一道高考题的解法探究

题目:(2013年全国新课标Ⅰ卷文16题)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则.解法1:利用辅助角公式辅助角公式:asinθ+bcosθ=     

浅谈对结构式asinθ+bcosθ最值的思考

<正>本文从一道高考题入手,谈谈对结构式asinθ+bcosθ最值的一些思考方法,供参考.题目(2013年高考新课标全国卷1文科第16题)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cosθ=____.本题中函数f(x)的表达式为sinx-2cosx.对于这样一类结构式asin x+bcos x的最值,解题时可以有以下一些思考方法.一、联想辅助角公式     

一个三角函数的求值公式及其应用

<正>在三角函数中,我们经常遇到一类形如"已知asin x+bcos x=c,求角x的某(些)三角函数值"的问题.解决这类问题的一般思路是:将条件式与sin~2x+cos~2x=1联立解方程组,求得sin x或cos x,再通过同角三角函数的关系式求得其它三角函数值.这种处理方法虽然思路清晰,但运算量较大,且涉及到开平方对正、负号的取舍,尤其是遇到限制了角     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

asinα+bcosα的一个性质及应用

性质　若 sinα与 cosα的一次齐次式asinα+ bcosα满足 asinα1 + bcosα1 =asinα2+ bcosα2 =0 (α1 ≠ kπ+α2 ,k∈ Z) ,则 asinα+bcosα恒等于零 .证明　由条件 asinα1 + bcosα1 =0 ,asinα2 + bcosα2 =0 ,∵α1 -α2 ≠ kπ( k∈ Z) ,∴ sinα1 cosα2 - cosα1 sinα2 =sin( α1 - α2 )≠ 0 ,∴上述关于 a,b的齐次线性方程组只有零解 a=b=0 ,∴ asinα+bcosα恒等于零 .利用上述性质 ,可以使一类三角函数式的求值、化简、证明问题 ,获得简明的解法 ,下面略举几例 ,以示说明 .例 1　求证 :sin( 5π6 - φ) + sin( 5π6 + φ) …     

“2004”趣题四则

1 设f(x) =asin(πx +α) +bcos(πx +β) +4 ,其中a、b、α、β都是非零实数 ,若f( 1991) =5 ,求f( 1992 ) +f( 1993 ) +…+f( 2 0 0 4) 的值 .2 已知y1 =2x ,y2 =2y1 ,y3 =2y2 ,… ,y2 0 0 4=2y2 0 0 3 ,求 y1 ·y2 0 0 4.3 求证 :log2 0 0 3 2 0 0 4>log2 0 0 42 0 0 5 .4 求证 :1+12 2 +13 2 +14 2 +… +12 0 0 3 2 +12 0 0 42 <2 .参考答案1 ∵f( 1991) =5 ,∴asin( 1991π+α) +bcos( 1991π+β) +4 =-asinα -bcosα+4 =5 ,∴ -asinα-bcosβ=1,即asinα+bcosβ =-1.∴f( 1992 ) =asin( 1992π+α) +　bcos( 1992π +β) +4=asinα…     

关于三角型函数y=asinωx＋bcosωx的奇偶性

通过三角函数奇偶性的定义、三角辅助角公式、诱导公式，用分类讨论的思想方法，对三角型函数Y=asinωx＋bcosωx的奇偶性进行研究，并得到了相应的结果．     

学习公式asinθ+bcosθ=(a~2+b~2)~(1/2)sin(θ+φ)(ab≠0)的四个层次

一般地,三角式asinθ＋bcosθ（ab≠0）总可通过添设辅助角,利用三角变换知识转化为“√a^2＋b^2sin（θ＋φ）,即得公式     

函数y=a/sinx b/cosx的最小值

本文应用待定系数法和柯西不等式给出下面函数的最小值 .定理　函数 y=asin x bcos x,x∈ ( 0 ,π2 ) ,a,b为正常数 ,则 ymin=( a23 b23) 32 .证明　设 m,n为待定正常数 ,由柯西不等式 ,有( asin x bcos x) ( msin x ncos x)≥ ( am bn) 2 ,1( m2 n2 ) ( sin2 x cos2 x)≥ ( msin x ncos x) 2 . 2由 1 ,2得asin x bcos x≥ ( am bn) 2m2 n2 . 3而 3式中等号成立的条件是 1 ,2式中的等号同时成立 ,即 :amsin2 x=bncos2 x且 msin x=ncos x,亦即 :m=3ak,n=3bk( k>0 ) ,代入 3式整理得asin x bcos x≥ ( a23 b23) 32 .下面举例说…     

从一道课本例题到一类高考试题--兼谈"辅助角"法在三角解题中的应用

《全日制普通高中教科书·数学》第一册(下)P39例5是一道关于三角函数的证明题:“求证cosα+3sinα=2sin(6π+α)”.这道例题看起来平淡无奇,但实质上内涵丰富,令人回味无穷.从证明方法上看,既可以从左向右证,也可以从右向左证,灵活多变.如果换一个角度思考,还可以将证得的结论进行引申推广,得到:“asinα+bcosα=a2+b2sin(α+),其中tan=ab,称为辅助角,它与点(a,b)同象限”.事实上,asinα+bcosα=a2+b2(aa2+b2sinα+a2b+b2cosα),令a2a+b2=cos,ba2+b2=sin,则asinα+bcosα=a2+b2(sinαcos+cosαsin)=a2+b2sin(α+),并且tan…     

如何求解如y=3sinχ+4cosχ(χ∈[0,π/6])一类函数的值域(最值)

求形如 y=asinχ+bcosχ且定义域为R的函数的值域(最值)可用特殊角(π/12,π/6,π/4,7π/12)的三角函数值来替换特殊值((6)±(2)/4,1/2,(2)/2,(3)/2)并化成形如 y=Asin(ωx+φ)+κ形式的值域(最值)问题,多数同学都掌握得很好.     

也谈化asinα+bcosα为一个函数的问题兼与淡异如同志商榷

淡异如同志在《关于化 asinα+bcosα为一个函数的问题》一文中(以下简称《淡文》,见本刊82年第5期《教材讨论》专栏)认为:“部编教材(高中一册)中,化 asinα+bcosα为一个函数的结论:asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))(其中(?)由 tg(?)=b/a 确定)”不妥.其理由是:“由 tg(?)=b/a 确定的(?)不是唯一的”,“其中有的(?)能使等式 asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))成立,有的(?)则不能使上面等式成立”。并以“化-2~(1/2)/2sinα+2~(1/2)/2cosα     

利用三角方程asinx+bcosx=c有解的条件解题

<正> 三角方程asin x+bcos x=c有解的充要条件是利用这一结论,可简捷地解决一些三角函数问题.一、求有关三角函数的值域或最值例1 求函数y=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值     

正、余弦定理的新推导

新教材利用向量数量积 ,分别用不同方法推导出正弦定理和余弦定理 ,其技巧不易想到 .我们尝试用向量的坐标表示及其运算 ,引导学生推导 ,结果事半功倍 ,“一箭三雕”.图 1如图 1,在△ABC中 ,|AB|=c,|BC |=a,|AC|=b,则 AB=(c,0 ) ,BC=(acos(π- B) ,asin(π-B) ) =(- acos B,asin B) ,AC=(bcos A,bsin A) .∵ AC=AB+BC,∴ (bcos A,bsin A)=(c,0 ) +(- acos B,asin B)=(c- acos B,asin B) .∴ bcos A=c- acos B,bsin A=asin B,(bcos A) 2 +(bsin A) 2 =(c- acos B) 2 +(asin B) 2 ,∴ acos B+bcos A=c(射影定理 ) ,asin A=b…     

辅助角公式的应用

在六年制重点中学高中数学课本代数第一册上有这样一道例题,化asinα bcosα为一个角的三角函数形式,课本上最后解答是这样的: asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)……(A)(其中φ角所在象限由a,b符号确定,φ角的值由tgφ=b/a确定) 因为角φ通常称为辅助角,故本文中把公式(A)称为辅助角公式,此公式在求值,证恒等式,不等式,求极值等方面均有十分广泛的应用,现举例如下。 [例一] 已知:a、b不同时为零,且 asinx bcosx=0 … (1) Asin2x Bcos2x=c … (2) 求证:2abA (b~2-a~2)B (a~2 b~2)c=0 证明:将(1)式变形为 (a~2 b~2)~(1/2)sin(x φ)=0 … (3) ∵ a,b不同时为零,由(3)得 sin(x φ)=0     

对如何求解Y＝3sin x +4cos x{x∈[0,π/6]}一类函数的值域(最值)的再思考

文[1]对形如Y＝asin x + bcos x(x∈R)的函数当化成形如y=(a2+b2)sin(x+φ),其中φ为非特殊角(π/12,π/6,π/4,π/3,(π)/12)的值域(最值)问题进行了探讨,其中两个例题对甲角所在象限及范围的选取各有不同.笔者的观点是,φ角所在象限及范围的选取略嫌繁琐,这不但不利于学生的掌握反而加重了学生的学习负担,经过思考,笔者认为其实Ч角可以始终选择在第一象限,且为锐角.接下来本文将改进后的解法展示如下,并再提供三种解法,供大家参考.     

例谈一类三角问题的解析求法

含有asin α±bcos α(或asin α±bsin β或acos α±bcos β)所满足条件的三角问题是三角中的常见题型,常利用三角公式通过三角变换解决.本文拟通过实例说明,可以创设解析几何背景,构造直线与圆,借助直线与直线、直线与圆的位置关系,以形助数,利用解析法求解此类问题.并希望通过此法,强化学生对三角与解析几何的横向联系,培养学生的创造性思维能力.     

化asinα+bcosα为一个角的三角函数式的两种方法

化asinα+bcosα为一个角的三角函数式,是高一代数中的重要内容之一。公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ),对于高一学生最棘手的是φ值的确定。笔者在近几年的教学中采用下面两种方法,化解了难点,学生便于接受,效果较好。方法一:由tgφ=b/a及a、b的符号确定φ的值。     

2004年全国高考三角题题型及解法

本文以 2 0 0 4年各地高考三角题为例 ,就题型与策略谈几点拙见 ,以供参考 .1.用公式asinα+bcosα =a2 +b2 sin(α+φ)化为一个角的某个三角函数 .【例 1】　求函数y=sin4 x+2 3sinxcosx-cos4 x的最小正周期和最小值 ,并写出该函数在 [0 ,π]上的递增区间 .解 :y =sin4 x+2 3sinxcosx-cos4 x=3sin2x-cos2x =2sin( 2x-π6)故此函数的周期为π ,最小值为 -2 ,[0 ,π3 ]为递增区间 ,[23 π ,π]为递增区间 .练习 1:求函数y=sinx -12 cosx(x∈R)的最大值 .2 .通过化简转化为以tanα为主元的代数式 .【例 2】　已知tan(α+π4) =2 ,求 12sinαc…     

用辅助角公式求解最值问题

<正>众所周知,形如y=asin x+bcos x型的三角函数,常采用如下变形:■其中■这一公式通常称为辅助角公式,它在求解函数最值问题上有着很重要的作用,在高考题和模考题中多有体现.一般来讲,有些问题的表述使得学生常常想不到运用此类方法求解.本文以高考、模考题为例,浅谈该公式在求解函数最值问题