跟我学速算

速算法则:一个十位数字是5的两位数的平方可以先写出52和个位数的和,再写出个位数的平方(个位数的平方不足10的前面加上一个数字0). 例根据所学速算法则填空: 532=□□□□ 552=□□□□ 分析:根据十位数字是5的两位数的平方可以先写出5的平方和个位数的和,再写出个位数的平方求解. 解:由速算法则可知: 532=(25+3)09=2809; 552=(25+5)25=3025. 说明:通过此方法可以快速地算出一个十位数字是5的两位数的平方.     

使比等于6:1

“六一”是国际儿童节将1～6六个数字,填入图中两圆周的六个空圈子内。要使两圆周上各数平方之和的比等于6:1,你能填吗?答案:因1~2 4~2 5~2 6~2=78 2~2 3~2=1378:13=6:1从而有解:     

末位是5的数的平方简易算法

末位是5例:752:的数的平方,等于5前面的数乘以这个数加1的积,再添上25。7 xs=56,752二5625夕1 152一11 x 12二132,1152=13225末位是5的数的平方简易算法@下关 @蒋键~~     

浅谈(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

1 .相同点( 1 )它们都是二次根式 ;( 2 )它们都是非负数 ;( 3)当a≥ 0时 ,(a) 2 =a2 =a .2 .不同点( 1 )写法不同 :(a) 2 有括号 ,a2 没有括号 ;( 2 )读法不同 :(a) 2 读作a的算术平方根的平方 ,a2 读作a的平方的算术平方根 ;( 3)意义不同 :(a) 2 表示非负数a的算术平方根的平方 ;a2 表示实数a的平方的算术平方根 ;( 4 )取值不同 :(a) 2 中的a为非负数 ,a2 中的a为一切实数 ;( 5)运算顺序不同 :(a) 2 是先求a的算术平方根 ,再求它算术平方根的平方 ;a2是先求a的平方 ,再求平方后的算术根 ;( 6 )计算结果不同 :(a) 2 =a ,a2 =|a| =a(a≥ 0 ) …     

妙解根式竞赛试题

一、妙平方例 1　计算 5 + 2 + 5 - 25 + 1-3- 2 2。(新加坡中学生数学竞赛题 )解 :设 x=5 + 2 + 5 - 25 + 1,两边平方 ,得 x2 =2 5 + 25 + 1=2 ,∴ x=2 ,3- 2 2=2 - 2 2 + 1=(2 - 1) 2=2 - 1,∴原式 =2 - (2 - 1) =1。二、妙添零例 2　化简 2 62 + 3+ 5。(美国中学生竞赛题 )解 :∴ 0 =(2 ) 2 + (3) 2 - (5 ) 2 ,∴原式 =2 6 + (2 ) 2 + (3) 2 - (5 ) 22 + 3+ 5=(2 + 3) 2 - (5 ) 22 + 5 + 3=2 + 3- 5。三、妙分离例 3　如果 5 =a,b是它的小数部分 ,求 a-1b的值。(日本中学生竞赛题 )解 :∵ 2 <5 <3,∴ 5 =2 + 5 - 2 ,∴ b=5 - 2。∴ a- 1b…     

一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

个位数是5的多位数平方的速算

应用平方公式a b)^2=a^2 2ab b^2通过适当的恒等变形，可得到个位数是5的多位数平方的速算法．     

二次根式大小比较九法

二次根式的大小比较 ,是《二次根式》一章的难点 ,其比较方法多种多样 ,这里介绍九种供大家参考 .一、比较被开方数此方法是先将根号外的数移进根号内 ,通过比较被开方数的大小来比较二次根式的大小 .例 1　比较 32与 2 3的大小 .解 :∵ 32 =32 . 2 =182 3=2 2 . 3=12则 18>12∴ 32 >2 3.二、平方比较法此方法是先将二次根式平方 ,然后通过比较平方数的大小 ,来比较二次根式的大小 .例 2　比较 3+ 5与 2 + 6的大小 .解 :∵ ( 3+ 5) 2 =8+ 2 15,( 2 + 6 ) 2 =8+ 2 12 ,则 8+ 2 15>8+ 2 12 ,∴ 3+ 5>2 + 6 .三、求差比较法此方法是将两根式相…     

如何解答数学猜测题

中考试卷中出现的数学猜测题 ,一般是先给出一些数字 ,然后提出问题 ,考生需从所给数字找出规律 ,再做出解答 .这类题目有一定的难度 ,但可以提高观察力 .例 1　已知 :1 + 3=4 =2 2 ,1 + 3+ 5=9=32 ,1 + 3+ 5+ 7=1 6 =4 2 ,1 + 3+ 5+ 7+ 9=2 5=52 ,……根据前面各式的规律 ,可猜测 :1 + 3+ 5+ 7+… + ( 2ｎ + 1 ) =(其中ｎ为自然数 ) .( 2 0 0 0 ,湖北省黄冈市中考题 )分析 :本题从规律上看是连续奇数相加所得结果为某一数平方 .但题目使用“2ｎ +1”来表示一个抽象的奇数 ,这便增加了难度 .经观察 ,每个式子的最后一个奇数加 1除以 2再平方…     

特殊方法解二次根式题

一、常数变换 ,水到渠成例 1.化简 2 62 3 5。分析 :若直接用分母有理化 ,则计算繁杂。若注意到 6=2· 3,2 3=5,0 =2 3- 5,采用添 0后进行因式分解的办法处理 ,解法简捷。解 :原式 =2 6 ( 2 3- 5)2 3 5=( 2 2 6 3) - 52 3 5=( 2 3) 2 - ( 5) 22 3 5= 2 3 - 5。二、平方配方 ,柳暗花明例 2 .计算 5 2 1- 5- 2 1。解 :设 k=5 2 1- 5- 2 1,显然 k>0 ,则 k2 =( 5 2 1- 5- 2 1) 2 =6　∵ k>0 ,∴ 5 2 1- 5- 2 1=6。三、巧妙换元 ,事半功倍例 3.计算 n 2 n2 - 4n 2 - n2 - 4 n 2 - n2 - 4n 2 n2 - 4　( n>2 )。分析 :若直接分母有理化…     

完全平方数与数学竞赛

设m是整数,若存征整数n,使m=n~2,则称m是一个完全平万数。如0,1,4,256,…都是完全平方数。在国内外的数学竞赛中,常常出现有关完全平方数问题。本文就介绍完全平方数的一些性质及其应用。 一、完全平方数的性质 性质1.完全平方数的个位数字只能最0,1,4,5,6,9之一。 性质2.偶数的平方为偶数,且能被4整除。 性质3.奇数的平方被8（或4）除余1。 性质4.任何整数的平方,或被3整除,或被3除余1。 性质5.任何整数的平方,或被5整除,或被5除余1,或被5除余4。 性质6.奇平方数的十位数字必为偶数。     

几个与完全平方、平方和有关的问题(上)

数学中有不少与完全平方、平方和有关的问题 ,最著名的莫过于勾股 (毕达哥拉斯 )定理 .该定理还有不少延伸和拓广 ,比如 ,三角函数中ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1即是一例 .本文要谈及的是一些关于数的、但又较为有趣的、与完全平方或平方和有关的问题 .一个Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ问题公元 3世纪前后 ,亚历山大学派的学者丢番图 (Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ)发现 :分数组 11 6,3 31 6,681 6,1 0 51 6中任何两数之积再加 1 ,皆为某个有理数的平方 .稍稍验算不难发现结论的正确 :11 6×3 31 6+ 1 =1 71 62 ,11 6×681 6+ 1 =1 81 62 ,11 6×1 0 51 6+ …     

怎样学习《数的开方》

学习《数的开方》这一章，要特别注意下面两个问题：一、深刻理解和牢固掌握有关概念1．平方根和算术平方根的概念（1）平方根的概念著一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根，就是说，若x2=a，则x叫做a的平方根．例如，2和-2的平方都等于4，所以2和-2都是4的平方根；5和-5的平方都等于25，所以5和-5都是25的平方根．由此可知，任何正数都有两个平方根，它们互为相反数．因为02=0，所以零的平方根是零．因为正数、零。负数的平方都不是负数，所以负数没右手方根．总起来说就是：正数和零都有平方根；正数有两个平方根，它们互为相反数…     

自生数、超级数及其有关问题

从“以数字0、1、5、6为结尾的数，平方后仍以这些数字为其结尾”这一常识出发，研究自生数、超级数。同时还与方程x^2=x紧密联系起来，从而推广了[1]的结果。     

从一个条件极值问题谈起

请看下面的问题:当变数x,y满足条件:4x~2-5xy 4y~2=5时,求函数W=x~2 y~2的最大值和最小值。显然这是一个条件极值问题。联想到x~2 y~2表示动点P(x,y)到原点的距离平方,因此本题实际上是求曲线4x~2-5xy 4y~2=5上的动点P(x,y)到原点的距离(的平方)的极值问题。从这个几何意义及方程4x~2-5xy 4y~2=5的对称性出发,我们至少可以得到以下四种解法:     

关于Diophantine方程x3+p3n=Dy2

设p是奇素数．D是无平方因子正奇数．本证明了：当P=5(mod 12)，D=3(mod 4)时．如果D不能被P或6k 1之形的素数整除．则方程x^3 p^3n=Dy^2没有适合gcd(x，y)=1的正整数解(x，y)．     

一类无理方程的另一解法

解无理方程,通常是采用两边平方的办法。但这样做往往要进行两次以上的平方,出现高次方程,给解方程带来困难。本文介绍另一种解法——“平方差法”。先看例1 解方程(x~2+x-2)~(1/2)-(x~2+x-5)~(1/2)=1 (1) 解:由恒等式((x~2+x-2)~(1/2))~2-((x~2+x-5)~(1/2))~2=3 (2) (2)÷(1)得(x~3+x-2)~(1/2)+(x~2+x-5)~(1/2)=3 (3) (1)+(3)化简得(x~2+x-2)~(1/2)=2 (4) 两边平方整理得x~2+x-6=0 解得x_1=2,x_2=-3。经检验知,x_1=2,x_2=-3都是原方程的根。用这种方法解无理方程,虽然避免了高次方程的出现,但是有可能遗根。请看例2 解方程(x~2+5x-6)~(1/2)+2=(x~2+x-2)~(1/2)+22~(1/2) 解:将原方程变形为(x~2+5x-6)~(1/2)-(x~2+x-2)~(1/2)     

在观察中寻找规律

在小学数学计算教学中,经常会遇到计算19×19、29×29、99×99、201×201、999×999……也就是计算两个相同奇数的乘积。对于任意一个奇数的平方,是否有它的计算规律呢?请看下面的算式:1×1=0×2 13×3=2×4 15×5=4×6 17×7=6×8 19×9=8×10 111×11=10×12 1……n×n=(n-1)     

自生数、超级数及其有关问题

从“以数字 0、 1、 5、 6为结尾的数 ,平方后仍以这些数字为其结尾”这一常识出发 ,研究自生数、超级数 同时还与方程x2 =x紧密联系起来 ,从而推广了文 [1]的结果     

神秘的自守数

自守数是这样的数,其平方的尾数是这个数自身.5和6就是自守数,你瞧:52=25,62=36.不仅如此,任何两个正整数相乘,只要它们的末位数都是5或者6,那么,乘积的末位数也必然仍旧是5或者6.例如:15×35=525,86×96=8256.0和1自然是自守数,它们被称为平凡自守数,我们不去讨论它们,这样一来,在一位数中,不算0和1,就只有5和6是自守数了.因为762=5776,所以76是一个两位数的自守数,而且,任何两个以76结尾的正整数相乘,它的乘积也必然以76结尾.例如:876×376=329376,1976×5576=11018176.要是你乘这样的数,积的末两位不是76,那肯定就是做错了.不过,积的末两…