素因子分解的应用

算术基本定理是初等整数论中重要定理之一，它不仅给出了大于1的整数素因子分解的可能性，也给出了分解的唯一性。利用它及其推广形式，可以解决很多鼓学问题。本文旨在提供应用它解决数学问题的实例，从而阐明其应用价值。     

素因子分解的应用

算术基本定理是初等数论中重要定理之一,它不仅给出了大于1的整数素因子分解的可能性,也给出了分解的唯一性。利用它及其推广形式,可以解决很多数学问题。本文旨在提供应用它解决数学问题的实例,从而阐明其应用价值。 1 算术基本定理 若不计素因子的次序,则有且仅有一种方法把一个大于1的整数分解成素因子的连乘积。即若a∈Z,a>1,则存在唯一一组素数P_1,P_2…P_t,使a=P_1~(k_1)P_2~(k_2)…P_t~(k_t),其中 k_i(i=1,2,…,t)是自然数。进一步还可表为a=P_1~(l_1)P_2~(l_2)…P_s~(l_s),P_i(i=1,2,…,s)为素数,l_i(i=1,2,…,s)为大于或等于零的整数。     

谈逆向运算

(本讲适合初中)按照某种数学法则,将两个或两个以上数学对象变为一个对象的运算,如a※b=c,我们不妨称之为正向运算.而将一个数学对象分为两个或两个以上对象的运算,如c=a※b,我们不妨称之为逆向运算.本文介绍三种常用的逆向运算.1整数乘法之逆向运算——整数分解我们知道:若整数n能分为两个大于1的整数之积,则称为“合数”;不能分者称为质数.将一个整数n分为两个大于1的整数之积的分法往往可有多种.例如,36=2×18=3×12=4×9=6×6.下面介绍算术基本定理.基本定理若n是大于1的自然数,则n可唯一地表为n=p1α1p2α2…pkαk,其中,p1相似文献   

试论算术基本定理在《初等数论》中的地位和作用

本文研究了算术基本定理(整数的唯一分解定理或质因数分解定理)在数论体系中的重要作用,包括其在同余式、数论函数、原根及不定方程中的应用。     

中学适用的数论

你的初级中学或中学学生能进行一个合数的素因子分解吗?如果会这样做,那末你的学生可以得到两条规则:一条是求出一个自然数n≥2的因数的个数,另一条是求出一个自然数n≥2的一切因数的和.首先,让我们仔细地确定,一个自然数n≥2的素因子分解或素因子分解形式意味着什么.算术基本定理指出,每一个大于1的自然数,或者是素数,或者可把它唯一地(如果不考虑相乘的次序)写作一些素数的积,例如,2,3,5,7,11是素数,我们可写出:     

关于整数的一个性质及其在解竞赛题中的应用

在历年来举行的各种数学竞赛中,有许多竞赛题它们的内容所反映的是整数在某个方面的性质,其中有些竞赛题是整数的某个基本性质在各种特殊情况下的具体应用。因此,如果我们能够在综合分析历年竞赛题的基础上,归纳并抽象出一些不仅适合于传授给学生,而且有利于提高学生处理一般问题能力的基本结果,那么我们的辅导工作将会起到事半功倍之效。本文之目的在于建立一个这种基本性质,并给出它在解某些竞赛题中的应用,以起抛砖引玉的作用。定理设M是由n个大于1的自然数所组成的集合,m表示这n个自然数之积所含的互异素因子的个数,k是某个固定的正整数。如果n>(k—1)k~(?) ,则M中存在k个自     

初等数论学习指导

一、概述初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支 ,是数学中最古老的分支之一。公元前三世纪 ,古希腊数学家欧几里得(Euclid)证明了素数的个数是无穷的 ,并给出了求两个正整数的最大公因数的算法。我国古代数学名著《孙子算经》中给出了解一次同余式组的算法 ,即著名的孙子定理 ,国外称它为中国剩余定理 ,这是初等数论中一个重要的定理。从十七世纪到十九世纪 ,费尔马 (Fermat)、欧拉 (Euler)、勒让德 (Legendre)、高斯 (Gauss)等人的工作大大发展和丰富了初等数论的内容。特别是 1 80 1年 ,高斯出版了著名的《算术探…     

判定某数是相邻两整数之积的一个定理

有关相邻两整数之积的问题,经常出现在数学竞赛题之中.本文将给出一个判定某数是相邻两整数之积的定理,并利用它来解决一些有关的问题.定理万是相邻两整数之积的充要条件是4M十1为完全平方数. 证明先证必要     

竞赛中几个数论问题

一、整数数论的研究对象主要是整数,它在各种数学竞赛题中经常有所体现, 整数的性质最基本的有两条: 1.整数的唯一分解性,每个大于1的整数n,都可以分解成质因数的连乘积,即有     

大整数的因数分解问题

应该说,整数的因数分解是一个易于理解、清楚明白的问题,但并不是一个简单的问题.较小整数的因数分解是一个小学算术问题.但充分大的数,例如一个50位的整数的因数分解问题就是一个超级数学难题了,用小学学过的试除法,即使采用电子计算机,一个人一辈子也做不出来;而且,假设人类从一产生起就一代接一代地利用电了计算机用试除法来分解这个整数,那么,到现在仍然无法分解出来.大数的因数分解问题是数学中最基本、最古老,而至今仍受人们重视但未能完全解决的问题之一.由于大整数可能是素数也可能是合数,因此,这一问题就包括两个方面:判定给定的数…     

裴蜀定理的一个推论及其应用

在数学竞赛中,证明两数互素是数论问题证明中经常遇到的问题,裴蜀定理的一个推论为这类问题的证明提供一个重要方法. 裴蜀定理 设a,b,d是整数,则(a,b)=d的充要条件是d|a,d|b,存在整数u,v,使得ua+ vb=d.其中(a,b)表示整数a,b的最大公约数.定理证明在各类数学竞赛数论参考书都有提及,这里不再重复了.特别的,(a,b)=1的充要条件是存在整数u,v使得ua+ vb=1,这就是裴蜀定理的一个重要推论,它为证明两数互素提供了有力工具,下面通过几个例题予以说明.     

同余思想在数学竞赛中的应用

<正>(本讲适合高中)同余是初等数论的重要组成部分,在处理整除性、整数分类、解不定方程等数学竞赛问题中起到重要作用,其相关的定理也是解决数论问题的重要工具.本文给出同余的定义及常用定理,并通过近几年的竞赛题举例,从解题的思路分析,说明同余思想在数学竞赛中的应用.1定义与定理定义若整数a、b除以整数m(m>1)的余数相同,则称a与b模m同余,记为a≡b(mod m).性质设a、b、c、d∈Z,m∈Z₊,m>1.则:(1)(对称性)若a≡b(mod m),则b≡a(mod m);     

古老数学命题铸就当今数码安全——质数特性实现数字签名

“不可能完成的任务”:找寻质数周期表早在公元前500年到300年,希腊毕达哥拉斯学院的数学家们就对质数着迷了。伟大的数学家欧几里得的贡献更为突出。他在《几何原本》中利用反证法证明“质数有无穷多个”。《几何原本》中有“算术基本定理”:每一个大于1的自然数,或者是质数,或者可表示为若干质数的乘积,这种表示若不计质数排列的次序则是唯一的。算术基本定理告诉我们,质数是构成自然数的基本的“建材”,很像化学元素或者物理的基本粒子。掌握了任何一个数的质因子分解,数学家就获得了有关这个数的几乎全部信息。因此,质数性质的研究就成…     

利用三角形三边关系解题

三角形三边关系定理是:三角形两边之和大于第三边.它还有一个推论:三角形两边之差小于第三边.这是三角形最基本的性质,在数学解题中有着广泛的应用.例1 已知三角形两边的长分别为1和2,如果第三边的长为整数,那么第三边的长为___.解设第三边长为x,则应有     

在算论教学中培养学生的听说读写应用的能力

现行三年制中师数学《小学数学教材教法》(第一册)主要讲述小学数学的算术基础理论知识和基本方法,包括整数、整数的性质、分数、小数和量的计量等内容.由整数、分数和小数的概念、性质;四则运算的定义、意义、性质、法则、四则运算之间的关系和四则混合运算;上述定义、性质、定理、法则等的应用三部分内容构成,它是小学数学的主体,因此我们习惯上称之为“算论”,即小学算术基础理论课.它是师范普通班学生开设的一门专业课,有很强的专业性和实用性,教学要求较高,要求学生对每一个概念、运算的性质、定理和法则,以及它们之间的联系,都要达到深刻理解和牢固掌握、准确灵活的应用,并具有较强的运算能力和逻辑推理能力.要达到这样的要求,教学中必须把传授知识和培养能力有机地结合起来,在传授知识的同时,注重培养学生的听、说、读、写、应用等几方面的能力.     

近世代数教学中的关联教学法

以初等数论中算术基本定理和整数的标准分解式定义的本质内涵为例,运用到近世代数剩余类加群（Zn,＋）的三个问题的教学中,充分展示近世代数教学中关联教学法的运用.     

分解大整数为两个素因子乘积的析出算法

RSA的算法是基于数论中两个大素数乘积所得整数n和选取满足一定条件的整数e组成公开钥(e,n),RSA的安全性是依据大数整数n分解困难性的。根据RSA公钥加密体制的公开密钥n为两个素数乘积的特性,以及Euclid算法的特点,给出了一种分解n的算法—析出算法,并进行了算法的数学证明、算法设计和相关分析。同时,通过也证明了,在RSA密码体制中构造模n时,其素因子的倍数与n1/2距离过近是不安全的结论。     

巧用质数性质解题

质数是整数中较特殊的数,在数学竞赛中,经常有涉及质数的问题。这往往都要巧用质数性质。下面给出质数的四个最基本的性质,并举例说明。 性质1:若p是质数,又是偶数,则p=2。 性质2:设p是大于1的整数,则q的除1以外的最小正因数p是一个质数,且p≤q~(1/2),     

单位分数的分解及应用

近年各地初中数学竞赛中,关于单位分数(分子为1,分母为大于1的正整数的分数)分解的题屡见不鲜。本文介绍其分解方法,并举例说明它的应用,同时给出一些结论。 一、分解方法     

均值不等式

均值不等式也称为基本不等式,在解决一类相关的数学问题和实际问题时,有着广泛的应用.为此,证明了该定理之后,又给出了这个定理的几何解释.