关于二次根式教学的一些浅见

一、教材分析1.教学内容:本节教材是在学生已经学完了数的平方根、立方根的概念以及一个数的平方根和立方根的求法,同时也初步了解了实数概念的基础上,提出二次根式的概念、性质和运算法则的.教材由数的平方根和立方根的概念加以推广,引出几次方根和开几次方的概念;进而从奇次方根和偶次方根两方面去研究方根的性质,找到负数和正数的奇次方根、正数     

(十二)数的开方测试卷

一、填空题（每空3分，共33分）：1．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的________；正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，叫做________．2．的算术平方根是________；的平方根是________3．若1．53则________4．一般地，正数的偶次方根有两个，它们互为________；正数的奇次方根是一个________，负数的奇次方根是一个________．5．________6．在中，为有理？数的是________，为无理数的是________二、判断题（正确的在括号邮画“v”，不正确的画“x”．每小题3分，共18分）：1．的平方根是2．任何实数都有一个且只有一个立…     

与初中同学谈数学问题的探讨过程(四)

记得在初中学习代数时,有一次老师为了强调“任何不等于零的实数的偶次方幂总是正数”这项基本性质的重要性,举了一个说明这项性质的作用的例子: 如果a、b是不相等的实数,     

非负数性质及应用(初二)

且看“非负数”的家族成员:一个实数的偶次幂是非负数;一个实数的绝对值是非负数;一个正数或0的算术根是非负数;偶次根式的被开方数是非负数;在数轴上原点及原点右侧的一切点所表示的数是非负数;一元二次方程有实数根,则其判别式是非负数;     

谈算术根与绝对值的复习

如何通过复习，使学生比较系统地、完整地掌握知识，并能较为灵活地加以运用，这是复习中应该考虑的问题。算术根与绝对值是两个很重要的基本概念，而学生往往只是形式上地掌握，在运用时不是产生错误，就是对有关的题目感到无从下手，如算术根的定义，学生常常仅能说出“正数的正的方根叫算术根”漏掉一ｒ“零的算术根仍是零”的规定。也就是说，对算术根的两个非负性，即方根的非负性与被开方数的非负性没有真正掌握。因此，在化简根式时，不考虑ｂ的值，误写成方程不能根据算术概括的非负性，判断出方程在实数范围内无解，而是解出后才知…     

绝对值的意义及应用

一、有关绝对值的主要内容１．绝对值的代数定义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．２．绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．３．绝对值的主要性质：（１）代数定义表达式：（２）一个实数的绝对值是一个非负数，即｜ａ｜≥０．因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．（３）任何实数都有唯一绝对值，并且任何一个实数都不大于它的绝对值，即ａ≤｜ａ｜．（４）两个相反数的绝对值相等．二、有关绝对值知识的应用１．如果根据已知条件或题目中的…     

非负数及其应用

正数和零统称为非负数。初中代数课本出现的非负数有如下3类: 1.绝对值,任何一个实数的绝对值都是非负数,即|a|≥0。 2.任何一个数的平方都是非负数,即a~2≥0。它可以推广到任何偶次方的情况。 3.算术平方根,任何一个非负数的算术平方根是一个非负数,即a~(1/2)≥0(a≥0)。它可以推广为任何一个非负数的n次算术     

非负数性质在解题中的应用

我知道若a≥0,则a叫做非负数.除此之外,一个实数的偶次幂是非负数;一个实数的绝对值是非负数;一个正数或零的算术根是非负数. 非负数有一个很重要的性质;如果几个非负数的和等于零,那么,这几个非负数都等于零.     

关于实数大小的比较法

一般地,正实数大于零,零大于负实数,两个正数绝对值大的数大,两个负实数绝对值大的反而小．两个无理数的大小比较较难,方法如下．一、根据被开方数的大小比较偶次方根大小,被开方数大的方根就大     

算术根与分指数幂

一个非负数的非负方根,叫做这个数的算术方根,简称算术根。因此,当且仅当a≥0时,根式a~(1/n)(n∈N且n≥2)表示a的n次算术根。在实数范围内,当n为偶数且a<0时。a~(1/n)无意义;而n为奇数,a<0时,a~(1/n)虽然有意义,但它不是算术根。对此,学生容易搞错。因为根式的运算法则都是针对算术根而言,所以把一个非算术根化为算术根就显得十分重要。例如,a~(1/(2n-1))(a<0,n∈N且n≥2)化成-(-a)~(1/(2n-1))或-|a|~(1/(2n-1)),这里(-a)~(1/(2n-1))或|a|~(1/(2n-1))就是算术根了。一般的,分指数幂都限制其底数大于零。即是说,一个根式化为分指数幂,也是立足于算术根的。它的意义是:a~(m/n)=a~(m/n)(a≥0,m、n∈N且n≥2)。由于学生对算术根和分指数幂的规定含糊不清,导至根式或分指数幂运算的错误的例证是不胜枚举的。就     

数与式

【知识归纳】实数有理数整数正整数零负整分数正分数负分无理数正无理数负无理代数式有理式整式单项式多项分无理式(仅学过二次根式非负实数的表示方法(1)a≥0(2)a2(3)a(4)a√分类实数代数式有关概念名称运算法则性质1.数轴2.相反数3.倒数4.绝对值5.算术根6.科学计数法7.近似数与有效数字1.在实数范围内,加、减、乘、除、乘方运算都可以进行,但开方运算不一定能进行,如负数不能开偶次方。2.实数运算的基础是有理数运算,有理数运算的一切性质、运算律和运算顺序都适用于实数运算。3.实数的大小比较。正实数大于0,负实数小于0,正实数大于一切…     

算术根的应用

算术根即非负数的非负根(特点是两个“非负”),即正数a的正的n次方根,叫a的n次算术根(n为自然数),零的算术根为零。数学中运用算术根的地方很多,但因缺乏系统归纳,特别是它在知识结构中的纵横联系被揭示得不足,因此,学生在使用这一概念时也常出错,现就“算术根”在数学中的应用做一些必要的研究。     

谈算术根与绝对值的复习

如何通过复习,使学生较为系统地、完整的掌握知识,并能较为灵活地加以运用,这是毕业复习中应该重点考虑的问题.算术根与绝对值是两个极为重要的基本概念,而学生往往只是形式地掌握,在运用时,不是产生错误,就是对有关的题目感到无从下手.如算术根的定义,学生常常仅能说出“正数的正的方根叫算术根”,漏掉了“零的算术根仍是零”的规定.也就是说,对算术根的两个非负性,即方根的非负性与     

数“零”趣谈

零不仅表示没有,而是代表一个数,零属于偶数,零不属于自然数,零是整数。零既不是正数,也不是负数;零小于一切正数,零大于一切负数;零的相反数是零,零的绝对值是零;零没有倒数,零没有对数,零不能作除数,零在数轴上用原点来表示;零的正数次幂是零,零的零次幂没有意义,零的负数次幂没有意义,非零实数的零次幂是1;零的偶次方根是零,零的奇次方根是零,零的算术平方根是零;两个互为相反数的和得零,1的对数得零;零乘以任何数得零,零除以一个不等于零的数得零;若干个数相乘,其中只要有一个为零,其积得零;两个因式相乘其积为零,则其中至少有一个因式     

非负数的性质在解题中的应用

初中数学中,非负数是学生熟悉的概念。非负数的一些性质也是学生基本了解的,如实数的偶次方为非负数;实数的绝对值、非负实数的算术根也都是非负数;最小的非负数是零;若干个非负数的和为零,那么每一个加数为零;一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)有实数根的充要条件是Δ=b~2-4ac为非负数;还有偶次根式的被开方数是非负数等等。但是在解题过程中学生往往不能自觉地应用这些性质,有时由于忽视题中非负数这一隐含条件而束手无策。下面介绍几种应用非负数的性质解题的方法。     

怎样学习《数的开方》

学习《数的开方》这一章，要特别注意下面两个问题：一、深刻理解和牢固掌握有关概念1．平方根和算术平方根的概念（1）平方根的概念著一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根，就是说，若x2=a，则x叫做a的平方根．例如，2和-2的平方都等于4，所以2和-2都是4的平方根；5和-5的平方都等于25，所以5和-5都是25的平方根．由此可知，任何正数都有两个平方根，它们互为相反数．因为02=0，所以零的平方根是零．因为正数、零。负数的平方都不是负数，所以负数没右手方根．总起来说就是：正数和零都有平方根；正数有两个平方根，它们互为相反数…     

巧用算术根定义解题

我们知道,一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根,零的算术平方根是零．运用这一定义解题,有时显得十分简捷明快．现举例说明之．平方根．分析由算术根定义及绝对值定义知＋８＝０,解得ｘ＝－２,ｙ＝４．故ｘｙ＝（－２）４＝１６,其平方根为±４．例２若ｘ、ｙ为实数,且ｙ＝值．分析由算术根的定义得１－８ｘ≥且８ｘ－１≥０,于是ｘ＝,则ｙ＝０＋０＋＝,进而可求得原式＝１．例３比较与的大小．分析粗看起来,比较这两个式子的大小,需分类讨论ａ的取值范围,还要将异次根式化为同次根式,运算较复杂．注意到算术根的定义…     

实数与代数式

①实数的概念与运算一、复习要点1实数的概念(1)和统称有理数.(2)无限小数叫做无理数.(3)有理数和无理数统称.(4)规定了、和的直线叫做数轴.实数与数轴上的点对应.(5)数轴上在原点的两侧、离开原点的距离相等的两个点所表示的两个数叫做,实数ａ的相反数是,零的相反数是.ａ与ｂ互为相反数ａ+ｂ=.(6)1除以一个不为零的数的商叫做这个数的,没有倒数.ａ与ｂ互为倒数ａ·ｂ=.(7)数轴上表示数ａ的点到原点的叫做数ａ的绝对值,记作.正数和零的绝对值是,负数的绝对值是它的.若|ａ|=ａ,则ａ;若ａ≤0,则|ａ|=.(8)将一个数四舍五入所得到的数,叫做这个…     

高中数学新教材第二章教学问答(三)

44.为什么说求对数运算与求指数幂运算具有互逆关系 ?答 :学生知道 ,2的 4次幂等于 16 ,可以记作 2 4=16 ,这里 16是 2的 4次幂 ,2是底数 ,4是指数 .在计算中 ,学生将遇到相反的问题 :2的多少次幂等于 16 ?为了表示 16是 2的多少次幂 ,我们采用了式子ｌｏｇ2 16 =4,这里 4叫做以2为底 16的对数 ,2仍然叫做底数 ,16叫做真数 .一般地说 ,如果ａ(ａ >0 ,且ａ≠ 1)的ｂ次幂等于Ｎ(即ａｂ=Ｎ) ,数ｂ就叫做以ａ为底Ｎ的对数 ,记作ｌｏｇａＮ =ｂ ,其中ａ叫做对数的底数 (简称底 ) ,Ｎ叫做真数 .在实数集Ｒ内 ,正数的任何次幂都是正数 .在式子ａｂ=…     

例谈初中数学中非负数的应用

所谓非负数,是指零和正实数。非负数是随着七年级数学中负数的引入而相应出现的一个概念性知识,它是建立在数轴、绝对值、二次根式和方程等数学范畴中的知识。常见的非负数有三种:实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根。非负数的性质在解题中颇有用处,对培养学生的数学思维能力非常有帮助。