等并且该点与圆心的连线平分以圆心为顶点两切点为端点的角.仿照这个性质我们推广到其他圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可得以下优美结论.定理1:过椭圆xa21 by22=1(a>0,b>0)外一点P(m,n)向椭圆引两切线PP1,PP2,F是椭圆的任一个焦点,则①|PP|1|P·F||P2P2|=b2m2a2 b2a2n2;②PF平分∠P1FP2.图1证明:如图1,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),显然直线P1P2方程为:mxa2 nby2=1,由mxa2 nby2=1x2a2 yb22=1可得:(a2n2 b2m2)x2-2a2b2mx a4(b2-n2)=0则x1 x2=a2n22a2 b2bm2m2,x1x2=aa24(nb22 -b2nm…     

有心圆锥曲线的两个性质及推论

文【1】中有一推论：如图1,F是圆锥曲线的焦点,Z是其相应的准线,过焦点F作直线交圆锥曲线于A,B两点,M是准线l与x轴的交点,则MF是∠AMB的角平分线．     

有心圆锥曲线与顶点的两个统一性质

笔者通过探究,发现有心圆锥曲线与顶点的两个统一性质,现将之整理成文,与同行交流.为了行文方便、简洁、美观,本文作如下约定:c表示椭圆、双曲线的焦半距;AMk,BNk分别为直线AM,BN的斜率;e为椭圆、双曲线的离心率.     

正多边形与其同心圆有关的两个性质的指数推广

[1]中获得的主要结果是：正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各顶点的距离平方之和为定值;正多边形的内切圆（或外接圆）上任一点至各条边的距离平方之和为定值．