(a-b+c)/(a)+(b-c+a)/(b)+(c-a+b)/(c)的一个下界

安振平先生在<中学数学月刊>2003年第7期<一个三角形中的不等式>一文中给出了不等式:     

方程1/(x a) 1/(x b)=0的启示

众所周知，分式方程的解是均数的相反数．显然，如果c d=a b，那的解也是从而可推知的解也为因此得如下命题1如果a b=c d，且a、b、c、d互不相等，那么分式方程1/x a-1/x d=1/x c-1/x b的解是x=-a b c d/4.证明由1/x a-1/x d=1/x c-1/x b可得（若不然，则有与已知条件矛盾）利用这个结论，可简洁地解一些分式方程例1解方程解这个方程满足命题1的条件，所以方程的解是注利用命题1解分式方程不会产生增根，故验根这一步骤可略去．例2解方程：解原方程可变形为：由命题1，原方程的解为命题1中的x换成关于x的整式、分式、根式，也有类似结论．命…     

方程(x/a)~(1/2)+(y/b)~(1/2)=1的讨论

众所测方程周知,方程二告+y告子于+了十一,,二。于(。>。)表示的曲线,是抛物线的一段.据此,可推a>O,b>0)(1)也表示抛物线的一段.好共+存十1>。,故方程川黝于(摇+了哥一1卜(再+了哥,)一”,又形变为2了翼一卜普一誉.两端平方(由于2丫器+(卜含一誉,-卜(了含一了韵’>。,它又等价于/~20~‘J1兰了一一黑芝{了二罗戈U畏尧;x乓之a.夕2_Zx_2夕山,一n节广.一;,万-—一—-一万-吕1—U D“aD(2)利用二元二次方程的不变量,0(封《b 可判断出(2)表示一条抛物线的一段.事实上,二联、。,由此可见(2)表示抛 a~V一1一ar一bl 一一1一abl一护1一b 一一1了1一…     

关于线段的等式(1/a)+(1/b)=(1/c)的一种证法

在平面几何中,有一类证明两线段的倒数和等于另一条线段的倒数问题,这类问题往往使同学们感到棘手,无规律可循.下面就介绍一种行之有效的证法,供大家参考.     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

一再出现的1/a+1/b=1/c(初二、初三)

在《相似三角形》一章的学习中遇到这样一道题: 例1 如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足为B、D,AD与BC相交于点E,EF⊥BD.可证明1/AB 1/CD=1/EF.     

“1/a+1/b+1/c”的特殊证法

在平面几何中经常会碰到型如“1/a+1/b=1/c”的证明问题。现以全日制十年学校初中数学课本《几何》第一册(以下简称:课本)中出现的问题对其证法进行探讨: [问题]:在△ABC的一边AB上任取一点C′,过A、B作CC′的平行线分别交BC、AC的延长线于A′、B′,求证:1/(AA′)+1/(BB′)=1/(CC′)。证:(如图1)     

不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9的引申与推广

若ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则(ａ ｂ ｃ) ( 1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9( )是初等数学中的一个基本不等式 ,利用平均不等式可容易得证 .本文讨论它的引申与推广形式 .首先 ,容易得到该不等式的一般推广形式 .若ａｉ>0　 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 ａ2 … ａｎ) ( 1ａ1 1ａ2 … 1ａｎ)≥ｎ2 .( 1)( 1)可变形为1ａ1 ａ2 … ａｎ≤ 1ｎ21ａ1 1ａ2 … 1ａｎ.( 1’)利用以上结果 ,我们可以对不等式 ( )进行以下一系列的引申和推广 .设ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则〔(ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ)〕( 1ａ ｂ 1ｂ ｃ 1ｃ ａ)≥ 9, ( )于是　　 1ａ ｂ 1ｂ …     

方程f(x) 1/f(x)=c 1/c

西南师范大学出版社出版的初中数学试验教材(内地版)代版第二册P、136、1(3)题和实验课本高层次代数第2册P、108、3题都是关于x的方程:x 1/x=a 1/a,这个题目非常好。好在它的构造是倒数型、对称型,所以形式简洁美丽,好在它的解也对称、简明、易记,更好在能推广灵活运用也同样有对称美、简洁美。命题一方程:x 1/x=c 1/c(?)x_1=c,x_2=1/c(证略) 如果将未知数x换为x的函数f(x),则有: 命题二方程f(x) 1(f(x))=c 1/c(?)f(x)=c,f(x)=1/c,(其中x为未知数,f(x)为x的函数) 证明:∵f(x)≠0,c≠0。     

形如f(x)=ax~m+b/x~n+c的函数模型

讨论了函数f(x)=ax~m＋b/x~n＋c的最值问题,并举例说明其应用.     

从渐近线的角度认识函数y=(ax+c)+(b/(x+d))(ab≠0)

证明函数y=(ax+c)+bx+d(ab≠0)的图象是双曲线的方法很多,但是有些知识点中学生尚未学习或掌握,有些方法的技巧性较高,如何     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(d-cx)~(1/2)的值域

本刊2002年第4期文[1]用改进了的三角换元法举例说明了无理函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac<0)最小值和最大值的求法,读后颇受启发.本文将用“双换元法”给出这类无理函数的最小值和最     

(a·b)c=a(b·c)成立的充要条件

<正>我们知道,在向量数量积的运算中,不考虑(a·b)·c,这是因为数量积运算符号"·"只适用于两个向量之间,而不适用于数与向量之间,a·b是一个数,故(a·b)·c没有意义.但(a·b)c与a(b·c)都有意义,通常情况下,(a·b)c≠a(b·c),那么(a·b)c=a(b·c)在什么情况下成立呢?成立的充要条件又是什么呢?经探究,得知     

公式(x+a)(x+b)=x~2+(a+b)x+ab的活用

公式(x+a)(x+b)=x~2+(a+b)x+ab为含相同字母的两个一次二项式相乘,根据其特征,准确地应用该公式可提高运算速度.(一)两二项式相乘如果两二项式中的常数项相同,则可把常数项当作公式中的x,把含字母项分别     

y=((x~2+(ax+b)~(1/2)+(x~2)+(x+d)~(1/2)最值的几何求法

一、最值的几何来法当x－一时,y＋ac,可知函数y无最大值。现只介绍其最小值的求法。定理1对形如（l）的函数,令u3m,nv＄0,当其（）n一V时,X二世L二区时,nvyto。＝／｛;iwiir,;－－－－．－－（【【）n＝v＝0时、m＜xsu时,y＿＝11－11证明在平面上取点Am,）,B（,）,且。v＄0,P（X,则是X轴上任一点,则P到A、B两点的距离之和：PA＋PB一八万二月下7＋／｛H;iis,－一是函数（I）连接AB（;）当n一v时,因uv＄0,故AB与x轴有且只有一个公共点以如图1）,当P（X,0）为C点时即是所求的最小值。…直线AB的方程为：（…     

f(a)=bf~(-1)(b)=a的应用(高一、高二、高三)

例1 如果点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,那么函数y=f-1(x)的图象一定过点( ) (A)(6,f(b)) (B)(f(b),a) (C)(f(a),f-1(b)) (D)(f-1(a),a) 分析显然y=f-1(x)的图象一定过点(b,a),而b可写作f(a),a可写作f-1(b),故选(C).     

用判别式求函数y=a1x2+b1x+c1/ax2+bx+c(a≠0)值域的探讨

求有理分函数 y=a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c 的值域 (或最值 )是中学数学中的一个难点 ,由于受到各种资料的影响 ,学生常用一元二次方程根的判别式求解。但由于求解过程中采用了非等价变形 ,易导致解题出错。本文试对这个问题作初步探讨。用一元二次方程根的判别式求函数y =a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c (a≠ 0 )　　　　　 (1)的值域 ,先作如下变形 :(ay -a1)x2 + (by-b1)x +cy-c1=0　　　　 (2 )由于x是实数 ,所以△ ≥ 0 ,即(by-b1) 2 - 4(ay -a1) (cy-c1) ≥ 0　　　 (3)解不等式 (3)即得函数 (1)的值域。其实上述解法 ,求得 (3)中 y的值的集合不…     

形如1/a+1/b=1/c的几何题证明

例题如图1,已知直线AB同侧有平行线AC、BD,连结AD、BC交于E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C+B1D=E1F.分析:这是形如1a+b1=1c的证题,通常先化为ca+bc=1,再用等比代换证ac=ef,bc=eg且f+g=e,即化成同分母分式相加的形式。证明∵EF∥AC∥BD图1∴AECF=AFBBBEDF=AABF∴AECF+BEDF=BFA+BFA=1∴A1C+B1D=E1F.由此例可得:过梯形对角线交点向一腰所引平行于底的线段长的倒数等于两底长的倒数之和。把图1作为“基本图形”,在证形如1a+1b=1c的证题时,只要寻找或构出“基本图形”便可找到解决问题的突破口。一、直接应用“基本图形”…     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。