巧解阴影面积

求阴影面积是中考中常见的题型,它主要巧妙地构造,转移、割补来考查学生的创新能力,下面举几例说明: 1.如图1,扇形AOB的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形,点C、E、D分别在OA、OB、AB上,过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F,垂足为F,如果正方形OCDE的边长为1,那么阴影部分的面积为____。     

一道几何题的启示

复习高中数学时有这样一道习题 :设 ABDC为一正方形 (图 1),其边长为 a,E、 F分别是 CD和 BD的中点 ,对其作几何变形 :分别沿 EF、 AE和 AF折起 ,使 B、 C与 D重合于一点 ,求所得几何体之 1.高 ;2.全面积 ;3.体积。 　　解 :按题设要求 ,变形后的几何体应为 (图 2)的一三棱锥 ,它实际上是一个底面为等腰直角三角形的直三棱锥。证明过程如下 :　　由 ABDC为正方形 ,其边长为 a　　 AB=BD=DC=CA=a　　又 :E是 CD之中点 CE=ED=,　　F是 BD之中点 BF=FD=,　　将其变形后使 C、 D、 B合成为一点其结果是 CE与 ED,BF…     

对一道中考试题的赏析

【题目】如图1,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为边BC、CD 的中点,AF、DE 相交于点 G,则可得结论:①AF=DE;②AF⊥DE.(不需证明)(1)如图2,若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边BC、CD 的中点,但满足 CE=DF,则上面结论①、②是否仍然成立?(请直接回答"成立"或"不成立")(2)如图3,若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边     

利用空间向量轻松求解夹角

一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角…     

30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

函数应用题解法分析

近几年全国各地中考题中,出现了许多函数应用题,本文分类浅析这种题型的解法. 一、函数与几何例1 (1993,北京)已知:如图1,正方形ABCD中,E是BC边上的点,F是CD边上的点.且AE=AF,AB=A,设△AEF的面积为y,EC     

错在哪里

由课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著,人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册·教师教学用书》第248页拓展性问题5为:题如图1,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,E为BC边上一点,且∠EAD=45°,ED=3,求△AED的面积.《教师教学用书》的解为:如图2,过A作AF∥BC交CD的延长线于F点,因为AB=BC,所以四边形ABCF是正方形,将△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABG,所以G、B、C三点共线,AD=AG.因为∠EAD=45°,所以∠GAE=∠EAD=45°,从而△AED≌△AEG(SAS),所以EG=ED=3(注:原写为EF=ED=3,估…     

一道中考题的几种解法

有这样一道中考题:如图,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,则阴影部分的面积为()A郾仔2a2B郾仔2a2-a2C郾a2-仔4a2D郾仔a2-a2(辽宁省2004年中考试题第7小题)几种解法如下:解法一:直接分割求解.如图1,S阴影=8S弓形AMO=8(S扇形ABO-S△ABO)=8[14仔(2a)2-12(2a)2]=仔2a2-a2解法二:转换构造求解.如图2,S阴影=2·2(S半圆-S△AOC)=4[12仔(a2)2-12·a·a2]=仔2a2-a2图2OABC图1ABMO解法三:转换构造求解.如图3,先求出阴影部分面积,S'阴影=S正方形-2S半圆则该题所求阴影部分面积为S正方形-2S'阴影小结:解法二、三的实质是利…     

从一道美国数学赛题引出的一组几何定理及代数证法

第五届美国邀请赛有一试题是:如图1示,正方形S1、S2内接于直角△ABC,如果S1的面积是441,S2的面积是440,求:AC BC·在解题中笔者获得下面的数学信息:CD=AACC× BBCC.图1图2笔者还发现下面的试题,如图2示,在以AB为直径的半圆中,CD在AB为直径的半圆中,CD在AB上有一内接正方形CDEF,     

巧用面积公式证明几何题

用三角形的面积公式S△A BC=12aha=21bhb=21chc,证明几何题,过程简捷,思路清晰,方法奇妙独特,对解决问题有事半功倍的效果。现略举几例供同学们参考。一、证线段相等例1已知梯形ABCD中,AB‖BC、M在CD上,且S△A B M=21S梯形A BCD,求证:M为CD的中点。分析:由图1,若过D、M分别作DE‖MF‖AB交BC于点E、F,要证M为CD的中点,只需证EF=FC,也就是证S△AEF=S△DCF即可。证明:如图1,过D、M分别作DE‖MF‖AB交于BC于点E、F,连结AE、AF、DF,则S△AB M=S△ABF(等底等高等面积)图1又S△AB M=12S梯形ABCD∴S△ABF=12S…     

一道中考题的九种证法

题目如图1，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE，连结EM并延长交BC的延长线于D．求证：BC=2CD．（1994年吉林省中考题）一、过C点作平行线证1如图1，过C点作CF／／AB交ED于F，则易知AMEF．所以证2如图2，过C点作CF斤DE交AB于F．故BC=2CD．二、过E点作平行经证3如图3，过E点作EF／／BD交AC证4如图4，过E点作EF／／AC交BD由（1）、（2），得BC—ZCD．三、过A点作平行线证5如图5，过A点作AF／／ED交BD＿，，。，、＿＿＿。BDBE延长线于F，则于子一三千一3．——””——““’”“DFEA””证6如图6，…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初243 已知六边形ABCDEF内接于⊙O,AF∥DC,FE∥CB,ED∥BA,AB+BC=2CD.分别以六条边为一边作正方形,得到的六个正方形的面积之和为2 008.求六边形ABCDEF的周长.     

对一个面积“借用公式”的探究

例如图1：已知扇形OAB,点C在OA上,以O为圆心、OC为半径,画弧交OB于D,若弧AB的长为8π,弧CD的长为6π,AC=4,求阴影部分的面积.析解因为阴影部分的形状与梯形类似,可以借用梯形的面积公式来求阴影部分的面积.即S_（阴影）=（弧AB＋弧CD）/2×AC=（8π＋6π）/2×4=28π.这是文中出现的一道例题,＂图形类似,公式借用＂,这种解法令人拍案惊奇.文没有对这种解法的合理性作进一步的解释,这引起了我的疑惑：这种解法可靠吗？     

运用整体转化巧解阴影面积

从近几年的中考命题来看有些求阴影面积的题 ,若按常规来做非常麻烦 ,甚至无从下手 .如果将图形进行转化 ,化图形的一般位置为特殊位置进行解题 ,则妙趣横生 ,问题迎刃而解 .现举几例如下 :例 1　如图 1 ,AB =AC ,BD =CD ,且AD =8,CD =4 .求 :两阴影弓形面积的和 .分析　本题若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐 ,而根据己知条件及圆的旋转不变性 ,将CD绕圆心O旋转 ,使点D与点B重合 ,则AB DC恰好组成一个半圆 ,此时两弓形面积和转化成为 :半圆面积减去Rt△ABC的面积 .如图 2 .答案 :8π- 83.图 1　　　　　　　　图 2例 2　如图 3…     

一道几何题的引伸及应用

初中几何课本第二册第66页题9是:过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F及E,求证:AE:ED=2AF∶FB。不难将此题简单地引伸为:过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD所在直线分别交于点F及E,则AE∶ED=2AF∶FB,如图。     

多种方法求面积(二)

五、翻折法例6.计算图11中阴影部分的面积。(单位:厘米)[分析与解]以圆的半径OD为对称轴,将图中的扇形DOC对称翻折,这样阴影部分就组成了一个三角形ABD(如图12),其面积等于梯形ABOD的面积减去三角形DBO的面积,即S阴=[(8÷2) 8]×(8÷2)÷2-(8÷2)×(8÷2)÷2=16(平方厘米)。六、代换法     

理解数学(六)——谈谈数学方法的灵活运用

让我们从2001年的一道中考题谈起. 题目以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连结PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD.以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上,如图1所示.     

阴影部分面积的计算方法

计算阴影部分面积的基本思路是将其转化为几个规则图形（如：圆、扇形、弓形、正方形、矩形、三角形等等）的组合，然后用规则图形的面积计算公式进行计算．为了帮助同学们学习，下面介绍几种转化方法．一、作和法例1如图1，正三角形ABC的高AD＝4cm，那么以AD为直径的圆在正三角形ABC内部阴影部分的面积是（1990年山东省中考题）分析　设圆心为O，圆O与AB、AC分别交于E、F，连结OE、OF，将阴影部分分成扇形OEDF、△AOE及△AOF，分别求它们的面积，再相加．易知∠AOE＝∠AOF＝∠EOF＝二、作差法例2如图2，正方形的内切圆的…     

比例线段的射影证法

平面几何里有关比例式的证明方法,不少资料作了专门介绍。这里我们别具一格,介绍一种特殊的辅助证法,它具有思路简捷,证题明快,格式规范等特点。本文拟从几例加以说明。例1 过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于F及E,求证:AE:ED=2AF:FB。证明:如图甲,过点C作直线CF的垂线l,把A、B、D射影于l,则AF:FB=A’C:CB’AE:ED=A’C:CD’∵CB’=2CD’∴AF:FB=A’C:2CD’=AE:2ED     

“重叠减整法”解题例谈

例1.求右图中阴影部分面积(单位:厘米) 分析:图中正方形里有两个完全一样的扇形,阴影部分就是两个扇形的重叠部分,因此,阴影部分面积可以是两个扇形面积之和减去正方形面积。列式:3.14×4~2/360×90×2-4(?)4(?)25.12-16=9.12(平方厘米)