判断函数周期性的一个充分条件

有这样一个三角题:求证sin(x+π/3)+sin(x-π/3)=sinx。应用和差化积证明是很简单的。现在的问题是:它的逆命题是否成立。我们设对于任何实数x,函数f(x)满足     

例谈“弦化切”解高考三角题(高一、高二、高三)

在同角三角函数的关系中,“切割化弦”是解决三角题的通法,但它的反面:“弦化切”则很少用,其实在学习中,要重视一个事物的两面,不要过于强调一面,偏废另一面.本文就想说明“弦化切”在解一些三角题时也有它的妙处. 例1 若sin2x>cos2x,则x的取值范围是     

平方差公式在中学阶段的运用

初中一年级课本上的平方差公式为:a~2-b~2=(a b)(a-b),对于某些数学问题就能灵活地运用它来求解,现将它的运用介绍如下: 1 解不等式 主要是把不等式中的分母配成一个平方差公式,然后进行有理化。 例1 对于x取哪些值时,下列不等式成立: 分析:①先对不等式进行整体与局部分析;②分母的限制和被开方式的要求。 解(I) 由(1)得x≠0,(2)得x≥-1/2,∴(I)的解集为:x≥-1/2且x≠0。     

一元一次不等式的应用

学习不等式,重要的是灵活运用它来解决各种实际问题.一元一次不等式在解题中的应用,常见的有以下几类.一、比较两个代数式的大小例1比较x2-x 3与x2-3x 9的大小.解:(x2-x 3)-(x2-3x 9)=2x-6.当2x-6>0,即x>3时,x2-x 3>x2-3x 9;当2x-6=0,即x=3时,x2-x 3=x2-3x 9;当2x-6<0,即x<3时,x2-x 3相似文献   

浅谈数学教学中的两种比较方法

比较是数学教学中常用的方法之一。通过比较,可以较好地理解概念的本质,揭示解题的规律,掌握最佳的解题技巧和方法。本文想从两个方面谈谈自己在教学中的点滴体会。一、正反两面比较法一个事物,如果既懂得它的正面,又知道它的反面,那么对这个问题就会有比较深刻的了解。我们在讲函数的奇偶性时,如果按着书上的内容复述几遍:“对于函数f(x):如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。”不管你从正面解释得如何详细,学生对“定义域内任意一个x,”还是理解模糊的。学生很容易“识记”的便是f(-x)=-f(x)。久而久之,他们便把f(-x)=-f(x)作为判     

利用转化思想巧解圆锥曲线问题的几点思考

<正>一、利用定义陌生问题熟悉化圆锥曲线问题涉及的概念、定义比较多,只有深刻理解、运用这些基本概念,才能真正把握解题途径,实现陌生问题熟悉化。例1如图1,已知定圆C_1:x²+y2+y²+4x=0,圆C_2:x2+4x=0,圆C_2:x²+y2+y²-4x-60=0,动圆M与定圆C_1外切,与定圆C_2内切,求动圆的圆心M的轨迹方程。     

利用x＋1／x解题

式子x 1/x在代数变形中具有非常广泛的应用，利用好它能简捷地将问题化解.有时，题目表面上不具有x 1/x的形式，但可根据条件或结论化得式子x 1/x,下面就举例谈谈这方面的问题.     

因式分解的换元解法

换元法是数学中的一个重要的思想方法 ,就是将代数式中的某一部分用一个新字母来替换。此法用于多项式的因式分解 ,可使隐含的因式比较明朗地显示出来 ,从而为合理分组、运用公式等提供条件 ,使问题化难为易。例 1.分解因式 x4 2 0 0 1x2 2 0 0 0 x 2 0 0 1。解 :设 2 0 0 1=a,则原式 =x4 ax2 (a- 1) x a=(x4 - x) (ax2 ax a)=x(x- 1) (x2 x 1) 　 a(x2 x 1)=(x2 x 1) (x2 - x a)=(x2 x 1) (x2 - x 　 2 0 0 1)。例 2 .把代数式 (x y- 2 xy) (x y- 2 ) (xy-1) 2分解成因式的乘积 ,应当是。解 :设 x y- 2 =…     

智解绝对值赛题

绝对值是初中代数的重点 ,它是中考与竞赛中的常见问题 ;绝对值是初中代数的难点 ,但灵活巧妙地运用绝对值的定义、非负性、几何意义 ,就能化难为易 ,智解问题 .一、智用绝对值的非负性解题例 1　 (第十六届江苏省初中数学竞赛初一试题 )如果 | x -2 | + x -2 =0 ,那么 x的取值范围是 (　　 )(A) x >2 .　　　　 (B) x <2 .(C) x≥ 2 .　　　　 (D) x≤ 2 .解 :由条件知 :| x -2 | =2 -x;由绝对值的非负性知 :2 -x≥ 0 ,即 x≤2 ,故选 (D) .评注 :所有实数的绝对值都大于或等于零 ,这是绝对值的非负性 .本题就是利用这一性质 ,求出 x的取…     

换元法在因式分解中的应用

换元法是中学数学的重要解题方法 ,应用极为广泛 ,将此法应用于多项式的因式分解 ,有时能使比较隐蔽的因式迅速显露出来 ,为合理分组、运用公式扫清障碍、铺平道路 ,从而使因式分解化难为易。一、用相同部分换元例 1.分解因式 :( x2 4x 3) ( x2 12 x 35) 15。 ( 1998年“三峡杯”初三数学竞赛决赛试题 )解 :原式 =( x 1) ( x 3) ( x 5) ( x 7) 15=〔( x 1) ( x 7)〕〔( x 3) ( x 5)〕 15=( x2 8x 7) ( x2 8x 15) 15。设 y=x2 8x,则原式 =( y 7) ( y 15) 15=y2 2 2 y 12 0=( y 12 ) ( y 10 )=( x2 8x 12 ) ( x2 8x 10 )=( x 2 ) …     

“分子常数化”在求分式函数值域上的应用

我们都知道函数y=k/x(k≠0)的值域为{y | y≠0},函数y=x k/x(k＞0)的值域为y∈(-∞,-2√k]U[2√k, ∞),借这两种函数原型,可用"分子常数化"来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:     

函数的单调性在解题中的应用

叭之耸谬纷矽塔孚替示芝邢示,示半布娜年之多尔赴吮示妞巧屯妞听裂名示娜汐忿示之竺示替不巡不之价而屯乏,临矛 函数的单调性是函数的一个极其重要性质,利用它解题灵活、简捷、巧妙,能起到化难为易、化繁为简的作用。下面分类举例说明它们的应用。 一、比较大小 例1:比较犷 bx 。x与(a b c)x的大小(a,b,。任R十,x>l) 解:构造函数“X,=唁嚣硫,· ‘游几)· (~,牛一)‘,则函数f(x)是R上的减函数,又、>1,\a b e了’产、寸~~‘\~,~“一”‘’”一~’‘、‘’‘一’…f(x)相似文献   

一道课本例题的推广和应用

《义教本》在学习分式方程内容时有这样 一道例题:解关于x的方程:x+1/x=c+1/c,得 其解为x1=c,x2=1/c仔细观察、比较,此方程 很有特点,方程的左边是未知数与其倒数的和, 右边的形式与左边的形式完全相同,只是把未 知数换成了某个常数,而其解有两个,是这个常 数和它的倒数．这个结论简单易记,而且还可 以加以推广并应用． 例1 (2004年福建莆田的中考题):阅读 《义教本》在学习分式方程内容时有这样 一道例题:解关于x的方程:x+1/x=c+1/c,得 其解为x1=c,x2=1/c仔细观察、比较,此方程 很有特点,方程的左边是未知数与其倒数的和, 右边的形式与左边的形式完全相同,只是把未 知数换成了某个常数,而其解有两个,是这个常 数和它的倒数．这个结论简单易记,而且还可 以加以推广并应用． 例1 (2004年福建莆田的中考题):阅读     

初学解方程 防止出错

初学解方程时常见错误如下: 一、化未知数系数成1时常出现的错误例1 解方程:(1)5x=1;(2)(1/10)x=1/2;(3)(1/3)x 初学解方程时常见错误如下: 一、化未知数系数成1时常出现的错误例1 解方程:(1)5x=1;(2)(1/10)x=1/2;(3)(1/3)x=0。错解 (1)系数化成1,得x=5; (2) 系数化成1,得x=1/20; (3) 系数化成1,得x=3。剖析“系数化成1”应在方程两边同除以未知数的系数。     

例谈求参变量取值范围问题

函数是中学数学中永恒的主题,并且它与方程、不等式等内容的联系非常密切.本文针对一类含参变量方程和不等式问题进行探讨,通过利用函数的有关性质,使这些问题化难为易.一、构造函数法例1对于0≤x≤1,不等式(x-(1)log3a)2-6xlog3a x 1>0恒成立,求a的取值范围.解:构造函数(f x)[     

解三角方程式的一些体会

在高中内要傅授解三角方程式的知识时固然首先要求同学通晓那些恒等变换的公式,但是往往由于解方程的技巧的丰富多采而使同学颇难系统地掌握,即使教师有时解出了方程而不知为何用此法求解。事实上三角方程求解大多数要借助于技巧。例如解三角方程sin 2x sin 7x+sin 11xsin 20x+sin 17x sin 48x=0宜乎用積化差公式化簡得cos 5x-cos 65x=0,然后再施用差化積公式化简得sin 30x sin 35x=0从而得到它的解是x=(nπ)/15或(2nπ)/35,其中n是任意整数。     

解一次方程组的常见方法与技巧

一次方程组是进一步学习方程组的基础 ,在中考和一些数学竞赛试题中 ,经常以其解法独特、构思巧妙的形式出现 .对于一些复杂的方程组 (如未知数系数较大、方程个数较多等 ) ,除了掌握代入消元法和加减消元法外 ,还应根据方程组的具体结构特征 ,灵活选用一些特殊的方法和技巧 ,巧妙消元 ,简化解题过程 ,达到化难为易 ,化繁为简 ,化未知为已知的目的 .举例如下 :一、整体代入法例 1　解方程组2 x +3( 5x +7y) =4　 ( 1)12 ( 5x +7y) =1　　 ( 2 )分析 :方程 ( 1)与 ( 2 )中都含有 5x +7y的项 ,可把它看作“整体”,由 ( 2 )求出 5x +7y的值 ,代…     

直线关于直线的对称问题

对称问题是高中数学的比较重要内容,它的一般解题步骤是: 1.在所求曲线上选一点M(x,y); 2.求出这点关于中心或轴的对称点M'(x0,y0)与M(x,y)之间的关系; 3.利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0. 直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题,但它的解法很多,现列举其中的几种,供大家参考.     

一个极小化问题的存在性和极限定理

本文在一类满足Young条件的函数族{P(A,x):A∈A}上,考虑了如下的极小化问题:求A*∈A使||E(x,P(A*,x))||x=(?)||E(x,P(A,x))||_x我们建立了存在性定理,得到了关于极小解的几个极限定理。     

三角代换在解题中的应用

<正>数学中,三角代换是一种重要的方法,其在研究函数的有关性质、不等式的相关证明以及在各种化简求值中的应用都比较广泛.三角代换实质上是一种转化思想,即化所求为已知,化陌生为熟悉,化难为易,化繁为简,从而达到优化数学解题的过程.当然,我们还要注意三角代换的整个过程,要保证代换的等价性.一、在函数中的简单应用【例1】求函数y=槡x-4+槡15-3x的值域.分析:由4≤x≤5,化[4,5]为[0,1],可设x=4+