圆锥曲线内接三角形定值定点问题的充要条件

文章在文献[1]研究基础上,通过对椭圆中的内接三角形的三边斜率关系与直线过定点问题进行研究,发现有关斜率定值问题与直线定点问题之间的内在等价性,从而得到有关椭圆内接三角形定值定点问题的充要条件,并将其拓宽于双曲线与抛物线中,得到相应的结论,揭示圆锥曲线一类定值定点问题的内在统一性.     

小技巧 大作用

<正>在研究直线与圆锥曲线位置关系时,过定点的直线系通常设成y-y1=k(x- x1)或y=kx+b,这里k为斜率．因为这种形式的直线系方程不能包括与x轴垂直(即斜率不存在)的直线,所以在一般情况下,要先讨论斜率不存在时直线与圆锥曲线的关系,然后再计算斜率存在时的情况．     

小技巧 大作用

在研究直线与圆锥曲线位置关系时，过定点的直线系通常设成y-y1=k（x-x1）或y=kx＋b．这里k为斜率，因为这种形式的直线系方程不能包括与y轴平行（即斜率不存在）的直线．所以在一般情况下．要先讨论斜率不存在时直线与圆锥曲线的关系，然后再解答斜率存在时的情况．[第一段]     

圆锥曲线中又一定点问题的推广——两道模拟试题结论的进一步拓展与证明

圆锥曲线中的定点问题是高考题及模拟试题中的热点问题.本文在两道模拟试题的基础上推广与证明了一类新的定点问题,即过不在圆锥曲线上任一点A引两条直线与圆锥曲线交于四点,若其中两点连线的斜率为定值时,另外两点的连线过定点.     

对圆锥曲线的一类定值问题的再思考

文[1]研究了圆锥曲线的一类定值问题,得到了几个重要的结论,读后深受启发.笔者曾想,能否把圆锥曲线上的一个定点变为两个定点,即如果圆锥曲线E上有两个定点P,Q过P,Q作倾斜角互补的两条直线PA,QB(PA,QB的斜率存在),分别与圆锥曲线E交于异于P,Q的点A和B,那么直线AB的斜率是否为定     

巧用“齐次化”解决圆锥曲线中的定点定值问题

定值与定点问题是圆锥曲线中典型的问题,其中圆锥曲线C上的一定点M和两动点P,Q(异于点M),则动直线PQ过定点与直线MP,MQ的斜率之积(和)为定值密切相关.     

圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质

本文证明两类性质,从圆锥曲线中一定点P引两条直线与该圆锥曲线分别交于点A、B,一是若直线PA和P B的斜率之和为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,定点G的轨迹是一条与圆锥曲线相切的直线,且切点是点P关于圆锥曲线长轴的对称点.二是若直线PA和P B的斜率之积为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,椭圆和双曲线背景下的定点G的轨迹是一条过原点的直线,而抛物线背景下的定点G的轨迹是一条平行于对称轴的直线.     

圆锥曲线中一类定点问题的探究

本文从圆锥曲线中一类斜率之和有关的定点问题出发,得出了一些很有意义的一般性结论,对深入认识和研究圆锥曲线上的定点定值问题有参考意义.     

另类代入解圆锥曲线中的两类问题

<正>在高三复习圆锥曲线章节的过程中,常会遇到经过原点的两条直线斜率之和与斜率之积为定值这两类问题及其变式,这两类问题及其变式反映了直线与圆锥曲线之间的关系,结合韦达定理,解决起来也较为容易.但著名数学家波利亚说:"数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾与反思".那么这两类试题及其变式还有没有其他的解决方法?如果当定点不是原点时,又如何解决呢?笔者带着这样的思     

《数学通报》问题2688的探究与推广

圆锥曲线斜率和与斜率积为定值背景下的定点问题,广泛地出现在高考题和省市模拟题中,如2017年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题和22届江苏盐城、南京一模第21题等,近期也出现了斜率和与斜率积同时满足等式下的定点问题,如《数学通报》问题2688^[1].本文在此基础上进行了推广与证明,即斜率和与斜率积满足线性方程时的定点问题.     

齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用探究

在圆锥曲线试题中,常常出现与斜率有关或者证明直线过定点的问题．此类问题用常规的方法也可以解决,只不过运算量有些大,但如果构造方程,利用齐次化方法求解,则可大大简化运算．利用齐次化方法解决的题型主要有两种：题型一是定点在坐标原点的斜率问题,题型二是定点不在坐标原点的斜率问题．文章介绍利用齐次化方法求解以上两种题型的步骤,并给出齐次化方法局限性的说明,旨在让读者熟悉齐次化方法的解题步骤、适用范围,并且知道齐次化方法不是求解圆锥曲线问题的通法,它只是求解与斜率有关的问题的巧妙方法．     

圆锥曲线中一个有用的定理

涉及圆锥曲线上两点成轴对称的一类数学题,解决办法较多.本文试图从圆锥曲线弦的斜率与过原点和弦的中点的直线的斜率之间的关系出发来解决.定理 椭圆(x~2/m) (y~2/n)=1(m>0,n>0),弦AB,中点     

构造齐二次式解决圆锥曲线的两类定值问题

在圆锥曲线中,直线过定点以及直线斜率为定值是中学数学教学中应值得认真思考的两类问题．本文以一道高三联考试题为契机,构造一元二次方程,运用根与系数的关系为工具,对此作出了有益的尝试．并成功地解决了这两类问题．     

例谈圆锥曲线第三定义的应用

文章介绍了圆锥曲线第三定义在求斜率之积、离心率、定点定值、最值和共线问题中的应用.     

圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值

定值定点问题是直线与圆锥曲线位置关系中的常见问题,也是高考考查的重点问题.本文研究了圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值问题,得出了几个重要的结论.一、两个引理引理1设O为坐标原点,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆C上的任一点.     

利用曲线系求解圆锥曲线中斜率和、积为定值的问题

文章利用曲线系的方法解决了过圆锥曲线上一定点P作两条斜率之和、之积为定值的直线PA、PB,证明直线AB过定点或斜率为定值的问题,并推导了一般情形.     

圆锥曲线一组优美性质的再探求

文[1]给出了圆锥曲线中一组优美性质的探求.笔者研究这组性质时发现直线PQ恒过定点,突然萌发念头:此题中的直线AP、直线AQ的斜率乘积是-1,直线PQ恒过定点,若将直线AP、直线AQ的斜率乘积的值改写为更一般的数据,直线PQ还过定点吗?     

一道习题的类比推广——利用导数求圆锥曲线的切线方程

利用抛物线的函数性,可以通过求导的办法计算切线斜率,下面我们就借鉴这个方法对过圆锥曲线上的定点的切线方程的求解进行推广.     

圆锥曲线切线的一个统一性质

在直线和圆锥曲线的位置关系中,相切是一种重要的情况.圆锥曲线有这样一个有意思的性质:经过圆锥曲线的准线与对称轴的交点作圆锥曲线的切线,则切线的斜率的绝对值等于离心率. 一、椭圆 经过椭圆的准线与对称轴的交点作椭圆的切线,切线的斜率的绝对值等于椭圆的离心率.     

一类圆锥曲线内接三角形定点弦结论的推广及应用

文[1]、文[2]对结论"圆锥曲线上的定点M与任意两点P,Q,若MP⊥MQ,即两弦斜率的积为-1,则弦PQ过定点"作了推广与证明,而在文[3]、文[4]中有:圆锥曲线上任意定点M与任意两点P,Q,若MP,MQ的斜率互为相反数,则PQ的方向确定.由于该类问题结论的完美和解法的灵活多样,能很好地考查学生运用代数运算解决几何问题的能力,所以在高考与其他各类考试中屡见不鲜.本文将以上结论进行整合并推广到最为一般的情形,再选择近几年一些与之相关的试