一类二元函数条件最小值的求法及其推广

1　问题提出我们经常看到这样一道题:已知a >0 ,b >0 ,且a b =1 ,求(a 1a) 2 (b 1b) 2 的最小值.该题通常这样求解:(a 1a) 2 (b 1b) 2 =a2 b2 1a2 1b2 4=(a b) 2 -2ab 1a2 1b2 4=5 -2ab 1a2 1b2 ≥5 -2 ( a b2 ) 2 2ab=92 2ab≥92 2( a b2 ) 2=2 52 .当且仅当a =b时取等号.作为上题的推广,我们自然会想到问题1 :已知x >0 ,y >0 ,且x y =1 ,求函数f1(x ,y) =(x 1x) 3 ( y 1y) 3的最小值.对于问题1 ,我们同样可以如下求解:由题设条件可求得0 相似文献   

一道习题的拓展

北师大版实验教材《数学》（选修4—5）第20页练习2第1题题目如下：已知a〉0,b〉0,求证：（a＋b）（1/a＋1/b）≥4.     

两道不等式的简证

题 1　已知 a,b,c∈ R ,且 abc≤ 1 ,求证 :a bc b ca c ab ≥ 2 ( a b c) .(《数学通报》1 999年第 1期问题 1 1 71 )该题型新颖独特 ,其证法亦不多见 .贵刊仅在文 [1 ]中给出了一种证法 ,现笔者应用基本不等式简证如下 .证明　原式成立 a b c- c( a b c) c a b c- a( a b c) a a b c- b( a c) b≥ 2 . 1a 1b 1c- 3a b c≥ 2 . ( * )∵ 1a 1b 1c- 3a b c≥ 33abc- 13abc=23abc≥ 2 .(∵ 3a b c≤ 13abc)∴ ( * )成立 ,故原式证毕 .题 2　若 a,b,c∈ R ,abc=1 ,则aba3n 2 b3n 2 ab bcb3n 2 c3n…     

一个经典不等式的推广

数学的解题是想做到解一道题,就会解决一类题,并想通过拓展,做到举一反三.这是数学解题教学最想达到的目标.本文从一道经典的不等式问题出发,通过推广,从而达到解决一类题的目的.给出以下的不等式问题:若a,b>0,则a2/b+b2/a≥a+b1证明:由a,b>0,得a2/b+b≥2a,b2/a+a≥2b,把两式相加可得,a2/b+b2/a≥a+b成立.1问题的字母个数的推广首先,把字母的个数推广到3个,得,     

对2017年高考数学全国Ⅱ卷不等式选讲证明题的几种别证

题目 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第23(Ⅱ)题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3=2.证明:a+b≤2. 证法1不等式的变形. 因为a＞0,b＞0,a3 +b3=2, 所以a+b＞0,且(a-b)2≥0. 从而(a+b)(a-b)2≥0,即有 a2b+ab2≤a3 +b3=2. 不等式两边同乘以3得 3a2b+3ab2≤6.不等式两边同加a3+b3得 a3 +b3 +3a2b+3ab2≤8,即 (a+b)3≤8,所以a+b≤2. 证法2反证法.     

错在哪里

题 设二次函数y=(a b)x~2 2cx-(a-b),其中a、b、c是△ABC的三边,且b≥a,b≥c,若二次函数图象与x轴有交点,试确定∠B的范围.解 由题设得a~2 c~2-b~2≥0(?)cosB=a~2 c~2-b~2/2ac≥0(?)0°相似文献   

一道颇具思考的习题

中师数学课本《代数初等函数》第一册 P_(276)15题:已知 a>0,b>0,a b=20,问 a、b 为何值时,a~2 b~2最小?此题可用均值不等式求解如下:∵a~2 b~2≥2ab.∴2(a~2 b~2)≥a~2 b~2 2ab=(a b)~2.∴a~2 b~2≥((a b)~2)/2=200.当且仅当 a=b 时取“=”.∴a=b=10时,a~2 b~2取最小值200.然而,笔者发现,用柯西不等式解这个题将更简捷,     

一个猜想的证明

宋庆先生在《中学教研 (数学 )》1999年12期《一个代数不等式与一类几何不等式》一文中 ,提出了如下一个猜想 :在△ ABC中 ,有p- bb c p- ca c p- aa b≥ 34.其中 p=12 (a b c) .经研究 ,该猜想是正确的 ,证明如下 :证明　不妨设 a≥b≥c,于是p- bb c p- ca c p- aa b- 34=(p- bb c- 14) (p- ca c- 14) (p- aa b- 14)=2 a c- 3b4(b c) 2 b a- 3c4(a c) 2 c b- 3a4(a b)≥2 a c- 3b4(a b) 2 b a- 3c4(a b) 2 c b- 3a4(a b)=0 ,∴p- bb c p- ca c p- aa b≥ 34.由以上证明可知 ,当且仅当 a=b=c…     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

从一个问题开始，以一个问题结束

《数学教学》2009年第6期数学问题与解答第768题：已知a、b、c是满足a2＋b2＋c2=1的正数，求证：1/a2＋b＋1/b2＋c＋1/c2＋a≥9/2（／3-1）.     

由两道试题得到的一个不等式

下面题目出现在各类数学辅导资料上:题1 设 a>b>c>0,求证:a~2b b~2c c~2a>ab~2 bc~2 ca~2.最近笔者在解数学奥林匹克竞赛题时,遇到了与题目1相似的一道不等式题:题2 设 a>b>c>0,求证:a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2>a~2b~3 b~2c~3 c~2a~3.比较上面2道不等式题,猜想是否具有一般性的结论呢?即:当 a≥b≥c>0,s,t ∈N*且 s≥t时,是否有:a~sb~t b~sc~t c~sa~t≥a~tb~s b~tc~s c~ta~s 成立呢?     

运用构造法巧证一道IMO竞赛题

题目设a,b,c∈（0,＋∞）,且abc=1,求证：1/a3（b＋c）＋1/b3（c＋a）＋1/c3≥3/2.（a＋b）这是1995年第36届IMO竞赛试题的第2题．该题的证明方法较多,为简化证明,先作等价     

一个数学问题的推广

<数学通报>2005年8月号1570题为: 已知a、b、c∈R ,求证: a5/b3 a5/c3 c5/a3≥a4/b2 b4/c2 c4/a2≥a3/b b3/c c3/a≥a2 62 c2≥ab bc ca. 由于该题具有很好的轮换对称性,给人一种美的享受,因而笔者尝试推广.     

1999年高考理科第(17)题的六种解法

若正数 a、b 满足 ab=a b 3,则 ab 的取值范围是(1999年高考理科第(17)题).下面给出此题的六种解法,供参考.解法1 因为 ab=a b 3,a>0,b>0,所以(a-1)b=a 3.且 a-1>0,所以 b=(a 3)/(a-1).ab=(a~2 3a)/(a-1)=(a-1) 4/(a-1) 5≥2 4~(1/2) 5=9.当且仅当 a-1=4/(a-1)即 a=3时取等号.     

一道奥赛题与一个数学问题的一脉相承

<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明     

一个等式的解题功能初探

在解题过程中 ,我们经常遇到形如a +b +c =0的条件 ,笔者在教学中发现 ,在此条件下有许多简捷、优美的结论 ,且有着广泛的应用。为此 ,本文探讨在条件a +b+c=0下的结论及相应的解题功能 ,供参考。1　结论结论 1　若a +b +c =0 ,则b2 ≥ 4ac或a2 ≥ 4bc或c2 ≥ 4ab。证明　因为a +b +c=0 ,所以b =-(a +c) ,b2 =(a +c) 2 =a2 +c2 +2ac≥ 2ac+2ac=4ac ,即b2 ≥ 4ac,同理可得a2 ≥ 4bc,c2 ≥ 4ab ,命题得证。结论 2　若a +b+c=0 ,则a3+b3+c3=3abc。证明　因为a +b +c=0 ,所以有a +b =-c,(a +b) 3=-c3,即a3+3a2 b +3ab2 +b3+c3=0 ,也即a3+3ab(a +…     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

一道课本题与一道俄罗斯MO题(高一、高二、高三)

第21届俄罗斯M()题中有如下一道题:对于任何实数x,y,求证: 2.x4+2y4≥xy(x+y)2我对此题有一个巧妙证法.证明由高中《代数》课本知道当a,b是任意实数时,有 (a2+b2)/2≥((a+b)/2)2 ① a2代换a,b2代换b,得(a1-b1)/2≥((a2+b2)/2)2 ②