第3课时 正多边形和圆

知识梳理 注意理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算的问题转变为解直角三角形的问题．了解用量角器等分圆心角的方法．会用直尺和圆规作圆内接正方形和圆内接正六边形．理解任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．且这两个圆是同心圆的知识．     

Ptolemy定理的演变与推导

本文介绍Ptolemy定理、逆定理及其推论，并把该定理从圆内接四边形推演到任意圆内接多边形；从圆内接正三角形、正方形……以至推演到圆内接正多边形的一些性质命题。这样定理运用就更广泛。更能认识定理的优越性。     

制作《平面几何》课件小技巧

在向学生讲解一个圆内接正多边形时，告诉学生如果正多边形的边数无限的增加时，这个正多边形的形状就无限地逼近于那个圆，这或许太抽象了点，学生始终想不通一个直线构成的图形怎么会像一个圆，最好的办法当然是作一系列的图形演示，让他们看看庐山的真面目。如果所要画的仅是一个边数少的正多边形还好办，     

圆周率史话

据目前考证,人类历史上第一个提出圆周率的是公元前十世纪的古希伯莱人,他们认为π=3。 公元前三世纪,古希腊伟大的数学家阿基米德采用穷竭法从两个方面计算圆的周长,即计算圆内接和圆外切正多边形的周长。他从正六边形开始,然后把边数逐步倍增,一直计算到正96边形,发现直径等于1的圆内接96边形的周长大于310/71,而其外切96边形的周长     

"割圆术"蕴涵的两个结论

众所周知,我国古代数学家刘徽创造的"割圆术",是用圆内接(或外切)正多边形的周长和面积作为圆的周长与面积的近似值.那么,刘徽为什么要用圆内接(或外切)正多边形的周长和面积,而不用圆的其它内接(或外切)多边形周长和面积作为圆的周长与面积的近似值呢?其实,"割圆术"蕴涵了如下两个结论:     

关于一个操作变换的问题

1 设圆内接正多边形的中心为O,在其每个顶点处分布有“ 1”、“-1”这些数(每个顶点对应一个数)。每次操作,可将以此正多边形的某些顶点为顶点的某个正多边形顶点处的数同时变号(在此,“正二角形”即一条直径亦在考虑之列,一次操作可将     

正多边形外接圆问题常见解法分析

<正>浙教版数学九年级上册“圆的基本性质”一章中,有“正多边形”的内容,同学们可以借助尺规自主作出圆内接正六边形,如利用一张正方形的纸作出一个正三角形,如果不用量角器,可以先用直尺画出三角形的底,然后画出这条线段的垂直平分线,正三角形的端点在垂直平分线上,以底边的一个顶点为圆心,底边长为半径画弧,弧与垂直平分线相交的点就是三角形的另一个顶点;计算正多边形的内角、外接圆的直径等,如正多边形外接圆的直径就是这个正多边形对角线,正多边形的内角公式为(n-2)×180°．下面我们根据学习的正多边形外接圆的知识来做几道关于正多边形外接圆的问题,并分析解法．     

普通旋轮线的拱长和拱形面积的初等求法

<正>一、刘徽的割圆术 我国古代对于圆周率有“径一周三”之说,数学家刘徽深知此说不正确。他认为,合于“径一周三”的是圆内接正六边形的周长,而不是圆的周长。他说:“然世传此法,莫肯精核,学者踵古,习其谬误。”因此有求更精确的圆周率的必要。于是他在《九章算术注》中首创“割圆术”。他从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理,求出正12边形,24边形……的边长、边数越多,正多边形的周长越接近圆周长。利用当时已有的计算圆的面积的方法:圆的面积=半周×半径=2πr/2·r=πr~2。他取半径r=1,利用圆内接正多边形的边长和半径计算了圆内接正192边形的面积,以此作替圆的面积,弃去分数部分得到π=3.14或157/50。后人为纪念刘徽就称这个值为“徽术”或“徽率”。刘徽的理论是:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以致于不可割,则与圆周合体,而无所失矣。” 严格地说,无论分割得怎样细,正多边形是永远不能和圆周重合的,圆周仅是圆内接正多边形当边数无限增多时周长的极限,但圆周却不与任一个内接正多边形的周长相等。无论如何,刘徽是     

两种正多边形的最小内接正三角形

正多边形的内接正三角形是指顶点在正多边形的边上的正三角形．正多边形的边长最小的内接正三角形问题是一个有趣的几何极值问题．本文研究正五边形和正六边形的最小内接正三角形．     

极限的理论及在新概念形成过程中的应用

极限思想是社会实践的产物．它起源于古巴比伦和埃及．原因是在求不规则图形面积和体积时遇到了类似于“一尺之棰,日取其半,万世不竭”无限过程的问题．芝诺、德谟克利特、亚里士多德等人为极限思想的建立奠定了基础．在我国极限思想可以追溯到古代．刘徽创立了割圆术,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,用圆内接正多边形周长逼近圆周长,解决了推求圆周率精确值问题,     

初中数学升学复习测试题精编──圆与正多边形（一）

初中数学升学复习测试题精编──圆与正多边形（一）－、填空题１．若圆内接梯形的一个底角为６０°，则与此角同底的另一个底角的度数等于。２．半径为５ｃｍ的圆中，若一条弦长为８ｃｍ，则此弦的弦心距等于ｃｍ。３．若圆的半径为６，则１２０°的圆心角所对的弧长等于...     

定义圓面積、圓弧長、圓扇形面積的一种方法

本刊1957年5月号“定义圆周长的一种方法”一文中我曾提到:可以通过各种途径来作出圆周长的定义,但是我们在考虑应该采取那一途径的时候,应当注意今后定义圆的面积、圆弧长、圆扇形面积的和谐性,也就是说要把定义圆周长的这个途径的精神贯徹到以后这些定义中去。在那篇文章中我介绍了定义圆周长的一种方法——从作圆的内接和外切同边数的正多边形开始,使边数无限倍增,得到一系列的内接和外切正多边形,这些正多边形的周长一个是无限递增有界数列,一个是无限递减有界数列,因此各有极限存在,证明这两数列有着共同的极限,就把这个极限定义为圆周长。本文将继续介绍根据这一精神来定义圆面积、圆弧长和圆扇形面积的方法。     

一个研究性中考题的引申与推广

安徽省 2 0 0 2年中考压轴题为 :某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时 ,进行如下讨论 :甲同学 :　这种多边形不一定是正多边形 ,如圆内接矩形 ;乙同学 :　我发现边数是 6时 ,它也不一定是正多图 1边形。如图 1 ,△ABC是正三角形 ,AD =BE =CF ,可以证明六边形ADBECF的各内角相等 ,但未必是正六边形 ;丙同学 :　我能证明 ,边数是 5时 ,它是正多边形。我想 ,边数是 7时 ,它可能也是正多边形。……( 1 )请你说明乙同学构造的六边形各内角相等 ;图 2( 2 )请你证明 ,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图…     

定义圓周長的一种方法

中学数学教学大纲(修订草案)指出:“在高中二年级,论证圆的周长和面积的求法以前,要有极限的概念的准备”,这也就是应该用在代数课中所学到的关于极限的知识来定义圆周长。但是具体办法应该怎样,那却是一个值得研究的问题。定义圆周长,通常所采用的方法是:从圆的某一种内接正多边形(例如圆的内接正六边形)出     

平面几何第七章《圆》

教学要求:1.使学生理解和掌握与圆有关的概念和一些重要性质;掌握直线与圆、圆与圆的位置关系,特别是直线与圆、圆与圆相切的判定与性质.能运用这些知识进行论证、计算和作图.2.使学生理解正多边形的概念,掌握等分圆周作正多边形的方法,能正确地利用圆内接正多边形的性质、圆的周长、面积的计算公式,解决一些有关的计算问题.3.理解反证法证明命题的思路,能够运用反证法证明一些比较简单的几何命题.     

文中的两种情形是正多边形吗

我们知道各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 关于正多边形的判定有如下的定理: 把圆分成,n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.     

应用重心原理求一类三角函数的值

正多边形的重心在中心,所以中心在坐标原点的正多边形的各顶点的横坐标的和为零,纵坐标的和也为零。从而,当正多边形内接于单位圆时,导出sum from i=0 to n-1(cos(a (2iπ)/n))=sum from i=0 to n-1(sin     

九年级结课几何质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.有下列命题①平分弦的直径垂直于这条弦;②圆内接四边形是矩形;③两弧的度数相等,则它们所对的圆心角亦相等;④各边相等的圆内接多边形是正多边形其中,正确命题的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)42.等边三角形外接圆的面积是内切圆的面积的()倍.(A)2(B     

关于球内接多面体的一个轨迹命题

文[1]得到了一个关于圆内接闭折线的一个轨迹命题:命题若闭折线的各顶点均为定圆 O 上的动点,且各顶点到平面内一定点 P(异于圆心O)的距离的平方和为定值,则这条动闭折线的重心的轨迹是圆 O 的一条弦,这条弦与 OP 互相垂直.本文将该命题推广到球内接多面体中.     

从2018年中考数学命题剖析圆的客观题考点

<正>圆作为平面几何的核心内容,一直是中考数学命题的重点内容.下面,笔者以2018年的中考真题为例,剖析与圆有关的客观题题型.考点一、圆与多边形的切接问题例1 (四川宜宾)我国古代卓越的数学家刘徽在《九章算术》中提出了"割圆术",就是用内接或外切正多边形,来逐步逼近圆,以此近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,如果用圆O的外切正六边形的面积,来近似估计圆O的面积,则S=___.(结果保留根号)分析根据正多边形的定义可得出△AB