一道习题的推广

1992年初二暑假作业第27页有这样一题:已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=2CE,BE和CD相交于G,求证:BE=4GE。这道题和重心定理极其相似,重心定理是:已知D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,求证:E,CD相交于一点且BE=3GE。因此,我想AE=3CE,结果如何呢?更一般地,AE=nCF呢?于是得出下面的定理。定理1 已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=nCE,BE和CD相交于G,则BE=(n+2)GE 证明:作AH∥EB交CD的延长线于N, ∴△CGE∽△CHA。     

三角形中位线定理在证题中的应用

三角形中位线定理是一个重要定理.其应用极为广泛.本文结合实例介绍其应用. 例1 如图1,D是△ABC的边BC的中点,E、F是AC边上的两点,且AB=CE,AF=EF,DF的延长线交BA的延长线于G.求证:AF=AG. 分析由D、F分别是BC、AE的中点联想到三角形的中位线定理,为此可连结     

阿波罗奥尼斯定理的美妙证明及应用

<正>阿波罗奥尼斯定理,又称三角形中线长定理,其内容表达为:三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与中线平方和的2倍.其证明方法有很多,常见的有垂线段法、坐标系法、余弦定理法等,下面介绍一种简单明了,而又引人深思的证明方法.问题引导在△ABC中,AM是BC边的中线,若BC=a,AC=b,AB=c,AM=t.求证:t2=1/2(b2+c2)-     

周界中点三角形的三个性质

笔者从周界中点三角形的边长、面积、周界中线长三方面进行研究,便得到了周界中点三角形的三个有趣的几何性质.引理若D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,1()p=2a b c,则有:AE=BD=p?c,AF=CD=p?b,BF=CE=p?a.(证明省略)定理1若EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r则有:2221a2R∑a?a=r.证明由引理知AE=p?c,AF=p?b,在△AEF中,EF2=AE2 AF2?2AE?AF?cos A,即222a1=(p?c) (p?b)?2(p?c)(p?b)cosA=[(p?c) (p?b)]2?2(p?b)(p?c)(1 cos A)222(2)22()()(1)2p b c p b p cb c abc…     

关于分周线的三个定理

首先,把平分三角形周长的直线叫做三角形的分周线.如图1,在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,周长为2p,直线l与AB、AC交于D、E,且有AD AE=BD BC CE=a b c/2=p,则直线l是△ABC     

30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

一个命题的推广及在证题中的一些应用

我们知道:S_△=1/2ah,由此可得:同底的两个三角形的面积比等于这底上的高的比。这一命题可以推广如下: 有一条公共边的两个三角形的面积比等于这两个三角形的另一个顶点的连线被公共边所在的直线分成的两条线段的比。 即.已知:如图.AB的延长线交CD于点E 求证:S_ABC:S_ABD=CE:DE 证明:分别由点C、D向AE及其延长线作垂线CF、DG,FG为垂足,则有:S_△ABC:S_△ABD=CF:DG（1）△CEF∽△DEG(?)CF:DG=CE:DE（2）由（1）,（2）得:S_△ABC:S_△ABD=CE:DE。 利用这一命题,可以较简捷地证明一些几何命题,请看以下几例: 例 1:在△ABC中任取一点O, AO、 BO、 CO与对边的交点分别是D、 E、 F,求证:     

关联周界中点三角形的一个性质

文[1]给出了关于三角形外角平分线构成的三角形的一个性质,将其推广到周界中点三角形中得到.定理如下图,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且△ABC与△DEF的三条中线长分别为ma,mb,mc,及ma1,mb1,mc1,则有222ma+mb+mc111≤4(ma2+mb2+mc2),(1)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.为行文方便,约定BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,EF=a1,FD=b1,DE=c1且AE=BD=s?c,AF=CD=s?b,BF=CE=s?a,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为?,R、r.证明如上图,在△AEF中应用余弦定理及cos2()2A s s abc=?,?2=s(s?a)(s?b)(s?c…     

中点三角形

依次连结三角形各边中点所得的三角形叫做原三角形的中点三角形,如图1中,△ABC的边AB、BC、CA的中点分别是F、D、E,则△DEF就是△ABC的中点三角形。中点三角形有以下几个重要的性质。 1.中点三角形与原三角形相似,     

利用对称性证明几何不等式

例1如图1,在△ABC中,AB>AC,AD是BC边上的中线.求证:∠BAD<∠CAD.图1分析注意到AD是BC边上的中线,中线加倍是常见的添辅助线的方法.然后把研究对象集中在△ABE中,由大边对大角,将问题得以解决.证明延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,则D是△ADC与△EDB的对称中心,BE=CA,∠E=∠CAD.∵AB>AC,∴AB>BE,∴∠BAD<∠E,从而∠BAD<∠CAD.例2如图2,在△ABC中,D是BC边的中点,ED⊥DF,EF分别交AB、AC于E、F两点.求证:BE+FC>FE.图2分析能否将BE、FC、EF移到同一三角形考察线段不等关系?利用对称性作图是可以实施的,于是问…     

梯形与三角形、梯形的中位线

[知识要点]1 等腰梯形的性质有: (1) 　　　　　;(2) 　　　　　;(3) 　　　　　 等腰梯形的判定方法有: (1) 　　　　　;(2) 　　　　　 2 三角形的中位线定理: 　　　　　;梯形的中位线定理:　　　　　 四边形典型考题解析图1例1　(2003 年江苏省徐州市)如图1,在梯形ABCD 中,AB=CD, AD∥BC,点E在AD 上,且EB=EC 求证: AE=DE 略证　在梯形ABCD中,∵AB=CD,∴∠ABC=∠DCB 在△EBC中,∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB ∴∠ABE=∠DCE 又∵ AB=CD, BE=CE, ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 例2　(2003年杭州市)如图 2,EF为梯形AB…     

构造全等三角形证题

人教版2007.9在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系.现分类加以说明.一、延长中线构造全等三角形例1如图1,AD是△ABC的中线,求证:AB AC>2AD.证明:延长AD至E,使AD=DE,连接CE.如图2.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.又∵∠1=∠2,AD=DE,∴△ABD≌     

一类几何题的解答及推广

有一类关于三角形一边的中线被另一边的几等分点与这边所对顶点连线所分线段比的几何题 ,我们可借助新编九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页题17“过△ ABC的顶点 C任作一直线 ,与边 AB及中线 AD分别交于点 F和 E。求证 :AE∶ ED =2 AF∶ FB。如图 1。”进行巧思妙解。　　例 1.如图 1,在△ A BC中 ,设两条中线AD 和 CF交于 E,求AE∶ ED。　(三角形重心定理 )解 :由课本题结论知 ,A E∶ED=2 AF∶ FB=2 AF∶ AF=2∶ 1。例 2 .三角形从一个顶点到对边三等分点作线段 ,过第二顶点的中线被这些线段分成连比 x∶ y∶ z,…     

巧用三角形中位线定理证题

三角形的中位线定理揭示了其中位线与第三边的位置关系与数量关系,巧用它可以证明若干与线段中点有关的问题. 例1 如图1,△ABC中,BD 平分∠ABC,AD BD于D,E为AC的中点, 求证:DE∥BC. 证明:延长AD交BC于F. ∵BD平分∠ABC,又AD BD 于D,∴AD=FD,又∵AE= CE,由三角形中位线定理得: DE∥FC,∴DE∥BC.     

30分钟智力冲浪

1有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三边,可围成一个三角形.如果规定底边是11厘米长,你能围成个不同的三角形.2一个三角形的三边长分别是2,m,7,且m为偶数,则此三图1角形的周长是.3如图1,E、F在线段BC上,AB=DC,AE=DF,BF=CE.以下结论是否正确?请说明理由.(1)∠B=∠C;(2)AF∥DE.4如图2,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE于F,与过B所作的BC的垂线交于点D.(1)说明AE与CD是否相等,为什么?(2)若AC=16cm,求BD的长.5如图3,AB=AC,AD=A…     

三角形周界中点三角形的面积

设点 D 是△ABC 的 BC 边上一点,且满足 AB BD=AC CD,则称 D 是△ABC的周界中点,在边 AB、AC 上也可以找到具有类似性质的点E、F,我们把△DEF 称为△ABC 的周界中点三角形.关于△DEF 与△ABC 的面积关系,有下述重要结论.     

一个与伪垂足三角形有关的几何不等式

本文给出涉及三角形的伪垂心的一个新的几何不等式。 定理 设△ABC的三条高为AD,BE,CF,垂心为H。点D关于BC边中点的对称点为D′,E关于CA边中点的对称点为E′,F关于AB边中点的对称点为F′,则有 D′E′~2 E′F′~2 F′D′~`2≥1/4(AB~2 BC~2 CA~2) (1)等号成立当且仅当△ABC是正三角形。     

圆内接三角形的一个性质及应用(初三)

性质三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积. 已知(?)O是△ABC的外接圆,AD是边BC上的高,AE是(?)O的直径. 求证:AB·AC=AD·AE. 证明如图1,连结BE,则有     

三角形“1号心”的几何性质

文[1]定义了三角形的“1号心”,本文从几何的角度探讨它的某些性质.定理1在△ABC所在的平面内任意取一点P,分别作点P关于△ABC的边BC、CA、AB的中点D、E、F的对称点D'、E'、     

巧用直角三角形斜边上的中线

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,这条定理反映了直角三角形中重要的数量特征.在某些几何证题中,如能巧妙地运用这一数量关系,常可寻求到解题的捷径.下面举例说明. 例1 如图1,已知△ABC中,BD、CE分别是AC和AB边上的高.F、G分别是BC和DE的中点.求证:FG⊥ED.